经济博弈论(第三章)

第三章完全信息动态博弈上一章介绍了完全信息静态博弈，本章在前面的基础上探讨完全信息动态博弈。

现实社会经济活动的决策大多数是有先后顺序的行为而不是同时选择的行为，而且后行者能够看到先行者的决策内容，在先行者的决策结果之后再定夺自己的策略。

这样的经济行为比比皆是，如商业活动中的讨价还价，拍卖活动中的轮流竞价，资本市场上的收购兼并和反收购兼并都是如此。

依次选择与一次性同时选择有很大的差异，因此这种决策问题构成的博弈也是从时间序列上有别于静态博弈的，我们称之为“动态博弈”（Dynamic Games）。

例如下象棋通常需要两个参与人，我们定义为红方和黑方，红方先走，黑方后走，这是一个典型的完全信息动态博弈。

动态博弈由于添加了时间因素，因而更加贴近现实。

根据博弈方是否相互了解得益情况，可分为“完全信息动态博弈”和“不完全信息动态博弈”，根据是否所有博弈方都对自己选择前的博弈过程完全了解，可分为“完美信息动态博弈”和“不完美信息动态博弈”。

在本章中，我们首先对博弈的扩展式表达给出完整的定义，为动态博弈的分析奠定基础；其次，我们从扩展式表述博弈的纳什均衡分析逐步深入到子博弈精炼纳什均衡，为动态博弈的分析提供可行的方法，接下来介绍两种完全信息动态博弈经典模型；最后，分析具有无穷次的重复博弈，推导出无名氏定理。

3.1 博弈的扩展式表述在动态博弈中，博弈方的行动是有先后次序的，且后行动者在自己行动之前能够观测到先行动者的行动，每个博弈方的一次选择行为常称为一个“阶段”（Stage ）。

动态博弈中也可能存在几个博弈方同时选择的情况，这时博弈方的同时选择构成一个阶段。

一个动态博弈至少有两个阶段，因此动态博弈有时也称为“多阶段博弈”（Multistage Games ）。

此外，也有把动态博弈称为“序列博弈”（Sequential Games ）的，这也是由动态博弈中的次序特征引出来的。

设有一个商人要从A 地向B 地运输一批货物。

假设从A 地到B 地有水、陆两条路线，走陆路运输成本为10000元，而走水路的运输成本为7000元。

不过走陆路比较安全，而走水路有一定的风险，即可能会遇到恶劣的暴风雨天气会造成相当于这批货物总价值10%的损失。

再假设已知该批货物的总价值为90000元，运输期间出现暴风雨天气的概率为1/4，问该商人应选择哪条运输路线？该博弈中博弈方在面临决策时面临的条件中有一个不确定因素，即商人不知道运输期间的实际天气情况会怎样，所知道的只是出现坏天气、好天气的概率分布。

对这个博弈我们同样可用得益矩阵和扩展式两种方法来表示，只是为了把天气因素放进博弈中加以考虑，我们可以引进一个代表随机选择作用的博弈方，这个博弈方就是“大自然”（Nature ），我们常常称它为“博弈方0”，在该博弈中，决策者商人称为“博弈方1”。

上述博弈方0的任务就是分别以3/4的概率和1/4的概率随机选择好天气和坏天气。

博弈方0不会有追求“自身利益”的愿望，不用我们去考虑它的得益。

因此这个博弈方0与一般博弈方是不同的，也是我们称它为“博弈方0”的原因所在。

如果我们以商人的运输成本或者加上损失的负值作为商人的得益，则可以用图3.1中的得益矩阵表示该博弈。

自 然好天气75% 坏天气25%商 水路人 陆路图3.1 运输路线得益矩阵图3.1中商人和自然为两个博弈方；商人有水路、陆路两种可选策略，自然则有好天气、坏天气两种可能的选择；由于商人决策时不知道未来天气的实际情况（即自然对天气的选择可以被看作在商人决策前早就做出的），而自然在选择天气时当然更不会去管商人做了怎样的决策，因此该博弈中的两博弈方可以看作是同时决策的；矩阵中的四个元素分别代表商人在四种可能情况下的得益（成本和损失的负值），自然的得益则不用考虑。

如果用扩展行来表示博弈，则如图3.2所示。

-7000 -16000 -10000 -10000图3.2 运输路线扩展行 图3.2中第一个信息集为博弈方0，即自然的选择节点。

因为博弈方1决策时无法知道自然的选择有两条路径，分别到达两个不同的节点，但博弈方1却仍然只作一个选择，而不是针对两个节点分别作选择。

当然，对应博弈方1的两种策略，事实上仍然有四种不同的结果，即他的两种策略与两个不同的节点（对应自然的不同选择）组合。

如图3.2中四个黑点表示终端所示，每个终端的数字表示沿相应的决策路径到达终端时，博弈方1（商人）的得益。

我们已经用得益矩阵和扩展式两种方法，将商人关于运输路线的决策问题表示为一个实质上的单人博弈，形式上两人博弈。

那么这个博弈如何解法，商人应如何决策，最后他的得益（成本和损失之和的负值）结果又如何呢？实际上，由于该问题本身带有外生的不确定因素，因此最终的结果不一定能预先确定。

不过，如果商人根据一般解决带概率分布，具有不确定性的问题常用数学期望值进行决策，而不是盲目冒险碰运气或一味害怕、躲避风险，我们还是可以确定商人的选择的。

本例中，商人走水路时，得益为-7000的概率为75%（好天气），得益为-16000的概率为25%（坏天气），因此走水路的期望收益为(-7000)×75%+(-16000) ×25%=-9250；走陆路时，得益是确定的-10000。

因为-9250﹥-10000，即走水路的期望费用9250小于走陆路的10000，所以该商人还是选择走水路。

若多次碰到同样的决策选择并每次都做这样的选择，则平均每次的运输成本应接近9250。

下面我们再来看一个用兵打仗的博弈——空城计。

公元29年，蜀国丞相诸葛亮出兵攻打祁山，因为错用马谡失了战略要地街亭，只好撤兵。

这时魏国大将军司马懿带领15万人马来反击，诸葛亮只有2500兵士，此时撤退已经来不及了，诸葛亮于是唱起了空城计，镇定自若地走上城墙，羽扇纶巾，焚香弹琴，命令老弱兵士洒扫街道，并且打开城门。

这个时候，诸葛亮的谋略是在掌握对司马懿作战经验的信息基础之上的，他料定司马定会知道自己是一个谨慎的人，不会打无准备的帐，这样自己虚张声势就会有效。

司马懿作战经验颇丰，而且与诸葛交过手，以他对诸葛的了解，认为他是谨慎不会冒险的军事家，根据这些信息，立即判断出城里有埋伏，于是后军作前军，前军变后队，迅速撤退。

这给诸葛留出了足够的时间带领小队人马撤退。

坏天气（25%）好天气（75%） 1（-7000）（-10000）（-16000）（-10000）通过以上例子我们可以看出，用扩展式表述(extensive form representation)能够更好地描述和分析动态博弈。

相对于我们前面分析的静态博弈来说，这里的扩展主要是对博弈人的战略空间而言：谁在什么时候行动，每次行动时有些什么具体行动可供选择，以及知道些什么。

简单地说，在扩展式表述中，战略对应于参与人的相机行动规则（contingent action plan ）,即什么情况下选择什么行动，而不是简单的、与环境无关的行动选择。

如我们空城计的例子，就是在特定的环境下理性的选择，但这里存在着不可置信的因素，所以导致了理性选择结果并非理想的情况。

博弈的扩展式实际上就是对博弈树的节点（node ）和枝（branch ）做出严格的规范和定义。

因而博弈的扩展式与博弈树是同义词。

与博弈的基本式相比，博弈的扩展式特别善于描述复杂的博弈，博弈越复杂，博弈扩展式的优点就越突出。

博弈树给出了有限博弈的几乎所有信息。

结合上面的例子，我们给出博弈树的构造。

博弈树的基本建筑材料（building block ）包括结（node ）、枝（branch ）和信息集（information set ）。

1.结（node ）:结包括决策结（decision node ）和终点结（terminal node ）两类。

决策结是参与人采取行动的时点，终点结是博弈行动路径的终点。

例如图3.2中，决策结包括空心圆和椭圆中博弈方1的两个实心圆。

终点结包括对应4个支付向量的点。

2.枝（branches ）:在博弈树上，枝是从一个决策结到它的直接后续连线（有时候用箭头表示），每一个枝代表参与人的一个行动选择。

例如在图3.3中，魏国司马懿有两种选择，分别用反击和不反击两个枝来表示。

3.信息集（information set ）:博弈树上的所有决策结分割成不同的信息集。

每一个信息集市决策结集合的一个子集，该子集包括所有满足下列条件的决策结：⑴每一个决策结都是同一参与人的决策结；⑵该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自己究竟处于哪一个决策结。

引入信息集目的是描述下列情况：当一个参与人要做出决策时他可能并不知道“之前”发生的所有事情（这里我们将之前放在引号内，因为博弈树中的决策结的排列并不一定与行动的时间顺序相一致）。

前面给出的例子相对来说比较简单，只有两阶段。

事实上，用扩展式完全可以表示更复杂的动态博弈。

这里给出一个“仿冒和反仿冒”博弈的例子。

设有一家企业A 生产一种畅销产品，被另一家企业B 仿冒，如果被仿冒企业采取措施制止，仿冒企业就会停止仿冒，如果被仿冒企业不采取措施制止，仿冒企业就继续仿冒。

对被仿冒企业来说，被仿冒当然会带来产品销售和声誉受损等经济损失，因此采取措施制止是符合自身利益的，但同时采取措施也是要付出成本的，因此遭到仿冒的时候是否应该制止是需要研究的问题。

对于仿冒企业来说，仿冒不被制止有很大的收益，但如果被制止就会血本无归，还要赔偿对方一定的损失。

因此是否仿冒也是需要仔细推敲的。

所以，这两个企业在仿冒和制止仿冒的问题上，存在着一个行为和利益相互依存的博弈问题。

由于只有在已经遭到仿冒的情况下被仿冒企业才需要考虑是否加以制止的问题，因此，这必然是一个动态博弈的问题。

蜀国（2500, 0） （0, 150000）蜀攻 （失街亭） 魏不反击蜀撤魏反击 图3.3 空城计蜀汉博弈图为了简单起见，我们假设仿冒最多进行两次，再假设第一次不仿冒、仿冒被制止，以及在第一次仿冒没制止的情况下，第二次不仿冒、仿冒被制止、仿冒不被制止这几种情况下，仿冒和被仿冒企业的得益分别为0和10、-2和5、5和5、2和2、10和4，那么该动态博弈可以用图3.4中扩展形来表示。

图中得益数组的第一个数字是仿冒企业的得益，第二个数字为被仿冒企业的得益。

当然，也不是所有动态博弈都可以用扩展形表示。

因为有些动态博弈的阶段很多，或者博弈方在一个阶段有许多可选择的行为，这些时候扩展式表示动态博弈就会很困难，或者根本不可能。

如，下象棋这种动态博弈，它不仅博弈阶段很多，而且每个阶段的可能选择也很多，因此很难用扩展式来表示。

此外，两个生产寡头先后决定产量的定产博弈也是动态博弈，但因为每个寡头可以选择的产量都是无穷多种，因此也无法用只能描述有限种行为选择的扩展式表示。