矩阵在密码学中的应用

3 mod 26 14
3 d ＝ 明文 P＝ 14 o
明文P＝“do”
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（6）希尔密码的破译
• Hill密码对于唯密文攻击方式有很高的防攻 击能力，完全隐藏了单字母的频率特性； • 所用矩阵越大，这种抵抗性越强，足以抵抗 唯密文攻击； • Hill密码能比较好地抵抗频率法分析，对抗 仅有密文的攻击强度较高； • Hill密码易受已知明文攻击, 原因是：如果 知道n块相互独立的明文串及相对的密文，就 可以确定密钥矩阵K.
矩阵在密码学中的应用
数学与大数据学院线性代数课程组
钱建发
教授
2017年10月
内容提要
1.引言 2.密码的定义 3.密码学的发展史 4.希尔（Hill）密码体制 5.练习题
1.引言
• 矩阵理论是代数学的重要组成部分，随着信息 科学的不断发展和深入，代数学的矩阵理论也 有更广泛而深入的应用。 • 例如，在密码学中的 • Playfair密码 • Hill密码 • 矩阵都有着非常重要的应用 • 本节主要介绍矩阵在Hill 密码理论中的应用。
2.密码定义
密码是一种用来混淆的技术，密码主要任务是将可识 别的、正常的信息转变为无法识别的信息。 明文：加密前的信息；
密文：加密后不为常人所理解的用密码表示的信息；
加密：将明文转变成密文的过程； 解密：将密文转变成明文的过程。
3.密码学的发展历程
密码学的发展历程大致经历了三个阶段
• 古典密码（手工、机械阶段 -１９４９ ） • 近代密码（计算机阶段１９４９-１９７５） • 现代密码（１９７６-）

密文分组，每个字符对应一个数值 P≡K-1C mod 26
2017年12月18日11时44分
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(4)Hill密码的加密过程
• 第1步：选择一个n阶可逆矩阵K作为加密矩阵， 将明文字符按顺序排列分组； • 第2步：将明文字符对应一个整数，组成一组列 向量，用加密矩阵左乘每一列向量； • 第3步：将新向量的每个分量关于模26取余运算 ，将新向量的每个整数对应于一个字符。
3 d ＝ 明文编码 P＝ o 14
1 8 3 115 11 加密 C≡ ≡ ≡ mod 26 0 9 14 126 22
l ，即C＝“lw” C＝ w
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（5）Hill密码的例子
（2）基本概念
• 希尔密码使用26字母表, A，B，....... ,Z； • 每个字母由一个数字代换，被分配一个数值（0， 1，…，25）； • 例如：
A B C …… W X Y Z 0 1 2 22 23 24 25
(3)Hill密码的加/解密原理
加密: • 明文分组，每个字符对应一个数值 • C≡KP mod 26，其中，K为密钥矩阵， P、C分别为明、密文分组 解密:
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(5)Hill密码的解密过程
解密过程是加密过程的逆过程。 第1步，计算密钥矩阵的逆矩阵 K-1 第2步， 计算明文M＝C×K-1 第3步：将明文的每个整数对应于一个字符。
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（5）Hill密码的例子
加密： 1 密钥矩阵K＝
8 0 9
K-1 =
明文分组P＝“do”
wk.baidu.com
1 2 0 3
9
(4)Hill密码的加密过程
例如，设n = 2 ，明文串p1p2到密文串c1c2 的变换由 下面方程组给出 c1 = (k11p1 + k12p2) mod 26 c2 = (k21p1 + k22p2) mod 26
k11 k12 (c1 , c2 ) ( p1 , p2 ) mod 26 k 21 k22 k11 k12 称为密钥矩阵。 其中K＝ k 21 k22
解密：
1 8 密钥矩阵K＝ 0 9
11 l ＝ C＝“lw” C＝ w 22 1 2 11 ≡ 55 ≡ 解密 P≡ 0 3 22 66
1 2 K-1 = 0 3
14
4 15 24 1.取加密密钥阵K = 15 6 17 ,用K加密明 9 17 0
练习：
文“are”,并求加密密钥阵K的逆矩阵.
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感谢合作，谢谢大家！
4.希尔（Hill）密码体制
（1）Hill密码简介
• 1929 ，由数学家Lester Hill发明的，以他的 名字命名为 Hill密码体制； • Hill利用代数学中的矩阵乘法加密系统 ，混淆 了字符间的对应关系，是一种分组密码； • Hill密码体制的意义在于第一次在密码学中用 到了代数学的方法（如矩阵乘法，模的运算）。