向量共线问题证明共线问题常用方法

2.给出下列各命题：
（1）向量
uuur AB
的长度与向量
uuur BA
的长度相等；
（2)向量
r a
与向量
r b
平行，则
r a
与
r b
的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量
AuuBur 与向量
uuur CD
是共线向量，则点A、B、C、D必在
存在不全为零的实数λ1,λ2，使
【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),试判断两线
段
uuur uuur AB与CD
是否共线？
【审题指导】题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量
AuuBur和的CuuDu坐r 标表示.要判断
Au是uBur否与共CuuDur线，首先看是否
所以两个力的合力是314.5 N，与x轴的正方向的夹角为
67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
1.设平面向量
r a
=（3,5）,
r b
=（-2,1）,则
r a
r 2b
=(
)
（A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3）
【解析】选A.
r a

2=br(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
uuur uuur AC, CH

uuur AB,
所以
r (h

r b)

r c

r 0，(h

r c)

r b

0,
所以
r (h

r b)

r c

(hr运算cr)并 br，化简得
r r r
h c b 0,
所以
uuur uuur AH BC，
又AD⊥BC且AH∩AD=A,
解得k=-1.
向量的夹角和垂直问题
1.两向量的夹角公式.
非零向量
rr
r a
=(x1,y1),
r b
=(x2，y2)的夹角为θ，则有
cos
ab rr

x1x2 y1y2
.
ab
x12 y12
x
2 2

y
2 2
2.两向量垂直的条件.
r r rr a b a b 0 x1x2 y1y2 0.
rr
eur｜1 =2和|
eu|ur=2 1
等条件，由公式cosθ= ra b可r 得θ若为钝角，则cosθ＜
｜｜a ｜｜b
0且cosθ≠-1，即 ar ＜ br 0.同时也应注意向量的共线反向这
一情况.
【规范解答】由已知
ur uur e1 e2

ur e1
uur e2
cos ＝1， 3
ur uur e1 te2
,( 0)
72tt ,t
14 . 2
∴t的取值范围是（-7， ）14∪(
2
, 1)4.
2
1 2
【例4】求证：△ABC的三条高线交于一点. 【审题指导】证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点， 然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直.
(4)研究模的平方
r ｜a

r b｜2

rr ab
2
.
【例5】
设
r a

r b
rr 1, 3a 2b
rr 3,求 3a b 的值.
【审题指导】本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的
运算，可以用平方求解法，也可以由 ｜｜ar ｜=b｜r1，设出
rr a,b
的坐标，化为坐标运算.
向量的共线问题
证明共线问题常用的方法.
（1）向量
rr r a、（b a 0)

存在唯一实数λ,使
rr b a;
(2)向量
r a
=(x1,y1),
r b
=(x2,y2)
x1y2-x2y1=0;
(3)向量
r a
与
r b
rr rr ab a b;
(4)向量
r a
与
r b
r rr 1a 2 b 0.
5
5
55
uuur 2 AP

(6)2

(8)2

4

AuuBur 2，
55
uuur uuur
AP AB，即AP AB.
【例8】如图所示，求两个力
ur uur F1、F2
的合力
r F
的大小（精确到0.1
N）和
方向（精确到分）.
【审题指导】题中给出两个力的大小
及夹角的数值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角
所以A、H、D三点共线，
所以AD，BE，CF相交于一点H.
即△ABC的三条高交于一点.
向量模的问题
解决向量模的问题常用的策略
（1）应用公式：｜ar ｜=
x2 y2
(其中
r a
=(x,y));
（2）应用三角形或平行四边形法则；
（3）应用向量不等式
r r rr r r a b ab a b

2 3

2 3



4 5， 3 5
uuur AP

4
∴AuuAMuurP, ∶PM=4∶1.
5
平面向量的应用 平面向量两个方面的应用
(1)在平面几何中的应用. 向量的加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹 角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决 平面几何中的相关问题. (2)在物理中的应用. 主要解决力、位移、速度等问题.
不妨设AB=2，
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),
E(1,2),F(0,1).
(1)
uuur BE

OuuEur=(Ou1uB,ur2)-(2,0)=(-1,2)，
uur CF

OuuuFr = (Ou0uCur,1)-(2,2)=(-2,-1)，
Q
uuur BE

Cu=uFr-1×(-2)+2×(-1)=0，
ur uur ur uur ur 2
(2te1 7e2 ) (e1 te2 ) 2te1
2t2 7
ur uur uur 2 e1 e2 7te2
2t2 15t 7.
∵θ为钝角，∴2t2+15t+7<0,得-7<t< 1.
2
又由
ur uur 2te1 7e2
【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF 交于点P. 求证：（1）BE⊥CF；（2）AP=AB. 【审题指导】本题欲求证线段垂直和相等，可转化为向量的 垂直和向量的模相等问题.已知正方形ABCD，可建系设点， 把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决.
【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，
【规范解答】方法一：Q｜3ar

r 2b｜
r 3，9a
2
r 12a
r b

r2 4b

9.
rr 又｜｜a ｜｜ b
r 1,a

r b

1
.
3
r 故｜3a

r b｜2

r (3a

r b)2

r2 9a

r 6a
r b

r2 b

9

6
1
1
12,
rr
3
｜3a b｜ 2 3.
【例2】已知
r a
=(1,2),
r b
=(-3,2).若
rrrr ka 2b与2a 4b
平行，求实数k的值.
【审题指导】本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求
学生熟练掌握两向量共线的条件.通过两向量共线可得坐标的
关系，列出等式，求得参数的值.
【规范解答】方法r 则存在唯一实数λ，
满足
uuur AB

，CuuD再ur 说明线段AB与CD是否有公共点.
【规范解答】∵ Auu=Bur(2,4), =Au(uCu-r1,-6), ∴-1×4-(-6)×2=-4+12=8≠0. ∴ AuuBur与不Auu共Cur 线，即点C不在直线AB上，同理点D也不在直线 AB上，直线AB与CD不共线，即线段AB与CD不共线.
【例6】如图，在△ABC中，M是BC的中点，
N在AC上且AN=2NC，AM与BN交于点P，
求AP∶PM的值.
【审题指导】题目中给出了M点是△ABC
的边BC的中点，AC边上的点N满足AN=2NC，欲求
AP∶PM的值，
uuur uuur AP, PM，
可AuuPur适当Pu选uMur取，基底表示出
因为点A、P、M共线，若有
则λ为AP∶PM的值.
【规范解答】
uuur 设BM

ur e1
,
uuur CN

uur e2，
uuuur AM

uuur AC

uuur CM

uur 3e2

ur e1，
uuur BN

2eur1∵Aeuur2、, P、M与B、P、N共线,
uuur uuuur
要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件坐标表 示的区别.
【例3】设两个向量
ur uur e1与e2
，满足｜
ur e1
|=2,|
uur e2
|=1,
ur uur e1与e2
的夹角为
3
，若向量
ur 2te1

uur ur 7e2与e1

uur te2
的夹角为钝角，求实数
t的范围.
【审题指导】题目中给出向量的夹角以及｜
解得
k

1 2
1.
,
即实数k的值为-1.
方法二：∵
r ka
=2kbr (1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),
r 2a

4=br2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),
r ka

2br与2平ar 行 4，br
∴（k-6）×(-4)-(2k+4)×14=0.
rr ｜3a b｜
3
3x1 x2 2 3y1 y2 2

9
x12 y12

x
2 2

y
2 2
6(x1x2 y1y2 )
9 1 6 1 2 3. 3
待定系数法解决向量问题 待定系数法在向量中的应用
待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于某些数学问 题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚 待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较， 建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出 相应的字母（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称 为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行 向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式.
形中解决.
【规范解答】设 Fur1=(a1,a2), Fu=ur2 (b1,b2),
则a1=300cos30°≈259.8,
a2=300sin30°=150.0，
b1=-200cos45°≈-141.4,
b2=200sin45°≈141.4,
ur
所以 F=1 (259.8,150.0),
=Fur1(-141.4,141.4),
uuur BE

Cu即uFr，BE⊥CF.
（2）设P(x,y)，则 FuuP=r （x,y-1）,
uur uur Q FP P CF，
=Cuu(Fr-2,-1)，
∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.
同理由
uuur BP
P，BuuEu得r y=-2x+4,代入x=2y-2.
解得x 6， y 8，即P(6 , 8).
方法二：设 ar=(x1,y1), =br(x2,y2),
∵ ｜｜ar =｜b｜1r ,∴x12+y12=x22+y22=1.
∵
r 3a
=2(br3x1-2x2,3y1-2y2),
r ｜3a
=2b｜r
3x1 2x2 =2 3,3y1 2y2 2
∴x1x2+y1y2=1 ,
∴
【规范解答】如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，设
BE，CF交于点H，且令AuuBur

r b,
uuur AC

r c,
uuur AH

r h，
可得
uuur r r uuur r r uuur r r BH h b,CH h c,BC c b.
因为
uuur BH

ur uur uuur uuur
ur uur
AP AM e1 3e2 , BP BN 2e1 e2 .
uuur uuur uuur uuur uuur Q BA BP PA BC CA,
ur uur r uur ur uur
2e1 e2 e1 3e2 2e1 3e2 ,
r F

ur F1
=Fuur2(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)
=(118.4,291.4),
r F 118.42 291.42 314.5.
设 Fr与x轴的正向夹角为θ, 则tanθ= 291≈.42.461 1.
118.4
由 Fr的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
使
r r
rr
ka 2b 2a 4b .
∵
r ka
=2bkr (1,2)+2(-3,2)
=(k-6,2k+4).
r 2a

4=br2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),
∴(k-6,2k+4)=λ(14,-4).

k 6 14, 2k 4 4,