2、控制系统的数学描述
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d T T ( ) Fk dt qk qk
其中T为系统的动能,qk为质点系的广义坐标, Fk为广义力
小车和重 物的位置
xm0 x1 y 0 m0 xm x1 x2 sin x3 ym x2 cos x3
xm 0 x1 小车和重物 ym 0 0 的速度分量 xm x1 x2 sin x3 x2 x3 cos x3 ym x2 cos x3 x2 x3 sin x3
在零初始条件下，将(2-1) 方程两边进行拉氏变换，则有
Y (s) b0sm bm1s bm G( s ) n U (s) a0s an 1s an
(2-4)
模型参数可表示为 传递函数分母系数向量
A [a0 , a1, , an ]
B [b0 , b1 , , bm ]
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
起重机广泛的用于现代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外 仓库的装卸与运输作业。但是由于吊车采用柔性体代替刚体工作，带 来负载摆动的负面影响，故需要研究吊车的防摆控制。
起重机系统的物理抽象模型
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
拉格朗日分析力学
0.35s
(3) 由低频幅频特性可知
L()
0
0, K 1
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(4) 由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，为非最小相位 系统，系统的开环传递函数应为以下形式
(5) 确定纯滞后时间值 1 1rad / s时, (1) 86
2. 控制系统的建模实例 3. 实现问题 4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
根据系统数学描述方法的不同，可建立不同形式的数学模型 1、微分方程形式 设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)
a0 y( n) a1 y( n 1) an 1 y ' an y b0u( m) bmu (2-1)
该系统总传递函数GB(s)
c ( s) k1k2k3n GB (s) 3 2 r (s) Ts s k2k3k4 s k1k2k3n
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
2、统计模型法
采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系 统运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等 理论合理估计出反应实际系统各物理量相互制约关系的数学模型。 例：通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开 环传递函数模型
模型参数形式为： 输出系数向量 输入系数向量
A [a0 , a1, , an ] B [b0 , b1, , bm ]
， n+1维 ， m+1维
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
2、状态方程形式
当控制系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为
U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t).
控制系统的数学描述
1.2 数学模型的转换
ss2zp()和zp2ss用来状态方程与零极点增益形式间转换 如 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D);[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 4、部分分式与传递函数或零极点增益形式
传递函数转化为部分分式形式的关键在于求取极点的留数
可通过residue()函数来完成。 如[R , P , H]=residue(num,den) [num,den]=residue(R , P , H)
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图 (2) 用±20dB/dec及其倍数的 折线逼近幅频特性，得到两 个转折频率
1 1rad / s,2 2.85rad / s
相应的惯性环节时间常数为
T1
1
1
1s T2
1
2
5、部分分式形式
将传递函数表示为如下形式
ri G( s) K h( s ) i 1 ( s p ) i
n
(2-7)
模型参数可表示为 极点留数向量：
R [r1 , r2 ,
P [ p1, p2 ,
, rn ]
, pn ]
系统极点向量：
余式系数向量：
H [h0 , h1 ,
控制系统的数学描述
1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述
新版Matlab语言中，添加了“对象数据类型”,可以用各种系统模型 来建立。 G=tf(num,den) G=zpk(Z,P,K) G=ss(A,B,C,D) 也可以通过以下函数获得模型参数向量 [num,den]=tfdata(G) [A,B,C,D]=ssdata(G) [Z,P,K]=zpkdata(G)
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
1、机理模型法
采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构，参数的物理 系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的 描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。
例：位置伺服闭环控制系统
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(1) 同步误差检测器
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题 2.2 龙门起重机运动控制问题
3. 实现问题 4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
问题的提出 ：独轮自行车，机器人行走过程中的平衡控制，火箭发 射中的垂直度控制，卫星飞行中的姿态控制，海上钻井平台的稳定 控制，飞机的安全着陆控制。
传递函数分子系数向量
用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为 (num,den)，称为传递函数二对组模型参数
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
4、零极点增益形式
将(2-4)中的分子，分母分解为因式连乘形式，则有
(s z1 )(s z2 ) (s zm ) G (s) K K (s p ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
在平衡点附近线性化：
( J ml 2 ) F m 2l 2 g x J (m m ) m ml 2 0 0 ( m0 m)m lg mlF 2 J ( m m ) m ml 0 0
对上述微分方程模型通过上一节的变换可以得到一阶直线倒立摆系 统的微分方程，传递函数和状态方程三种形式。
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
3、混合模型法
当对控制的内部结构和特性有部分了解，但又难以完全用机理模型的 方法表述出来，这是需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了 解的结构特性，或是通过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理 模型法和统计模型法的结合，故称为混合模型法。
综上，无论采用何种建模方法，其实质就是设法获取有关系统尽 可能多的信息并经过恰当信息处理而得到对系统准确合理的描述。上 述三种建模的方法只是信息处理过程不同而已，在实际建模过程中应 灵活掌握应用 。
第二章 控制系统的数学描述
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例
3. 实现问题
4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
1. 控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式 1.2 数学模型的转换 1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述 1.4 控制系统建模的方法
再查图中 1 2.85rad / s时, (1) 169 (1 ) arctan1 arctan 0.35 1
180 86
Ke s e s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
(2 ) arctan 2.85 arctan(0.35 2.85) 2.85 2 1 2 0.35s
2
180
169
(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
Ke s e0.35s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
单一刚性铰链，两自由度动力学问题
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
1)摆杆绕其重心的转动方程为
J Fyl sin Fxl cos
2)摆杆重心的水平运动可能描述为
d2 Fx m 2 ( x l sin ) dt
3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为
d2 Fy mg m 2 (l cos ) dt
, hl ]
简记为(R,P,H),称为极点留数模型参数。
控制系统的数学描述 1.2 数学模型的转换
1、微分方程与传递函数形式
两者的模型参数向量完全一样。
2、传递函数与零极点增益形式 Matlab函数tf2zp()和zp2tf()用来完成两种形式之间的转换 如 [z , p , k]=tf2zp(num,den); [num,den]=zp2tf(z , p , k) 3、状态方程与传递函数或零极点增益形式 ss2tf()和tf2ss用来状态方程与传递函数间转换 如 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
i 1 n j 1 j
( s zi )
m
(2-6)
模型参数可表示为 系统零点向量： 系统极点向量：
Z [ z0 , z1 ,
, zm ]
P [ p0 , p1, , pn ]
简记为(Z,P,K)形式，称为零极ຫໍສະໝຸດ Baidu增益三对组模型参数。
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
u1 kr (r c )
(2) 放大器
u k2 (u1 u2 )
(3) 直流电动机
d 2 d T 2 k3u dt dt
(4) 测速发电机
u2 k4
(5) 负载输出 d c n dt
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
将各环节连接起来构成系统的总结构图
模型参数形式为：
X (t ) AX (t ) BU (t ) Y (t ) CX (t ) DU (t )
(2-2)
系统系数矩阵A，系统输入矩阵B 系统输出矩阵C，直接传输矩阵D 简记为(A,B,C,D)形式。
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
3、传递函数形式
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
系统的动能：
1 1 2 2 2 T m0 ( x m 0 y m 0 ) m( xm 2 y m ) 2 2
系统拉格朗日方程为：
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
吊车系统的运动方程：
不考虑绳长的变化，将上述模型线性化：
d 2x F Fx m0 2 dt
4)小车水平方向运动可描述为
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
精确模型：
( J ml 2 ) F lm( J ml 2 )sin 2 m 2l 2 g sin cos x ( J ml 2 )(m m0 ) m 2l 2 cos 2 2 2 2 ml cos F m l sin cos (m0 m)m lgsin 2 2 2 2 m l cos ( J ml )(m m0 )
D mg 1 x x F m0 m0 m0 D x (m m0 ) g 1 F m0l m0l m0l
模型验证见第五章
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例 3. 实现问题
3.1 单变量系统的可控标准型实现 3.2 控制系统的数字仿真实现
其中T为系统的动能,qk为质点系的广义坐标, Fk为广义力
小车和重 物的位置
xm0 x1 y 0 m0 xm x1 x2 sin x3 ym x2 cos x3
xm 0 x1 小车和重物 ym 0 0 的速度分量 xm x1 x2 sin x3 x2 x3 cos x3 ym x2 cos x3 x2 x3 sin x3
在零初始条件下，将(2-1) 方程两边进行拉氏变换，则有
Y (s) b0sm bm1s bm G( s ) n U (s) a0s an 1s an
(2-4)
模型参数可表示为 传递函数分母系数向量
A [a0 , a1, , an ]
B [b0 , b1 , , bm ]
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
起重机广泛的用于现代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外 仓库的装卸与运输作业。但是由于吊车采用柔性体代替刚体工作，带 来负载摆动的负面影响，故需要研究吊车的防摆控制。
起重机系统的物理抽象模型
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
拉格朗日分析力学
0.35s
(3) 由低频幅频特性可知
L()
0
0, K 1
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(4) 由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，为非最小相位 系统，系统的开环传递函数应为以下形式
(5) 确定纯滞后时间值 1 1rad / s时, (1) 86
2. 控制系统的建模实例 3. 实现问题 4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
根据系统数学描述方法的不同，可建立不同形式的数学模型 1、微分方程形式 设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)
a0 y( n) a1 y( n 1) an 1 y ' an y b0u( m) bmu (2-1)
该系统总传递函数GB(s)
c ( s) k1k2k3n GB (s) 3 2 r (s) Ts s k2k3k4 s k1k2k3n
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
2、统计模型法
采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系 统运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等 理论合理估计出反应实际系统各物理量相互制约关系的数学模型。 例：通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开 环传递函数模型
模型参数形式为： 输出系数向量 输入系数向量
A [a0 , a1, , an ] B [b0 , b1, , bm ]
， n+1维 ， m+1维
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
2、状态方程形式
当控制系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为
U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t).
控制系统的数学描述
1.2 数学模型的转换
ss2zp()和zp2ss用来状态方程与零极点增益形式间转换 如 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D);[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 4、部分分式与传递函数或零极点增益形式
传递函数转化为部分分式形式的关键在于求取极点的留数
可通过residue()函数来完成。 如[R , P , H]=residue(num,den) [num,den]=residue(R , P , H)
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图 (2) 用±20dB/dec及其倍数的 折线逼近幅频特性，得到两 个转折频率
1 1rad / s,2 2.85rad / s
相应的惯性环节时间常数为
T1
1
1
1s T2
1
2
5、部分分式形式
将传递函数表示为如下形式
ri G( s) K h( s ) i 1 ( s p ) i
n
(2-7)
模型参数可表示为 极点留数向量：
R [r1 , r2 ,
P [ p1, p2 ,
, rn ]
, pn ]
系统极点向量：
余式系数向量：
H [h0 , h1 ,
控制系统的数学描述
1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述
新版Matlab语言中，添加了“对象数据类型”,可以用各种系统模型 来建立。 G=tf(num,den) G=zpk(Z,P,K) G=ss(A,B,C,D) 也可以通过以下函数获得模型参数向量 [num,den]=tfdata(G) [A,B,C,D]=ssdata(G) [Z,P,K]=zpkdata(G)
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
1、机理模型法
采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构，参数的物理 系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的 描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。
例：位置伺服闭环控制系统
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
(1) 同步误差检测器
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题 2.2 龙门起重机运动控制问题
3. 实现问题 4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
问题的提出 ：独轮自行车，机器人行走过程中的平衡控制，火箭发 射中的垂直度控制，卫星飞行中的姿态控制，海上钻井平台的稳定 控制，飞机的安全着陆控制。
传递函数分子系数向量
用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为 (num,den)，称为传递函数二对组模型参数
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
4、零极点增益形式
将(2-4)中的分子，分母分解为因式连乘形式，则有
(s z1 )(s z2 ) (s zm ) G (s) K K (s p ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
在平衡点附近线性化：
( J ml 2 ) F m 2l 2 g x J (m m ) m ml 2 0 0 ( m0 m)m lg mlF 2 J ( m m ) m ml 0 0
对上述微分方程模型通过上一节的变换可以得到一阶直线倒立摆系 统的微分方程，传递函数和状态方程三种形式。
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
3、混合模型法
当对控制的内部结构和特性有部分了解，但又难以完全用机理模型的 方法表述出来，这是需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了 解的结构特性，或是通过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理 模型法和统计模型法的结合，故称为混合模型法。
综上，无论采用何种建模方法，其实质就是设法获取有关系统尽 可能多的信息并经过恰当信息处理而得到对系统准确合理的描述。上 述三种建模的方法只是信息处理过程不同而已，在实际建模过程中应 灵活掌握应用 。
第二章 控制系统的数学描述
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例
3. 实现问题
4. 常微分方程的数值解法 5. 数值算法中的病态问题
1. 控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式 1.2 数学模型的转换 1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述 1.4 控制系统建模的方法
再查图中 1 2.85rad / s时, (1) 169 (1 ) arctan1 arctan 0.35 1
180 86
Ke s e s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
(2 ) arctan 2.85 arctan(0.35 2.85) 2.85 2 1 2 0.35s
2
180
169
(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
Ke s e0.35s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
单一刚性铰链，两自由度动力学问题
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
1)摆杆绕其重心的转动方程为
J Fyl sin Fxl cos
2)摆杆重心的水平运动可能描述为
d2 Fx m 2 ( x l sin ) dt
3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为
d2 Fy mg m 2 (l cos ) dt
, hl ]
简记为(R,P,H),称为极点留数模型参数。
控制系统的数学描述 1.2 数学模型的转换
1、微分方程与传递函数形式
两者的模型参数向量完全一样。
2、传递函数与零极点增益形式 Matlab函数tf2zp()和zp2tf()用来完成两种形式之间的转换 如 [z , p , k]=tf2zp(num,den); [num,den]=zp2tf(z , p , k) 3、状态方程与传递函数或零极点增益形式 ss2tf()和tf2ss用来状态方程与传递函数间转换 如 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
i 1 n j 1 j
( s zi )
m
(2-6)
模型参数可表示为 系统零点向量： 系统极点向量：
Z [ z0 , z1 ,
, zm ]
P [ p0 , p1, , pn ]
简记为(Z,P,K)形式，称为零极ຫໍສະໝຸດ Baidu增益三对组模型参数。
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
u1 kr (r c )
(2) 放大器
u k2 (u1 u2 )
(3) 直流电动机
d 2 d T 2 k3u dt dt
(4) 测速发电机
u2 k4
(5) 负载输出 d c n dt
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法
将各环节连接起来构成系统的总结构图
模型参数形式为：
X (t ) AX (t ) BU (t ) Y (t ) CX (t ) DU (t )
(2-2)
系统系数矩阵A，系统输入矩阵B 系统输出矩阵C，直接传输矩阵D 简记为(A,B,C,D)形式。
控制系统的数学描述
1.1 控制系统数学模型的表示形式
3、传递函数形式
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
系统的动能：
1 1 2 2 2 T m0 ( x m 0 y m 0 ) m( xm 2 y m ) 2 2
系统拉格朗日方程为：
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
吊车系统的运动方程：
不考虑绳长的变化，将上述模型线性化：
d 2x F Fx m0 2 dt
4)小车水平方向运动可描述为
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
精确模型：
( J ml 2 ) F lm( J ml 2 )sin 2 m 2l 2 g sin cos x ( J ml 2 )(m m0 ) m 2l 2 cos 2 2 2 2 ml cos F m l sin cos (m0 m)m lgsin 2 2 2 2 m l cos ( J ml )(m m0 )
D mg 1 x x F m0 m0 m0 D x (m m0 ) g 1 F m0l m0l m0l
模型验证见第五章
1. 控制系统的数学描述 2. 控制系统的建模实例 3. 实现问题
3.1 单变量系统的可控标准型实现 3.2 控制系统的数字仿真实现