定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理

【考纲要求】

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。 【知识网络】

【考点梳理】

要点一、定积分的概念

定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式

1

1

()()n n

n i i i i b a

I f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作

()b

a

f x dx ⎰

，即()b

a

f x dx ⎰＝1

lim ()n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-∑

，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.

要点诠释：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()b

b

a a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰（k 为常数），

（2）[]1

2

12()()()()b

b b

a a

a

f x f

x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，

（3）

()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰（其中b c a <<），

（4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则

()0b

b f x dx -=⎰

； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则

0()2()b

b

b

f x dx f x dx -=⎰

⎰.

定积分的概念

定积分的性质

微积分基本定理

定积分的几何意义及应用

要点三、微积分基本定理

如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

,其中()F x 叫做)(x f 的一

个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.

一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()

b

a

F x .因此，微积分基本定理可以写成形式：

()()

()()b

b

a

a

f x dx F x F b F a ==-⎰

.

要点诠释：

求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分

⎰

b

a

dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与

x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.

在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分

⎰

b

a

dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；

在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分

⎰

b

a

dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线

b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.

要点五、应用

（一）应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b

b

a

a

S f x dx f x g x dx =

=-⎰

⎰；

2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]b

b b

a

a

a

S f x dx f x dx g x f x dx =

=-=-⎰

⎰⎰；

3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()b

b b

a

a

a

S f x dx f x f x dx f x dx =

-=-⎰

⎰⎰.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()b

a

S v t dt =

⎰

.

②变力作功

物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到

x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =

()b

a

F x dx ⎰

.

【典型例题】

类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分