2018线性代数基础讲义

a13 a23 a33．来自a23 1 ，则 4a21
a31
三、行列式的计算 （一）降阶 1.余子式 M ij ，代数余子式 Aij 的概念． 记 n 阶行列式
a11 D a 21 a n1
a12 a22
a1 n a2 n
，
an 2 ann
将 D 中划去元素 aij 所在的第 i 行第 j 列后剩下的 n 1 行、 n 1 列元素不改变相互位
排列. 例如:2143 是一个 4 阶排列,3124 也是一个 4 阶排列,25134 是一个 5 阶排列. 定义 2 一个排列中如果一个大的数排列在一个小的数之前,就称这两个数构成一个逆 序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用 ( j1 j2 jn ) 表示排列 j1 j2 ... jn 的逆序数. 如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列. 例如：在 5 阶排列 25134 中,共有逆序 21,51,53,54,即 (25134) =4,所以 25134 是偶排列. 在 6 阶排列 365412 中,共有逆序 31,32,65,64,61,62,54,51,52,41,42 即 (365412) =11,所以 365412 是奇排列. 2. n 阶行列式的定义
a11 a21 a11
a12 a22 a12 a22 a32
a11a22 a12 a21 ； （对角线法则） a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33
1
三阶行列式： a21
a31
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
a11
定义 3 称
a12 a22
a1 n a2 n
j1 jn
a21 a n1
(1)
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn 为一个 n 阶行列式．
an 2 ann
它是一个数，表示 n ! 项的代数和，每一项又是来自不同行不同列的 n 个数的乘积组成． 一阶行列式：规定一阶行列式 a11 a11 ； 二阶行列式：
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
第一章
行列式
【考试要求】 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质． 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 一、行列式的定义 1.排列的逆序数 定义 1 由 1, 2, , n 组成的有序数组称为一个 n 阶排列,通常用 j1 j2 jn 表示一个 n 阶
7 8 9
（1） D1 4
5 6 按照第一行展开的结果为 __________ . 8 9
， ．
7
(2) xA11 yA12 zA13 (3) 4 A11 5 A12 6 A13
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
1
例1 设 A( x1 , y1 ) ，B ( x 2 , y2 ) 是直角坐标平面上两个不同的点， 问1
x x1
y y1 0 是 y2
1 x2
否为过 A, B 两点的直线方程？
a11
例2 设 a21
a12 a22 a32
a13 a33
4a11 4a31
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
a11 a21
0

0 0 a11a22 a nn ．
0 0
a22
an 1 an 2 ann
二、行列式的性质 性质 1 行列式两行（或列）元素互换，则行列式的值改变符号． 注：行列式 D 的两行元素相同，则 D 0 ． 性质 2 某行（列）有公因子可以提到行列式记号之外，即
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
1 a 0 0
例 2 实数 a 取何值时，行列式
0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1
0.
1 2 3
例3 D 4
5 6 1 A11 2 A12 3 A13 ， Aij 表示元素 aij 的代数余子式，则 x y z
4
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
置组成的 n 1 阶行列式，称为 aij 的余子式，记为 M ij ；称 Aij ( 1) 子式．
a 22 a32 a13 a 23
a 23 a33
至多是关于 x 的几次多项式?
a11 x
(2) f ( x )
a 21 a31
a 22 x a32
中 x , x 的系数及常数项各为多少?
3
2
a33 x
a11
例 2 证明：
a12 a1 n a22 a2 n 0 ann
4 6 7 9
6．
性质： （1） Aij 和 aij 的大小无关； 2.拉普拉斯展开定理
（2） Aij 和 aij 的位置有关．
ai 1 D * a j1 * ai 2 * a j2 * * ain * ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain ， i 1, 2, , n ． a jn *
注 1：若行列式的某一行（或某一列）元素全为 0，则这行列式值为 0； 注 2：行列式的某两行（或某两列）元素成比例，则这行列式为 0． 性质 3 若行列式的某一行（或某一列）元素 aij 均可分解为两个元素 bij cij 则该行列
式可分解为相应的两个行列式之和，即
a11 bi 1 ci 1 a n1
a1 n a2 n
，D
T
a11 a12 a1n
a21 a22
a n1 a n2
.
an 2 ann
a2 n ann
3
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 ； （对角线法则） a11 x a12 x a13 x
例 1 (1) f ( x )
a 21 a31 a12
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
目
录
第一章 行列式......................................................................................................................... 1 第二章 矩 阵....................................................................................................................... 11 第三章 向量组....................................................................................................................... 32 第四章 线性方程组............................................................................................................... 42 第五章 特征值和特征向量................................................................................................... 47 第六章 二次型....................................................................................................................... 63 第七章 向量空间(仅数学一)................................................................................................ 70 模拟试卷 1................................................................................................................................ 74 模拟试卷 2................................................................................................................................ 81 模拟试卷 3................................................................................................................................ 87
a11 ai 1 kai 1 a j 1 a n1
T
a12 ai 2 an 2
a1 n ain ann
．
kai 2 a j 2 kain a jn
行列式转置后，其值不变，即 D D ．其中
a11 D a21 a n1
a12 a22

a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , j 1, 2, , n ． 0
例1 D
1 4 6 0 2 5 0 0 3 ______________ .
0 0
1 0 0 0
5
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
a n1 a n1
a n1 a n1
性质 4 将行列式的某一行（或某一列）元素乘以同一常数加到另一行（或另一列）上 去，则行列式的值不变，即
a11 ai 1 a j1 a n1
性质 5
a12 a1 n ai 2 a j2 an 2 ain a jn ann
2
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
2018 考研数学基础课程内部辅导讲义
a11

a1 n
a11 a1 n
kai 1 kain k ai 1 ain ． a n1 ann an1 ann
a12 bi 2 ci 2 a n1

a1 n
a11
a12 bi 2
a1 n
a11
a12 a1 n ci 2 cin ．
bin cin bi 1 a n1 a n1
bin ci 1 a n1
i j
M ij 为 aij 的代数余
1 2 3
例
D 4 5 6 ，则有 A11 ( 1)11 7 8 9 x y z
5 6 8 9
3 ， A12 ( 1)1 2
4 6 7 9
6；
D1 4 7
5 6 ，则有 A11 ( 1)11 8 9
5 6 8 9
3 ， A12 ( 1)1 2