电磁相互作用和电磁场

比值
f q
电场强度定义
f E
q
Q
q
P
f
与试验电 荷无关
讨论
E E rE xyz
f E
q
矢量场
Q
量纲
国际单位制
E
f
q
LM3IT1
P E
单位
N C
或 Vm
点电荷在外场中 受的电场力
f qE
三.电场强度的计算
q
1.点电荷的场强公式
Q r r
根据库仑定律和场强的定义
由库仑定律 由场强定义
K
q1q2 r2
r
q1
r
但 r 从电荷2指向电荷1
表达式仍为
q2
r
2 . K的取值 一般情况下物理上处理K的方式有两种： 1)如果关系式中除K以外，其它物理量的单位已 经确定
那么只能由实验来确定 K 值 K 是具有量纲的量 如万有引力定律中的引力常量G就是有量纲的量 2)如果关系式中还有别的量尚未确定单位 则 令就 K=1 (如牛顿第二定律中的K )
由对称性分析知
垂直x 轴的场强为0
EExx
EExx
y dq r
EEx
Q
dq
40r2
cos
z
R
o
x
x
cos 4 0r2
dq
Q
cos
x r
xQ
E
40
x2 R2
32
若
x >> R
Q
Q
E40x2 40r2
点电荷
讨论
理想模型
点电荷
r >> d d
电偶极子 r >> l l
L
无限长带电线 r << L
库仑定律 (两种) 第一种 国际单位制中 第二种 高斯制中
SI
K9109m 2N/c2
电量的单位尚未确定
令 K = 1
3.SI中库仑定律的常用形式
f
q1q2 r2
有 理 化
令 K 1
4 0
08.851012
c2 m2N
真空介电常量 真空电容率
f
q1q2
4 0r2
r
讨论
1)基本实验规律
q 1 r
d
E dS
dEds
若面积元不垂直电场强度，
匀强电场
E ds
E
dS dS
电场强度与电力线条数、面积元的
关系怎样？
由图可知
通过
ds和 ds
电力线条数相同
dsd^sn
dEdsEdcsos dEdS
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
无限大带电面 r << d
叠加原理
d
r
r
r
r
§3 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目， 等于该点场强的量值。
q4d 1c0 sr1o21sq4d2c0sr22o2s 0
d1d 20
SEds0
此种情况下 仍得证 3) 源和面均 任意
q
rd2S2
S
r1
r^1
E2
E1
dS1
d
1
E
ds
i
qi
S
0
根据叠加原理可得
E dSE i dS
S
Si
qi
i
0
讨论
1.闭合面内、外电荷的贡献
对
E
都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
1.表述
在真空中， 两个静止点电荷之间的相互作用 力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们 之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它 们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
f
K
q1q2 r2
f
K
q1q2 r2
r
q1
q2
r
r
r 从电荷1指向电荷2
电荷2 受电荷 1的力
若表示 电荷1受电荷2的力
f
电磁场的统一性 物质性 相对性
电磁场量的相对论变换
五.引力场
思路：实验规律
场的 性质
场与物质的 相互作用
第一章 真空中的静电场 Electrostatic field
§1 库仑定律 一.电荷守恒定律
1.对电荷的基本认识
两种
电荷量子化 (charge quantization )
1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上 证明了，微小粒子带电量的变化不连续。
dl dl
例1 电偶极子的场 首先看 一对等量异号电荷
q
相距 l EE E
r
l
4q 0r2 r 4q0r2 r
P E
E rq
一般方法 点电荷场叠加
若从电荷连线的中点向场点P画一位矢 r
P
若 r >> l
则这一对等量异号电荷
q
r
r
r
q
称为电偶极子(electric dipole) l
i 1
f
q
Ei
i
in
i 1
fi
in
fi
q
i1 q
或
E
in i1
qi
40ri2
i
若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示
dq
Q
把带电体看作是由许多个电荷元组成， 然后利用场强叠加原理。
dV rP
dq
E dE
Q
Q
40r2r
dq
dE
体电荷密度
dV
电荷密度
面电荷密度
dq ds
ds
线电荷密度 dq
思路：先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元 ds
q
E
该面元对点电荷所张
的立体角 d
S d
dS
点电荷在面元处的场强为 E
点电荷在面元处的场强为
E
q
4 0r 2
^r
qr
S d
r^
E
dS
dEdS4q0r2rdS
qds c os 4 0r 2
d
0
l
0
dl
当然 也
dl 0 r0
r 射线长为
r1
d
dl 1
一般的定义：线段元d l 对某点所张的平面角
ddl0 dlcos
rr
单位：弧度
平面角 ddl0 dlcos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r dl
r1
d
l
1r
d
0
l
0
r
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r 1
E 4q 0r3 r r r r 2 3r r2 l
r
r
l
r r 2r
1
E40r3
p 3rp r
例2 长为 l 均匀带电直线 电荷线密度为
dE
求：如图所示 p 点的电场强度
dx
解：在坐标 x 处取一个
ax
电荷元dq dqdx o x lr p
该点电荷在 p 点的场强方向如图所示
S
再根据高斯定理解方程
qi
E 4r i 0
Q P
Ror
E
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E0
r>R
E
Q
40r2
如何理解面内场强为0 ?
过P点作圆锥
P
dq 1
dq 2
则在球面上截出两电荷元
d1 qd1S d2q d2S
dq 1
之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
匀强电场
二.电通量 (electric flux) 藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
d
S
E
dS
ds
E
通过任意面积元的电通量 d EdS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
QNe
电量是相对论不变量
电荷守恒定律 (law of conservation of
charge) 讨论
Qi c
电荷守恒定律的表述：
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷 的代数和在任何物理过程中保持不变。
电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律
二.库仑定律( Coulomb Law) 1785年，库仑通过扭称实验得到。
面对称 无限大 平板 平面
例1 均匀带电球面 总电量为 Q
半径为 R 求：电场强度分布
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
Q P
Ror
E
S
dS
取过场点的 以球心 o 为心的球面
先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS
EdS E dS
E4r2
S
S
S
E dS E4r2
每一面元处视为匀强电场
dEdS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
dE dS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如前图 知 E ds>0
若如红箭头所示 则 E ds<0
通过闭合面的电通量 S
SEdS
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
EdS 确定的值 S
E ds<0 电力线穿入
E
E ds>0 电力线穿出
第三篇 电磁相互作用和电磁场 Electromagnetic field
四种基本相互作用 电磁 引力 强 弱
电磁相互作用 重要 清楚
通过电磁场说明 场的 基本性质 基本特征 基本方法
场论
内容：
一.静电场及基本性质
二.稳恒电流的电场、磁场及基本性质
三.电磁感应现象及规律
四.Maxwell 电磁场方程组
在P点场强
dE1
dS1 40r12
d 4 0
方向 如图
dq 2
在P点场强
dE2
dS2 40r22
4 0
d
dE 1dE2
方向 如图
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析
取合适的高斯
面计算电通量
E
ds
E ds E ds
S
侧面
2.静电场 相对于观察者静止的电荷产生的电场 是电磁场的一种特殊形式
二.电场强度 (electric field strength)
空间带电体
Q
电量为 Q
描述场中各点电场的强弱的物理量 是电场强度
试验 条件 电荷
电量充分地 小
线度足够地
试验电荷放到场小点P处，
试验电荷受力为 f
试验表明：确定场点
大小为
dq
dE 4 0r2
dx 40lax 2
各电荷元在 p 点的场强方向一致
场强大小直接相加
E dE
l
dx
EdE040lax2
l
o
x
dx
a
dE x
p
r
例3 均匀带电圆环轴线上的场
y
解：
dq
在圆环上任取电荷元 d q
R
dq
dE 4 0r2 r
o
z
QR x
r
dE
x
x
dEx dEcos dEx dEsin
q2
r
q 1 施力
q 2 受力
?
宏观 微观 适用
2)点电荷 理想模型 三.电力叠加原理
f fi
i
§2 电场 电场强度 早期：电磁理论是超距作用理论 后来: 法拉第提出近距作用 并提出力线和场的概念
一.电场 (electric field) 电荷周围存在电场。
1.电场的基本性质 对放其内的任何电荷都有作用力 电场力对移动电荷作功
只有闭合面S 内的电量对电通量有贡献
2.静电场性质的基本方程 有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
4.微分形式
1
E 0
四. 高斯定理在解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下
利用高斯定理解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
dS
S
dS
三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS
S
i
0
补充：立体角的概念
平面角：
r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r 1 为半径的弧长 d l1 d r 1
d
l
1r
q d
4 0
S
EdS
S
q
40d
q
4 0
d
S
q 0
在所设的情况下得证
E
ds
i
q内i
S
0
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷(如图示)
在闭合面上任取面元 dS1
q rd2S2 S
r1
r^1
E2
E1
dS1
该面元对点电荷张的
d
1
立体角 d
也对应面元dS2
两d 面 元E 处1 对d s 1 应 的E 2 点d 电s 2 荷的4电q0r场12^强r1度ds1分别4为q0r22Er^21， dsE2 2
电偶极矩 (electric moment) pql
E E E 4q 0r2 r 4q 0r2 r
电偶极子
1
E40r3
p 3rp r
1
E40r3
p 3rp r
P
讨论 pql
特殊情况
q
连线上，正电荷右侧
P
r r
r
l
r
q
P
r
垂直连线上的一点P
一点 P 的场强
r pp
r p0
E
2p
Qq
f 4 0r2 r
f E
q
讨论
球对称
r
从源电荷指向场点
由上述 两式得
Q
场强方向
E 4 0r2 r 正电荷受力方向
2.场强叠加原理
根据电力叠加原理
任意带电体的场强
和场强定义
如果带电体由 n 个点电荷组成，如图 q i
由电力叠 加原理 由场强定义
整理后得
in
f fi
q ri
E
r E
40r3
E
p
40r3
1
E40r3
p 3rp r的推导
从
E
4q 0r2
r 4q 0r2
r 出发
q E
40
rr3
rr3
q
由 图
rrl2 rrl2
P
r
Hale Waihona Puke Baidu
r
r
q
l
r 2r2l4 2r lr 2r2l4 2r l
r3 r314lr22 rr2l32 r 3 r 3 1 2 3r r2 l r 3 r 3 1 2 3r r2 l
r0
球面面元 ds 1
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl 0 2 弧度
l
lr
r l 0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
S
d
S
dS0 r02
4
球面度
2.高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理