微分几何 2-1曲面的概念

如果到初等区域 初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是 初等区域 一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏 空间中的象称为简单曲面
f :D⊂ E →E
2
3
称 为 的坐标 坐标 式参数方程。 称 为曲面的向量 向量 式参数方程。 u和v称曲面上的点的曲纹坐标，U=常数或V= 常数在 曲面上的点的曲纹坐标，U=常数或V= 曲面上的象称为曲面的坐标曲线。（ U=常数而v变动 曲面上的 曲面的坐标曲线 坐标曲线。（ U=常数而v 的曲线叫V 线，v=常数而u变动的曲线叫u--线， 的曲线叫V-线，v=常数而u变动的曲线叫u--线， V-线 u--线构成的网称为曲面上的曲纹坐标网 --线构成的网称为曲面上的曲纹坐标网
v
= (1,2) = {1,1,ν } = {1,1,2}
(1, 2 )
r (1,2) = {1,−1, µ } = {1,−1,1} r ×r n(1,2) = = µ + ν ,ν − µ ,−2 | r ×r 4 + 2µµ + νν 1 {3,1,−2} = 14 过点（1，2）的切平面方程是 [ R − r (1,2)] ⋅ n(1,2) = 0.
0 0 0 0 0 0 u 0 0 u 0 0 u 0 0 v 0 0 v 0 0 v 0 0
法向：垂直于切平面的方向 法向： 法线： 法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直线 法向量: 法向量 N = ru × rv 单位法向量： 单位法向量：
（ 法线的方程为 R = r + λ ru × rv） λ 其中R（ ， ， ）是线上任一点的向径， 参数。 其中 （X，Y，Z）是线上任一点的向径， 参数。 用坐标形式表达的法线的方程为： 用坐标形式表达的法线的方程为：
= ϕ (u ) 或 u = ϕ (v ) 或 f ( u, v ) = 0
=0
微分方程: A( u, v )du 微分方程
2
2
+ 2 B( u, v )dudv +
C ( u, v )dv
2
=0
当 [ B ( u, v )] − A( u, v ) ⋅ C ( u, v ) >0时 时 表示曲面上的两族曲线——曲线网。 曲线网。 表示曲面上的两族曲线 曲线网 当 A = C = 0时，方程变为
ru (u0，v0） rv (u0，v0） 0 × ≠
正则曲面: 处处是正则点的曲面. 曲面的正规坐标网：若 ru (u0，v0） rv (u0，v0） 0 × ≠ 则存在（u 0，v0） 的一个邻域U，使得U内每一点有
ru (u ，v ） rv ，v ） 0 × （u ≠
此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z = z(x, y)的表示
第二章 曲面论
§1曲面的概念 曲面的概念 简单曲面以及参数表示 几种观点 1、一般式 Σ : F ( x, y, z ) = 0 z = f ( x, y ) 2、显式 3、映射观点（与曲线定义类似） 基本概念 若尔当曲线 ——平面上不自交的闲曲线 初等区域 ----若尔当曲线所围成的有限区域 若尔当曲线所围成的有限区域
，
1.2光滑曲面 1.2光滑曲面
曲面的切平面和法线 1定义：如果曲面 Σ：r = r (u，v） 有直到
k 阶
.
连续偏微商，则称为K阶正则曲面，或 C k 曲面。 当 k = 1 时， 此曲面又称为光滑曲面 2 u线v线表示 u线： v线 u-线的切向量
．
v-线的切向量
.
定义 曲面 若有
的点P是正则点 正常点 正则点(正常点 正则点 正常点)
× （u ≠ 因为 ru (u ，v ） rv ，v ） 0，至少有一分量不为零
假设 一对单值连续函数
∂（x，y） ≠ 0， 则有隐函数存在定理有唯一 ∂（u，v）
u = （x，y），v = （x，y） u v
代入则有z = z(x, y) 命题2：曲面在正常点某个的邻域内点都是正常点 曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过 P的曲线Γ在P0的切方向.（切方向很多） 曲面Σ ：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参 r 数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t). Γ的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t). （一个 参数）
(1, 2 )
u
v
u
v
(1, 2 )
(1, 2 )
即 3x+y-2z-4=0.
3. 曲面上的曲线族和曲线网 曲面 r = r ( u, v )S上的曲线用方程 µ = u( t ), v = v ( t ) 或
r = r[ u(t ), v (t )] = r (t )
消去t得 v
微分方程 A( u, v )du + B( u, v )dv = 0 表示曲面上的一 族曲线， ϕ 族曲线， u=（v，c） 特别地当 A = 0, B ≠ 0 方程变为 dv = 0 它表示曲面上的u曲线族 曲线族（ 常数 常数）。 它表示曲面上的 曲线族（v=常数）。 它表示曲面上的v曲线族 当 A ≠ 0, B = 0 它表示曲面上的 曲线族 du (v族) 族
坐标曲线
曲纹坐标网
常见曲面 设
µ = θ , v = z , G 是长方形区域
−∞ < z < ∞ 0 < θ < 2π ,
圆柱面的参数表示 r = (θ , z ) = {R cos θ , R sin θ , z}
θ −曲线（z=常数）即
r (θ , z ) ={R cosθ , R sin θ , z }
曲线的切向量 曲线r = r(u(t), v(t)) = r(t)其切方向
r，= dr ∂r du ∂r dv du dv dv du = + = ru + rv = （ru + rv） dt ∂u dt ∂v dt dt dt dt dv
也可写为 dr = ru du + rv dv 在正常点所有切向量都有可定成u线v线切向的组合 都有在由u线v线切向确定的平面上，称此平面为曲 面在这一点的切平面 命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的 坐标曲线的切向量所决定的切平面上
0 0
0
0
0
0
u
0
0
u
0
0
u
0
0
u
0
0
u
0
0
u
0
0
v
0
0
v
0
0Βιβλιοθήκη Baidu
v
0
0
v
0
0
v
0
0
v
0
0
例：求S r = r ( µ , v ) ={µ + v , µ − ν , µν } 在点 求 在点(1,2)处的单 处的单 位法向量及切平面的方程。 位法向量及切平面的方程。 解： r (1,2) = {1,2,3} r u
Y − y( u , v ) X − x( u , v ) Z − z( u , v ) y ( u , v ), z ( u , v ) = z ( u , v ), x ( u , v ) = x ( u , v ), y ( u , v ) y ( u , v ), z ( u , v ) z ( u , v ), x ( u , v ) x ( u , v ), y ( u , v )
0 0
( R − r (u , v )
0 0
r ( u , v ), r ( u , v )) = 0
v 0 0 v 0 0
, 其中 R( X , Y , Z ) 是切平面上一点的向径 坐标形式为：
X − x ( u , v ) Y − y( u , v ) Z − z ( u , v ) y (u , v ) z (u , v ) = 0 x (u , v ) y (u , v ) z (u , v ) x (u , v )
π
2
<θ <
π
2
0<φ <
θ
2.
(φ ,θ ) ∈ G 是一个长方形区域：
坐标曲线是 u = φ v = θ ϕ −曲线 θ =常数），即 常数），即 ）， 是球面上等纬度的圆——纬线 是球面上等纬度的圆——纬线， ——
r (ϕ ,θ ) ={ R cosθ cos ϕ ，R cosθ sin ϕ ， R sin θ }
从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv 值完全确定，切方向也可表示成 dr = ru du + rv dv , 或 −dr = −ru du − rv dv :二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向 dr = −2du + 3dv , 也表方向 −dr = 2du − 3dv， 二者视为同一方向. 曲面S r = r(u, v)一点 p( u , v ) 处切平面的方为：
0
0
0
0
θ − 曲线：
r = (ϕ ,θ ) = {R cosθ cos ϕ ，R cosθ sin ϕ , sin θ }
0 0 0
它是球面上过两极的半圆——经线（子午线） 它是球面上过两极的半圆——经线（子午线）。 ——经线
旋转面 把xz平面上一条曲线 绕z轴旋转，得旋转面 x = ，y=
：x = ,
dudv = 0
它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网
0
0
它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。
z −曲线（ θ 是常数）即: r (θ , z ) = {R cosθ , R sin θ , z}
0 0 0
它是原柱面上的直母线。 。
球面的参数表示为：
r = r (φ ,θ ) = { R cosθ cos φ , R cosθ sin φ , R sin θ } −