初三总复习第一讲实数的有关概念及运算

实数的有关概念及运算

知识点：1.有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值；

2.有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、

近似数与有效数字。

教学目标：

1. 使学生复习巩固有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义；

2. 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小；

3. 会画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小；

4. 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算；

5. 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算；

6. 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

教学重难点：

1．有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值的概念；2．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题；3．实数的运算和近似数、有效数字、科学计算法。

教学过程：

1、实数的有关概念：

考点1 实数的分类：

1）按定义分类：

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧⎭⎬⎫

无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数实数 2）按正负分类：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧负无理数负分数

负整数负有理数负实数零正无理数正分数

正整数

正有理数正实数实数

注意：1）任何分数都是有理数，如22/7，－3/11等； 2）0既不是正数，也不是负数，但0是自然数； 3）常见的几种无理数：

①根号型：2，8等开不尽方的； ②构造型：如…； ③与π有关的，如π/3，π－1等。 考点2 实数的有关概念：

1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。(画数轴时，要注童

上述规定的三要素缺一个不可)

注意：①实数与数轴上的点是一一对应的；

②数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。 2）相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零。 注意：① 若a 、b 互为相反数，则0=+b a ，n n b a 22=（n 为正整数），b a =； ② 相反数等于它本身的数是零；

③从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。 3）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

注意：零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是1或－1。

4）绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

注意： ⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a

5）科学记数法：把一个数写成n a 10⨯形式（其中1≤ | a | <10，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法

6）近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。对于数值较大的数，可利用先用科学记数法表示，再确定其有效数字或取其近似数。 7）非负数：零和正数统称非负数。 注意：

①常见的非负数的形式：|a| 、2a 、)0(≥a a ；

②非负数的常用应用类型： 几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0； 考点3 实数的大小比较：

1）数轴比较法： 将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示在同一点则相等； 2）差值比较法：设a 、b 是任意两实数，则b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0 ；b a b a =⇔=-0．

3）商值比较法：设a 、b 是两正实数，则b a b a >⇔>1；b a b

a

=⇔=1；

b a b

a

<⇔<1 4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则|a|>|b|⇔ab

除此之外，还有平方法、倒数法等方法。

注意：比较实数大小时，常常用到实数的减法（作差）和除法（作商）运算。 2.实数的运算：

考点4 实数的运算：

实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右依次进行运算。 1）加法：

①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③任何数与零相加等于原数。 2）减法：)(b a b a -+=-

3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都

得零。

4）除法：

)0(1

≠⋅=b b

a b a 5）乘方：32

1Λ个

n n a aa a = 6）开方：如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3 7）实数的运算律

①加法交换律：a b b a +=+ ②加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ③乘法交换律：ba ab = ④乘法结合律：)()(bc a c ab = ⑤分配律：ac ab c b a +=+)(

其中a 、b 、c 表示任意实数，运用运算律有时可使运算简便。

【例题精讲】

例1.下列运算正确的是（ ）

A ．33--=

B ．3)

3

1(1

-=-

C 3=±

D 3=-

例 ）

A ． C ．2- D ．2

例的平方根是（ ）

A ．4

B ．．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．10

7.2610⨯ 元 B ．9

72.610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元

D ．11

7.2610⨯元

例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，

则必有（ ） A ．0a b +>

B ．0a b -<

C ．0ab >

D ．

0a

b

< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：

a ⊕

b = n (n 为常数)时，得

（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3

现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．