高数证明题(1)

四、重点关注题目

1.证明：方程4042x

t dt x =-⎰在区间（1,2）只有唯一实根。

2.设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明：方程02()1x x f t dt -

=⎰在（0,1）内只有一

个实根。

3.设()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上连续，且()1f x >，证明：方程200cos ()0t x t dt e dt -+=⎰⎰在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

内有唯一实根。 4. 试证:当2021π

<<

212tan tan x x x x > 5. 当0>x 时,2

1arctan π>+x x 6.当0x >时，2(1)1x x e x -+>-

7.证明：当10x >>时，22ln(1)ln (1)2x x x +++<

8.证明：当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>

9.证明：当02x y π

<<<时，221tan tan 1cos cos y x x y x y

-<<- 10. 当1x >时，试证：

111ln 122x x x x -+-<<+. 11. 证明：

1

1111122

(1,1)(1)ln n n n n a a a a a n n a n ++-<<>≥+ 12.证明：当0x >时，ln(1)1x x x x <+<+ 13.试证：当1,0>>>n b a 时，)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---.

14. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，证明存在(,)a b ξ∈使得 ()()()()b

a f g t dt g f t dt ξξξξ=⎰⎰. 15.设()f x 在[,]a

b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证：(,)a b ξ∃∈，使得()()0f kf ξξ'+=成立（k 为实常数）.

16. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(1)1f =．证明：在

)1,0(内至少存在一点ξ，使得()()20f f ξξξξ'+-=成立．

18. 证明：

ππ2200sin cos n n xdx xdx =⎰⎰. 19. 求证：

ππ00π(sin )(sin )2xf x dx f x dx =⎰⎰，并计算π20sin 1cos x x dx x +⎰。

20. 设20sin n n I xdx π

=⎰，试证21n n n I I n --=，并计算6260sin I xdx π=⎰. 21.设函数()f x 在区间[0,1]上连续，且

10()0f x dx =⎰，证明： （1）1

0[(1)()]0f x f x dx -+=⎰； （2）(0,1)ξ∃∈，使得(1)()0f f ξξ-+=.

23.设(),()f x g x 在[,]a a -上连续，()g x 为偶函数，()()2f x f x -+=，

证明：0()()d 2()d a

a

a f x g x x g x x -=⎰⎰. 24. 设()f x 在0x x =处导数存在，试证：()f x 在0x x =处连续。

25. 设函数()f x 在区间(,)a b 内处处导数存在，且()0f x '>，试证：()f x 在区间(,)a b 内是增函数。

26. 设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，且()0f x '≡，试证：()f x 在区间(,)a b 内是常值函数。

27.已知函数()f x 在[,]a b 上连续，设()(),[,]x

a F x f t dt x a

b =∈⎰，试证：()()F x f x '=。

28.数()f x 在[,]a b 上连续，且()()F x f x '=，证明：

()()()b a f x dx F b F a =-⎰。