例谈正多边形的平面镶嵌规律

解析： 正六边形 、 正 三 角形 、 正四边形 、 正五边形 、 正 八 边
形 的每 个 内角分别 是１ ２ ０ 。 、 ６ ０ 。 、 ９ ０ 。 、 １ ０ ８ 。 、 １ ３ ５ 。 ，不难发 现 ，
３ ６ ０ 。 ＝ １ ２ ０ 。 ｘ ２ ＋ ６ ０ 。 ｘ ２ ； 不 存 在 正 整数 ， Ｙ ， ４ ￣ ３ ６ ０ 。 ＝ ｌ ２ ０ ￣ ｘ ＋ ９ ０ 。 Ｙ 或
彤． １ 个 正 十边 彤 ， 图略．
Ｃ ．止 边 形
例２ 小 明家准备选用两 种形状 的地板砖铺地 ， 现在家中
Ｄ ． 正 六 边 彤
已 有 正 六边 彤 地 板 砖 ，下 列 形状 的 地 板砖 能 与 正六 边形 的 地 解析 ： ｘ ￣ － － ５ － 角形 、 正四边形 、 ａ Ｙ ＿ ＿ ｉ ｆ ＿ 边形 、 ａ Ｙ － － ． ￣ ， 边形 的每 一 个
Ａ ．Ｊ Ｉ ｊ角形
Ｂ ． 四边 形
ｍ＋ ２ ｎ ＝ ６ ．这 个 方程 的正 整 数解 是 ｍ ＝ ４ ， ｎ ＝ ｌ 或ｍ ＝ ２ ． ｎ ＝ ２ ．
可见 ， 用 正 角形 和正六边形镶嵌 时 ， 有两种类 型 ． 一种
是 在 一 个顶 点 的周 围有 ４ 个 正 角 形 和 １ 个 正 六 边 形 ．另 一 种 是 在 一 个顶 点 的周 有 ２ 个正 ＝ 角形和２ 个 Ｅ 六边形．
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数学教 学通讯（ 初等教育 ） ，
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例谈正多边形的平面镶嵌规律
王延庆
甘 肃 武威 第十三 中学
７ ３ ３ ０ ０ ０
［ 摘 要 ］在近年 的中考试题 中， 出现 了和平面镶嵌有关的问题 ， 本文主要探 究了一 种正多边形的镶嵌问题 以及两种正多边形组合的镶嵌 问题 ． ［ 关键词］正多边形 ； 镶嵌
探索 一种 正 多边 形 的镶嵌 问题
能够镶嵌 的条件之一 一 是， 拼接 点处 的几个角的和为３ ６ ０ 。 ，
川 单一 正 多边 形 进 行 镶 嵌 时 ，应 满 足 ３ ６ ０ 。 足 该 多 边 形 每 一 个 内 角 的整 数 倍 ， Ｌ 六 １ 此， ｌ 角彤 、 ｊ Ｆ 四边 形 、 正六 边 肜 均 能 镶 嵌 平 ． 例１ Ｆ列 正 多边 彤 ｌ ｆ ｌ ， 不能 铺 满 地 而 的足 （
板砖Leabharlann Baidu同使用 的是 （
内角 分 别是 ６ ０ 。 、 ９ ０ 。 、 １ ０ ８ 。 、 １ ２ ０ 。 ，显 然 ， ３ ６ ０ 。 是６ ０ 。 、 ９ ０ 。 、 １ ２ ０ 。 的
）
Ａ ． 正＿ 二角 形
整数 倍 ， 不是 １ ０ ８ 。 的整数倍 ， 所 以 正 三 角形 、 正四边形 、 正 六边 Ｂ ．正 四边 形
正六 边 形 的组 合 进 行 镶 嵌 ， 设 在 一 个 顶 点 周 同有 ｍ个 正 三 角形 的角 ， 有ｎ 个 正六 边 形 的 角 ， 南丁正 一 角 形 的每 一 个 内 角是 ６ ０ 。 ， 六 边 彤 的 每 一个 内角 是 １ ２ ０ 。 ， 所 以有 ｍ・ ６ ０ 。 ＋ ｎ ・ １ ２ ０ ￣ ＝ ３ ６ ０ 。 ， 即
凶此 ，根据 以上探索两种正多边形进 行平 面镶嵌 时有以
）
下六种情形 ：① １ 个 正ｉ角形 ， ２ 个正十二边形 ；②２ 个正ｉ角 形， ２ 个正六边形 ； ③３ 个正ｉ角形 ， ２ 个 正四边形 ： ④４ 个正ｉ角 形， １ 个正六边形 ； ⑤１ 个正四边形 ， ２ 个正八 边形 ： ⑥２ 个正五边
形 能 够铺 满地 面 ， 而 正五 边 形 不能 铺 满地 面 ， 答 案 为Ｃ ．
Ｃ ．正 五边 形
Ｂ ．正 八边 形
圆探 索 两 种 正 多 边 形 的 镶 嵌 问 题
解答两种正多边形 的镶嵌 问题 ，只要判断是 存在正整
数 和Ｙ ， 使 ｌ ｆ Ｊ 一种正 多边 形 的 每个 内角 的 倍 与 另 一种 正多
３ ６ ０ 。 ＝ １ ２ ０ 。ｘ ＋ ｌ Ｏ ８ ￣ ｙ 或３ ６ ０ 。 ＝ １ ２ ０ 。 ｘ ＋ ｌ ３ ５ 。 Ｙ 成 立 ． 所 以仅 正 三 角
形 可与 正 六 边 形共 同使 用 ． 答案 为Ａ ．
边形 每个内角 的 的和等Ｔ＇ ３ ６ ０ 。 即可．例如 ， 用正 三角形和
假 如读 者感 兴 趣 ，可 继 续 探 究 用 三 种 正 多 边 形 或 ｉ种 以 上 的 正 多边 形 进 行 镶 嵌 的 问 题 ．