2.1.5平面上两点间的距离(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)
人教A版高中数学必修二学两点间的距离学案新
§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2, y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
高中数学 2.1.5 平面上两点间的距离教案 新人教版必修2
2.1.5 平面上两点间的距离教学目标：1．掌握平面上两点间的距离公式，能运用距离公式解决一些简单的问题 2．掌握中点坐标公式，能运用中点坐标公式解决简单的问题3．培养学生从特殊问题开始研究逐步过渡到研究一般问题的思维方式教学重点：掌握平面上两点间的距离公式及运用，中点坐标公式的推导及运用教学难点：两点间的距离公式的推导，中点坐标公式的推导及运用教学过程：1．引入新课引例．已知(1,3),(3,-2),(6,-1),(2,4)A B C D -，四边形ABCD 是否为平行四边形？ 问题(1)：证明一个四边形是平行四边形可用什么方法？(○1两组对边分别平行○2一组对边平行且相等○3方法○1：54AB CDk k AB CD ==-⇒，13AD BC k k AD BC ==⇒，则四边形ABCD 是平行四边形． 2．两点间的距离公式问题(2)：已知两点坐标如何求线段的长？方法○2：过点()1,3A -向x 轴作垂线，过点()3,2B -向y 轴 作垂线，两条垂线交于点()1,2P --，且()325PA =--=， ()314PB =--=，所以在Rt PAB ∆中，AB =CD =，则AB =由方法○1得AB CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．一般地，设两点111222(,),(,)P x y P x y ，求12PP 的距离．如果12,12x x y y ≠≠，过12,P P 分别向y 轴、x 轴作垂线，两条垂线相交于点()21,Q x y ． 因为121221||,||PQ x x P Q y y =-=-，所以在12Rt PPQ ∆2222212122121()()PP PQ PQ x x y y =+=-+- (*) 当12x x =时，1221||PP y y =-，当12y y =时, 1221||PP x x =-，均满足(*)式． 结论：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为 12PP =．3．中点坐标公式问题(3)：要证明对角线互相平分，只需要证明对角线AC 和BD 的中点相同，如何证明呢？ 方法○3：设线段AC 的中点为M (,)x y ，过点,,A M C 向x 轴作垂线，垂足分别为111,,A M C ，则111,,A M C 的横坐标分别为1,,6x -， 由1111A M M C =得(1)6x x --=-，解得16522x -+==，同理得3(1)12y --==， 所以线段AC 的中点M 的坐标为5(,1)2，同理可得线段BD 的中点坐标也为5(,1)2，因此四边形ABCD 的对角线AC 和BD 在点M 处互相平分，故这个四边形是平行四边形． 结论：一般地，对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则121200,22x x y y x y ++==． 证明方法分析:(1)可仿照例题的方法而得；(2)第一步:由12MP MP k k =证明12,,P M P 在同一直线上；第二步:有距离公式证明12MP MP =，所以M 为12PP 的中点．(参考教材91P ) 4．例题讲解例1．(教材89P 例1)(1)求()()1,3,2,5A B -两点之间的距离； (2)已知()()0,10,,5A B a -两点之间的距离为17，求实数a 的值．解：(1)AB ==．(2)178AB a =⇒=±．例2．(教材91P 例2)已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,A B --AM 的长和AM 所在的直线方程．解：如图，设BC 中点(,)M x y ，则24171,322x y -+-+====，即(1,3)M ， 则AM ==31:5311AM y x l --=---，即40x y +-=．例3．(教材92P 例3)已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 系，证明：12AM BC =． 证：如图，以Rt ABC ∆的直角边,AB AC 所在直线为坐标轴，A 为原点，建立直角坐标系，设()(),0,0,B b C c ， M 是BC 的中点， (,)22b cM ∴，因为BC =，AM = 所以，12AM BC =． 例4．已知点(0,3),(-1,0),(3,0)A B C ,试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．分析：要使四边形为等腰梯形，则需他的一组对边平行且不相等，而另一组对边相等． 解：设(,)D x y ，由AB CD =及AD BC ，得3y =⎧=解得23x y =⎧⎨=⎩或4x =⎧(不合题意，舍去). 再由BC AD =及AB CD ，得030301y x --⎧=⎪-+=解得16535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43xy=⎧⎨=⎩(不合题意，舍去).∴所求D点的坐标为(2,3)或163(,)55．例5．已知直线1:12l y x=-，(1)求点(3,4)P关于l对称的点Q；(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．解．(1)设00(,)Q x y，由于PQ l⊥，且PQ中点在l上，有004234311222yxy x-⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得29585xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴Q298(,)55-(2)在l上任取一点，如(0,1)M-，则M关于点(2,3)对称的点为(4,7)N．∵所求直线过点N且与l平行，∴方程为17(4)2y x-=-，即2100x y-+=．例6．一条光线经过点(2,3)P射在直线10x y++=上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10x y++=的对称点．解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y++=对称，设P点关于直线10x y++=对称点的坐标为00(,)Q x y，因此PQ的中点在直线10x y++=上，且PQ所在直线与直线10x y++=垂直，所以003(1)12231022yxx y-⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得(4,3)Q--．反射光线经过,A Q两点，∴反射线所在直线的方程为4510x y-+=．由10,4510,x yx y++=⎧⎨-+=⎩得反射点21(,)33R--．入射光线经过,P R∴入射线所在直线的方程为0145=+-yx．例7．已知定点(2,2),(8,4),A B x-解：设(),0P x如图显然，PA PB AB+≥(则变式1．已知定点(2,2),(8,4),A B x解：设(),0P x如图显然，PB PA AB+≤(则maxAB ==变式2．已知定点(2,2),(8,4),,A B x R∈解：设(),0P x PA =+设()2,2A 关于x 轴的对称点为A '，则()2,2A '-， 如图PA PA '=，PA PB PA PB A B ''∴+=+≥，则minA B '==．变式3(思考题) ．已知定点()3,1A ，在直线y x =和0y =的周长最短，并求出最短周长．简解：2112AM MN MA A M MN A M A A ++=++≥， 55,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，周长min 12A A == 5．课堂小结(1)掌握两点间的距离公式 (2)掌握中点坐标公式。
人教版数学必修二导学案：第8课时(平面上两点间的距离)
引入新课1．已知)4,2()1,6()2,3()3,1(D C B A ，，，---，四边形ABCD 是否为平行四边形？2．两点间的距离公式：3．中点坐标公式：练习：1．求B A ,两点间的距离：（1）)3,2()0,2(---B A ，；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点之间的距离为17，求实数a 的值． ．2．求AB 中点的坐标：（1）)4,4()10,8(-B A ，；（2）)3,2()2,3(--B A ，．3．已知)5,(),10,0(-a B A 两点间的距离是17，则实数a 的值为_______________．例题剖析已知ABC ∆的顶点坐标为)7,4()1,2()5,1(C B A ，，---， 求BC 边上的中线AM 的长和AM例2已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M证明：BC AM 21=．一条直线l ：121-=x y ，（1）求点)4,3(P 关于l 对称的点Q 的坐标． 例1xx例3(2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．☆例4：已知定点(2,2),(8,4),,A B x R ∈变：已知定点(2,2),(8,4),,A B x R ∈巩固练习1．已知两点)5,8(),0(-B m A ，之间的距离是17，则实数m 的值为_______________． 2．已知两点)2,3()4,1(A P ，-，则A 关于点P 的对称点B 的坐标为_______________． 3．已知ABC ∆的顶点坐标为)31,32()0,1()2,3(-+C B A ，，，那么AB 边上的 中线CM 的长为_______________．4．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是)1,2(-，求线段AB 的长．:课堂小结两点间的距离公式，中点坐标公式．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．已知点)9,4()3,8()2,5(-C B A ，，，则点A 与BC 中点间的距离为______________． 2．已知点)2,1(-P ，则点P 关于原点对称的坐标为______________， 关于x 轴对称的坐标为___________，关于y 轴对称的坐标为___________． 3．若直线l 过点)2,3(P ，且P 是直线l 被坐标轴截得线段的中点， 则直线l 的方程为______________________4．已知两点)4,1()3,2(-B A ，，点)(y x P ，到点B A ，的距离相等， 则实数y x ，满足的条件是____________________．5．已知B A ，两点都在直线1-=x y 上，且B A ，两点横坐标之差为2， 则B A ，之间的距离 ．6．如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a = ，b = 。
数学必修Ⅱ人教A版3.3.2《两点间的距离》精品教案
课题:两点间距离课 型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导 教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。
教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。
分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，， 直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （27 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。
所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
1.2.3直线与平面的位置关系(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)
直线 a 叫做平面 ；平面 叫做直线 a 的 ；垂线和平面的交点称为 思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？ ②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？ ③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？ 3． 从平面外一点引平面的垂线， 4．直线和平面垂直的判定定理 语言表示：
， 叫做这个点到这个平面的距离． 图形表示：
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课题： 1.2.3 直线与平面的位置关系（2）检测案
班级： 姓名： 学号： 第
D1 A1 B1
学习小组
C1
【课堂检测】 1．已知直线 l ， m ， n 与平面 ，指出下列命题是
AC 的位置关系_________． BD1 与 B1C 的位置关系_________． 进而可得 BD1 与平面 ACB1
3．如图，已知 PA ⊥ ， PB ⊥ ，垂足分别为 A ， B ，且 ∩ = l ， 求证： l ⊥平面 APB ．
B
P
A
l
A
O
B
C
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课题：1.2.3 直线与平面的位置关系（2）导学案
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
1、 理解直线和平面垂直的定义及相关概念； 2、 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理． 【课前预习】 1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？ ②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？ ③圆锥的轴与底面垂直吗？ 2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线 a 与一个平面 内 的 直线都 ，那么直线 a 与平面 互相垂直，记作 ． ．
符号表示：
4．直线和平面垂直的性质定理 语言表示：
A版高中数学必修2课件《两点间的距离 》(人教版)
y
(ｂ,ｃ)
D
(a+ｂ,ｃ)
C
A (0,0)
(a,0)
B
x
因为 AB
AC
2
a 2 CD , AD
( a b) c , BD
2 2
2
2
BC
2
b2 c2
2
2
(a b) 2 c 2
2
所以
AB
AC
2
CD
BD
2
AD
2
BC
2(a 2 b 2 c 2 )
第三章 ·直线与方程
两点间的距离
Hale Waihona Puke 情境导入学习目标1.能够推导两点间距离公式；(重点) 2.会应用两点间距离公式证明几何问题。(难点)
课堂探究
探究1：已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的距离|P1P2|? |P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2
2.利用坐标法 解决一些几何问题。
2
2
2( a 2 b 2 c 2 )
所以
AB
2
CD
2
AD
2
BC
2
AC
2
BD
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
课堂训练
求下列两点间的距离：
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3) P(6, 0), Q(0, 2) (2)C (0, 4), D(0, 1) (4) M (2,1), N (5, 1)
解得x=1，
(1 1) 2 (0 2) 2 2 2
2014年人教A版数学必修二导学案：1.2.4直线与平面的位置关系(2)
α l D β C E
A B
4．在四棱锥 P-ABCD 中，若 PA⊥平面 ABCD，且 ABCD 是菱形， 求证：平面 PAC⊥平面 PBD．
P
A
B
D
C
【课外作业】
1、设 m 、n 是两条不同的直线，α 、β 、γ 是三个不同的平面，给出下列四个命题 中正确命题的序号是______________________． ①若 m⊥α ，n //α ，则 m⊥n； γ ； ③若 m //α ，α ⊥β ，则 m //α ； ④若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α //β ． 2．已知平面α ⊥β ，α ∩β = l ，P 是空间一点，且 P 到α 、β 的距离分别是 1、2， 则点 P 到 l 的距离为_____________ ． 3．如图，α ⊥β ，α ∩β = l，AB α ，AB⊥l，BC β ，DE β ，BC⊥DE， 求证：AC⊥DE． ②若α //β ，β //γ ， m⊥α ，则 m⊥
课题 ：1.2.4 直线与平面的位置关系（2）导学案
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
1、理解二面角及其平面角的概念； 2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理及简单应用． 【课前预习】 1． 早读课时， 需要将书本打开一定的角度．如何刻画两个平面所形成的这种 “角” 呢？ 二面角的概念：
例 2、如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1，求证：平面 B1AC⊥平面 B1BDD1．
D1
C1
A1
B1
D A B
C
例 3、如图，已知 PA⊥平面 ABC，AB 是ห้องสมุดไป่ตู้O 的直径，C 是⊙O 上的任一点． 求证：平面 PAC⊥平面 PBC．
P C A O B
人教A版数学必修二导学案：2.1.5平面上两点间的距离(1)
【课堂研讨】 例 1.已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5)，B(2,1)，C (4,7) ， 求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程．
y
C (4,7)
M
A(1,5)
B(2,1)
O
4
x
例 2．一条直线 l ： y
1 x 1 ，求点 P(3,4) 关于 l 对称的点 Q 的坐标． 2
例 3、已知 ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M ，建立适当的直角坐标系， 证明： AM
1 BC ． 2
y
C (0, c)MFra bibliotekO ( A)
B(b,0)
x
课题：2.1.5 平面上两点间的距离检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1 ． 已 知 点 A(5,2)，B(8,3)，C (4,9) ， 则 点 A 与 BC 中 点 间 的 距 离 为 ______________． 2．已知点 P(1,2) ，则点 P 关于原点对称的坐标为______________， 3． 已知两点 A(0, m)，B(8,5) 之间的距离是 17 ， 则实数 m 的值为_______________． 4． 已知两点 P(1,4)，A(3,2) ， 则 A 关于点 P 的对称点 B 的坐标为_______________． 5．已知 ABC 的顶点坐标为 A(3,2)，B(1,0)，C(2 3,1 3) ，那么 AB 边上的 中线 CM 的长为_______________． 6．点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点 M 的坐标是 (2,1) ，求线段 AB 的长．
4．在 ABC 中，点 E，F 分别为 AB，AC 的中点，建立适当的直角坐标系， 证明： EF // BC 且 EF
高一人教版高中数学必修二平面上两点间距离教案
教材、教参、顶尖教案
自学法、启发法
教学辅助手段
多媒体 专用教室
教
学
二次备课
过程 一、引入新课 设计 1．已知 A(1,3)，B(3,2)，C(6,1)，D(2,4) ，四边形 ABCD是
否为平行四边形？
2．两点间的距离公式：
3．中点坐标公式：
练习： 1．求 A, B 两点间的距离：
（ 1 ） A(2,0)，B(2,3) ；（ 2 ） A(0,3)，B(3,3) ；（ 3 ） A(3,5)，B(3,3) ．
_______________．
中线
CM
的长为
______ ______ ___．
4．点 A 在 x 轴上， 点B在 y 轴上，
线段
AB 的 中点 M
的坐标 是
(2,1) ，
求线段
AB 的
长．
课堂小结
两点间的距离公式，中点坐标公式．
课外 作业
教学 小结
2．求 AB
中点的坐
标：
（1）
A(8,10)，B(4,4)
；（ 2 ）
二、例题剖析
A( 3, 2)，B( 2, 3)
已知 ABC的顶点坐标为 A(1,5)，B(2,1)，C(4,7) ，
．
求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程．
y C (4,7)
A(1,5) M
O4
x
B(2,1)
3．已知
当的直角坐标系，
证明： AM 1 BC ． 2
y C(0, c)
A(3,2)，B(1,0)，C(2 3,1
，那么
AB 边
上的
M
巩固练习
O ( A)
人教版高中数学高二数学《平面上两点间距离》学案
【教学目标】1、掌握两点间的距离公式2、掌握线段中点的坐标公式【教学重、难点】两点间距离公式及线段中点公式【教学过程】课前检测：设两直线的方程是1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=（1）当_________________时，1l 与2l 相交（2）当______________________________________时，1l 与2l 平行（3）当_____________________________时，1l 与2l 重合一、问题情境一般地，已知两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 两点间的距离？二、数学理论1、两点间的距离公式已知111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-2、线段中点的坐标公式 已知111222(,),(,)P x y P x y ，则线段中点00(,)M x y 的坐标为12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 三、数学应用例1、（1）求(1,3),(2,5)A B -两点间的距离；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离为17，求a例2、已知三角形ABC 的三个顶点的坐标为(1,1),(1,3),(3,0)A B C --，求证：三角形ABC 是直角三角形。
例3、已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程。
例4、已知(1,4),(3,2)P A -，求点A 关于P 点的对称点B 的坐标。
拓展：在直线:310l x y --=上求一点，使：（1）P 到点(4,1),(0,4)A B 的距离之差最大；（2）Q 到点(4,1),(3,4)A C 的距离之和最小。
2.1.5 平面上两点间距离作业班级 姓名 学号_______________等第____________1、 已知点(7,4),(3,2)A B ，则AB =_____________，AB 中点M 的坐标______________2、 点A 在x 轴上，B 在y 轴上，AB 的中点为(2,1)P -，则||AB =______3、 已知(4,1),(7,5),(4,7)A B C -，则三角形ABC 的形状是____________4、 光线从(3,5)A -射到x 轴上，经反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为_____________5、 已知三角形ABC 的三个顶点(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，则AB 边上的中线CD 所在直线方程为____________________________6、 顺次连接(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --组成的四边形是_________7、 已知两点P(1,-4)，A(3,2)，则点A 关于点P 的对称点坐标为______________。
人教A版数学必修二平面上两点间的距离.pptx
问题：
初中我们证明过这样一个问题： 直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。 你能证明此问题吗？
你能用解析几何的方法证明此问题吗？
练习
例3、证明直角三角形斜边的中点到三个顶 点的距离相等。
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C (0,0)
A(a,0)x
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
x2 y2
x0
y0
x1 x2
2 y1 y2
2
再见
例题分析
例2 已知点A(1, 2), B(2, 7), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
巩固提高：
1、若直线经过l 两条直线
2x 3y 3 0 ，x y 2 0
的交点，且与直线平3行x ，y求 1该直0 线方程。
A1x B1 y C1 m( A2 x B2 y C2 ) 0
求两直线的斜率
一、复习提问:
两
两条直线斜率都不存在 平行、重合
条
A1B2=A2B1
直 化为 线 斜截 方 式方
程程
k1=k2
平行、重合
A1B2≠A2B1
k1≠k2
相交
K1.K2=-1 垂直
A1A2+B1B2=0
一条直线斜率不存在，另
又因为该直线过原点，所以将原点代入 为过两直线
得
m8
l1, l2 的交点
所以直线的l 方程是 (2 x 3 y 8) 8( x y 1的) 直0线系
即
2x y 0
归纳总结：
高中数学 平面上两点的距离学案学案 新人教A版必修2
高二解析几何学案（3）教学目标：1掌握平面上两点间的距离公式2．掌握平面上连接两点的线段的中点坐标公式3．能运用距离公式和中点坐标公式解决简单问题一．课前预习：1.已知两点P 1（x 1,y 1）P 2（x 2,y 2），则P 1 P 2=_________________________.2．已知两点P 1（x 1,y 1）P 2（x 2,y 2），则P 1 P 2的中点坐标是______________.3．已知A （8,10），B （—4,3）则AB=__________,AB 的中点坐标为_________.4．已知)5,(),3,0(-a B A 两点间的距离是9，则=a __________.5．已知两点P （1，—4），A （3,2），则点A 关于点P 的对称点B 的坐标为__________.二．课中研学：例1．已知∆ABC 的顶点坐标为A （—1,5），B （—2，—1），C （4,7），求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程.变：求∆ABC 的重心坐标 .例2．已知∆ABC 三边AB,BC,CA 的中点分别是P （3，—2），Q （1,6），R （—4，2）求点A 的坐标.例3．已知AO 是∆ABC 中BC 边上的中线，证明：AO 2+AC 2=2(AO 2+OC 2).例4．已知A （—1，—2）B （2,7）（1） 在x 轴上求一点P 使PA=PB,并求PA 的值;（2） 在x 轴上求一点P 使PA+PB 最小;（3） 求53452)(22+-++-=x x x x x f 的最小值.变：（1）已知A （1,2），B （2,7）在x 轴上求一点P 使PA+PB 最小;（2）已知A （—1,2），B （2,7）在x 轴上求一点P 使PB PA -最大;（3）已知A （—1,2），B （2,7）在x 轴上求一点P 使PB PA -最大.三．课堂巩固：1．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M （2，—1），则AB =_________.2．已知点P 在直线04=-+y x 上，O 是原点，求OP 的最小值.3．已知点M （1,3），N （5，—2）在x 轴上求一点P 使PN PM -最大四．课后整学：数学之友。
高一数学必修2教案：2.1.5 平面上两点间的距离
§2.1.5 平面上两点间的距离教学目标：1．掌握平面上两点间的距离公式，能运用距离公式解决一些简单的问题 2．掌握中点坐标公式，能运用中点坐标公式解决简单的问题3．培养学生从特殊问题开始研究逐步过渡到研究一般问题的思维方式教学重点：掌握平面上两点间的距离公式及运用，中点坐标公式的推导及运用教学难点：两点间的距离公式的推导，中点坐标公式的推导及运用教学过程：1．引入新课引例．已知(1,3),(3,-2),(6,-1),(2,4)A B C D -，四边形ABCD 是否为平行四边形？ 问题(1)：证明一个四边形是平行四边形可用什么方法？(○1两组对边分别平行○2一组对边平行且相等○3方法○1：54AB CDk k AB CD ==-⇒P ，13AD BC k k AD BC ==⇒P ，则四边形ABCD 是平行四边形．2．两点间的距离公式问题(2)：已知两点坐标如何求线段的长？方法○2：过点()1,3A -向x 轴作垂线，过点()3,2B -向y 轴作垂线，两条垂线交于点()1,2P --，且()325PA =--=， ()314PB =--=，所以在Rt PAB ∆中，AB ==CD =，则AB =由方法○1得AB CD P ，所以四边形ABCD 是平行四边形．一般地，设两点111222(,),(,)P x y P x y ，求12PP 的距离．如果12,12x x y y ≠≠，过12,P P 分别向y 轴、x 轴作垂线，两条垂线相交于点()21,Q x y ． 因为121221||,||PQ x x P Q y y =-=-，所以在12Rt PP Q ∆2222212122121()()PP PQ P Q x x y y =+=-+- (*) 当12x x =时，1221||PP y y =-，当12y y =时, 1221||PP x x =-，均满足(*)式． 结论：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式 为 12PP =3．中点坐标公式问题(3)：要证明对角线互相平分，只需要证明对角线AC 和BD 的中点相同，如何证明呢？ 方法○3：设线段AC 的中点为M (,)x y ，过点,,A M C 向x 轴作垂线，垂足分别为111,,A M C ，则111,,A M C 的横坐标分别为1,,6x -， 由1111A M M C =得(1)6x x --=-，解得16522x -+==，同理得3(1)12y --==， 所以线段AC 的中点M 的坐标为5(,1)2，同理可得线段BD 的中点坐标也为5(,1)2，因此四边形ABCD 的对角线AC 和BD 在点M 处互相平分，故这个四边形是平行四边形． 结论：一般地，对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则121200,22x x y yx y ++==．证明方法分析:(1)可仿照例题的方法而得；(2)第一步:由12MP MP k k =证明12,,P M P 在同一直线上；第二步:有距离公式证明12MP MP =，所以M 为12PP 的中点．(参考教材91P ) 4．例题讲解例1．(教材89P 例1)(1)求()()1,3,2,5A B -两点之间的距离；(2)已知()()0,10,,5A Ba -两点之间的距离为17，求实数a 的值． 解：(1)AB ==． (2)178AB a =⇒=±．例2．(教材91P 例2)已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,A B --AM 的长和AM 所在的直线方程． 解：如图，设BC 中点(,)M x y ，则24171,322xy -+-+====，即(1,3)M ，则AM ==31:5311AM y x l --=---，即40x y +-=． 例3．(教材92P 例3)已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =． 证：如图，以Rt ABC ∆的直角边,AB AC 所在直线为坐标轴，A 为原点，建立直角坐标系，设()(),0,0,B b C c ，M Q 是BC的中点， (,)22b c M ∴， 因为BC==AM ==所以，12AM BC =．例4．已知点(0,3),(-1,0),(3,0)A B C ,试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．分析：要使四边形为等腰梯形，则需他的一组对边平行且不相等，而另一组对边相等． 解：设(,)D x y ，由AB CD =及AD BC P ，得3y =⎧=解得23x y =⎧⎨=⎩或4x =⎧再由BC AD =及AB CD P ，得030301y x --⎧=⎪-+=解得16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =⎧⎨=⎩(不合题意，舍去).∴所求D 点的坐标为(2,3)或163(,)55．例5． 已知直线1:12l y x =-，(1)求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；(2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l 垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．解．(1)设00(,)Q x y ，由于PQ l ⊥，且PQ 中点在l 上，有00004234311222y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得0029585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴Q 298(,)55- (2)在l 上任取一点，如(0,1)M -，则M 关于点(2,3)对称的点为(4,7)N ．∵所求直线过点N 且与l 平行，∴方程为17(4)2y x -=-，即2100x y -+=．例6．一条光线经过点(2,3)P 射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10x y ++=的对称点．解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y ++=对称，设P 点关于直线10x y ++=对称点的坐标为00(,)Q x y ，因此PQ 的中点在直线10x y ++=上，且PQ 所在直线与直线10x y ++=垂直，所以00003(1)12231022y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得(4,3)Q --．反射光线经过,A Q 两点， ∴反射线所在直线的方程为4510x y -+=．由10,4510,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得反射点21(,)33R --．入射光线经过,P R ∴入射线所在直线的方程为0145=+-y x ．例7．已知定点(2,2),(8,4),,A B x R -∈解：设(),0P xPAPB =+， 如图显然，PA PB AB +≥(三角形两边之和大于第三边)， 则minAB ==变式1．已知定点(2,2),(8,4),A B x 解：设(),0P x如图显然，PB PA AB +≤(则变式2．已知定点(2,2),(8,4),A B x 解：设(),0P x PA =+设()2,2A 关于x 轴的对称点为A '，则()2,2A '-， 如图PA PA '=Q ，PA PB PA PB A B ''∴+=+≥， 则minA B '==．变式3(思考题) ．已知定点()3,1A ，在直线y x =和0y =的周长最短，并求出最短周长．简解：2112AM MN MA A M MN A M A A ++=++≥，55,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，周长min 12A A == 5．课堂小结(1)掌握两点间的距离公式 (2)掌握中点坐标公式。
人教A版高中数学必修二新课标教案两点间的距离
3..3..。
2直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有=由P A P B=得2225411x x x x++=-+解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且PA==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为12⎛⎝⎭Ｍ，直线AB的斜率为12⎛⎫⎪⎝⎭ｘ－ＰＡ＝＝２２３线段AB的垂直平分线的方程是y-12⎛⎫⎪⎝⎭３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。
2014年人教A版数学必修二导学案：2.1.3直线的平行与垂直(2)
课题:2.1.3 直线的平行与垂直（2）检测案
班级： 【课堂检测】
1．求满足下列条件的直线 l 的方程： （1）过点 (3,1) 且与直线 3x 2 y 3 0 垂直； （2）过点 (5,7) 且与直线 x 3 0 垂直； （3）过点 (2,4) 且与直线 y 5 垂直．
A1 ， B1 不全为 0 ， A2 , B2 也不全为 0 试探求：当 l1 l 2 时，直线方程中的系数应满
足什么关系？
5．已知直线 l1 ： (a 2) x (a 3) y 5 0 和直线 l 2 ： 6 x (2a 1) y 5 0 ， 当实数为何值时， l1 l 2 ？
【课后巩固】 1．与 2 x 3 y 1 0 垂直，且过点 P(1,1) 的直线方程是________________． 2．若直线 l1 在 x 轴上的截距为 2 ，且与直线 x 3 y 2 0 垂直，则直线 l1 的方程是
_____ _________ 3．求与直线 5x 3 y 1 0 垂直，且在两坐标轴上的截距之和为 4 的直线方程．
例 2、如图，已知三角形的顶点为 A(2,4), B(1,2), C (2,3), 求 BC 边上的高 AD 所在的直线方程．
4
y
A 2
x
C
D 2
2
B
例 3、求与直线 2 x y 3 0 垂直，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 2 的直线 方程．
例 4、若直线 l1 在 x 轴上的截距为 2 ，且与直线 x 3 y 2 0 垂直， 则直线 l1 的方程是?
4． （1）已知直线 l1 ： Ax By C 0 ，且直线 l1 l 2 ， 求证：直线 l 2 的方程总可 以写成 Bx Ay C1 0 ；
高一人教版高中数学必修二平面上两点间距离教案
1,32-+精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
2.3.2空间两点间的距离(2014年人教A版数学必修二导学案)
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点 与点 之间的距离是．
4．在 轴上有一点 ，它与点 之间的距离为 ，
则点 的坐标是．
5．已知空间中两点 和 的距离为 ，求 的值．
6．试解释方程 的几何意义．
【课后巩固】
7．已知点 ，在 轴上求一点 ，使 ．
8．已知平行四边形 的顶点 ， ， ．
求顶点 的坐标．
9．已知：空间三点 ， ， ，
求证： ， ， 在同一条直线上．
10．（1）求点 关于 平面的对称点的坐标；
（2）求点 关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点 关于点 的对称点的坐标；
11．已知点 ， 的坐标分别为 ， ，
当 为何值时， 的值最小．最小值为多少？
12．在 平面内的直线 上确定一点 ，使 到点 的距离最小．
问题3．平面直角坐系中两点 ， 的线段 的中点坐标是什么？
空间中两点 ， 的线段 的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点 ， 间的距离 ．
例2、平面上到坐标原点的距离为 的点的轨迹是单位圆，其方程为 ．
在空间中，到坐标原点的距离为 的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以 ， ， 为顶点的 是等腰三角形．
例4、已知 ， ，求：
（1）线段 的中点和线段 长度；
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2． 一般地， 已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0 ， l1 : Ax By C2 0 ( C1 C2 ) 之间的距离为
| C1 C 2 | A2 B 2
．
说明：公式成立的前提需把直线 l 方程写成一般式．
【课堂研讨】
例 1.用两种方法求两条平行直线 2 x 3 y 4 0 与 2 x 3 y 9 0 之间的距离．
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课题：2.1.5 平面上两点间的距离检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【课堂检测】 1．直线 3x 4 y 7 0 与直线 6 x 8 y 3 0 之间的距离是 2．直角坐标系中第一象限内的点 P( x, y) 到 x 轴， y 轴及直线 x y 2 0 的距离
例 4.已知两直线 l1 : 3x 4 y 7 0 ，l 2 : 3x 4 y m 0 被直线 l 截得的线段长为 2 ，
l 过点 (2,1) ，且这样的直线有两条，求 m 的范围．
/ /
例 2.求与直线 3x 4 y 5 0 平行且与其距离为 2 的直线方程．
例 3.建立适当的直角坐标系， 证明： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高．
/ /
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6．正方形的中心在 C (1,0) ，一条边所在直线的方程是 x 3 y 5 0 ，求其它三边 所在的直线方程．
/ /
4．直线 l1 过点 A(5,0) ， l 2 过点 B(0,1) ， l1 // l 2 且 l1 与 l 2 间距离等于 5 ， 求 l1 与 l 2 的方程．
/ /
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5．两条平行直线 l1 ， l 2 分别过点 P 1 (1,0) 与 P 2 (0,5) ． （1）若 l1 与 l 2 的距离为 5 ，求两条直线的方程； （2）设直线 l1 与 l 2 的距离为 d ，求 d 的取值范围．
【课后巩固】 x y 3 1．直线 1 与直线 y= x 1 之间距离为 ． 4 6 2 2．与两平行直线 l1 : 3x 4 y 5 0 和 l 2 : 3x 4 y 7 0 的距离之比为 1 : 2 的
直线方程为 ． 3．直线 l 到两平行直线 2 x y 2 0 和 4 x 2 y 3 0 的距离相等， 求直线 l 的方程．
都相等，则 x 值是 3．直线 y 2 与 3 y 2 0 距离为 4．求下列两条平行直线之间的距离： （1）5 x 12 y 2 0 与 5x 12y 15 0 ． ． （2）6 x 4 y 5 0 与 y
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
5．直线 l 到两条平行直线 2 x y 2 0 与 2 x y 4 0 的距离相等， 求直线 l 的方程．
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课题：2.1.5 平面上两点间的距离
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
1. 会用点到直线距离公式； 2.掌握两平行直线距离公式的推导及应用； 3.渗透数形结合的思想. 【课前预习】 1．求直线 3x 4 y 5 0 与直线 3x 4 y 6 0 之间的距离．