相似三角形典型例题

相似三角形典型例题

相似三角形典型例题

例1.如图，P为Rt△ABC斜边AB 上任意一点（除A、B外），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（）

A、1种

B、2种

C、3种

D、4种

错解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形。选B

解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；

过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A

∴△APE∽△ACB；

∴共有3条．

选：C

点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。

例2. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC 是否相似？

错解：△AOB∽△DOC.理由如下：

在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴

，

∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC

正解：要得到△AOB∽△DOC，如果由两边

对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到△AOD∽△COB，则

。以上两个比例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。

例3. 如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。

（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；

（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。

图1

解：（1）∠ABC＝135°，BC=22

（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝

135°，AB

DE

BC

EF

==2

∴△ABC∽△DEF

评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应

用，思维能力得以提高。

例4 如图2所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD ＝BC＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。

图2

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。如图3所示。

图3

（2）BE BC CE

=-=-=

17005001200（米）

AE AB BE

=+=

221500（米）

∵△ABE∽△CFE

得CF

AB

CE AE =

∴·

CF

CE AB

AE

==

⨯

=

500900

1500

300（米）

∵△BHE∽△CFE，得CF

BH

CE BE =

∴·

BH

BE CF

CE

==

⨯

=

1200300

500

720（米）

∵△ABE∽△DGA，∴AB

DG

AE AD =

∴·

DG

AB AD

AE

==

⨯

=

9001700

1500

1020（米）

所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576000

⨯=（元），300800240000

⨯=

（元），1020800816000

⨯=（元）。

评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。

例5. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC

边上的高，并且AD BD DC

2=·，则∠BCA的度数为_____________。

解：（1）当高AD在△ABC内时，如图4。

图4

∵·，∴AD BD DC AD

BD

DC

AD

2==

又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA

∴∠BAD＝∠ACD

∵∠CAD＋∠ACD＝90°

∴∠CAD＋∠BAD＝90°

∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°

（2）当高AD在△ABC外时，如图5。

图5

同理可证△ADB∽△CDA

∴∠ABD＝∠CAD＝25°

∴∠ACD＝65°

∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°

评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。

例 6. 定义：若某个图形可分割为若干个都

与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：（1）如图6，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。

图6

（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF（图7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图7-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图7-2）……依此规则操作下去。