一类_泛_阿基米德三角形的面积何时取最小值_甘大旺

的点斜式方程 y
－
1 2
= k（ x － 1） ，通过方程组和韦达
定理，求得交点 Q 的坐标是（
4k 2k －
1，1
2 －
2k）
，到此为
止没有提供后续的解题过程，这给该网站的访客既
留下一点遗憾也可能带来探究的激情！
相对于抛物线的两条切线与切点连线所构成的
阿基米德三角形，这里的 △ABQ 是依托椭圆的泛阿
mn）
3
；
（ 2） …（ 同猜想 3） ．
把圆看成两个焦点无限趋近而重合于中心的椭
圆的退化情形，这样就容易猜想、证明 ——— 定理 3 （ 1） 若过圆 x2 + y2 = Ｒ2（ 其中 Ｒ ＞ 0）
外域 的 任 意 点 E（ x0 ，y0 ） 作 该 圆 的 两 条 切 线 EA、 EB（ 其中 A、B 为两个切点） ，则泛阿基米德 △ABE 的
＞ 0，
则函数 g（ u） 在其定义域上递增．
根据椭圆系和线性规划知，当点 E（ x0 ，y0 ） 是椭 圆 b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 + u 与直线 l 相切的切点时，参 数 u = b2 x20 + a2 y20 － a2 b2 最小． 此时，椭圆 C0 的方程 是 b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 + umin ，且 S△QAB ≥ g（ umin ） ．
－2 ．
令 u = x20 + 2y20 － 2，则 S△QAB = g（ u）
=
u1． u+
5
2
，
且u
= x20 + 2y20 － 2
= （ x20 + 2y20 ） （ 1 +
1 2
）
·
2 3
－2
≥（
x0
+
y0 ）
2· 2 3
－2
= 22 · 2 3
－2
=
2 3
（
当
x0
=
4 3
且 y0
=
2 3
时取等号） ，则导数
S△QAB =
AB ·d 2
槡 = 1 · 2
1 +（
2 －
y0 x0
）
2
·
yA
－ yB ·d
槡 槡 = 1 · 2
x20
+4 x20
y20
·
（ yA － yB） 2 ·
x20 + 2y20 － 2
槡x20 + 4y20
槡 =
（ yA
+
yB）
2
（ － 4yAyB ·
x20
+ 2y20 2 x0
－ 2）
2y2 = 2 联立，消去 x 并整理得到关于 y 的二次方程
（ x20 + 2y20 ） y2 － 4y0 y + （ 2 － x20 ） = 0，
则 yA
+ yB
=
x20
4y0 + 2y20
，yA yB
=
2 x20
－ +
x20 2 y20
，
设点 Q（ x0 ，y0 ） 到直线 AB 的距离为 d，则
基米德三角形． 由此及彼，我们来回顾一道题 ———
例 2 （ 2011 年陕西省高中竞赛题） 设 P 为直线
y
=
x － 2 上的动点，过点 P 作抛物线 y
=
1 2
x2
的切
线，切点分别为 A、B． （ 1） 求证： 直线 AB 过定点； （ 2） 求 △PAB 面积 S 的最小值，以及取得最小
值时 P 点的坐标． 我们容易理解命题组提供的解答结论： （ 1） 直
C 交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 C 的切线交于点 Q．
（ 1） 求点 Q 的轨迹方程；
（ 2） 求 △ABQ 的面积的最小值．
第（ 1） 小题的类似题目较多，该网站也提供了
一种详细答案，求出点 Q 的轨迹方程是 x + y = 2； 对
于第（ 2） 小题，该网站提供的前面思路是设直线 AB
槡 =
1 2
·
1
+
（
－
b2 a2
x0 y0
）
2
xA － xB ·
b2 x20 + a2 y20 － a2 b2
槡b4 x20 + a4 y20
槡 =
（ xA
+
xB）
2
－
4xAxB
b2 ·
x20
+ a2 y20 － 2a2 y0
a2 b2
槡 =
（
2a2 b2 x0 b2 x20 + a2
y20
）
2
－4
a4 （ b2 － y20 ） b2 x20 + a2 y20
·
b2 x20 + a2 y20 － a2 b2
2a2 y0
槡 = b4 x20 － （ b2 － y20 ） （ b2 x20 + a2 y20 ） ·
b2 x20 + a2 y20 － a2 b2 y0 （ b2 x20 + a2 y20 ）
（
y20
－ 2px0） p
3
；
（ 2） ……（ 同猜想 1） ．
类比于猜想 1，对椭圆提出类似猜想 ———
猜想 2 设直线 l 与椭圆 C 相离，过直线 l 上任
意点 E 作椭圆 C 的两条切线 EA、EB，连接两切点 A
与 B． 若直线 l 关于椭圆 C 的极点是 D，且直线 l 与椭
圆 C 的准线不垂直，则当 DE 垂直于椭圆 C 的准线
g'（ u）
=
1． 5u0． 5 （ u + 2） （ u + 2） 2
－
u1． 5
=
（
u
槡u + 2）
2（
3
+
u 2
）
＞ 0，
则函数 g（ u） 在定义域［23 ，+ ∞ ） 上递增，
则 S△QAB
=
g（ u）
≥ g（
2 3
）
=
槡6 12
．
所以，求得 △ABQ 的面积的最小值为槡162 ．
检验 在例 1（ 2）
所以，猜想 3 正确．
于是，我们可以调整得到 ———
定理 2
（ 1）
若过椭圆
x2 m
+ y2 n
= 1（ 0
＜ m≠n
＞ 0） 外域的任意点 E（ x0 ，y0 ） 作该椭圆的两条切线 EA、EB（ 其中 A、B 都为切点） ，则泛阿基米德 △ABE
的面积
槡 S△ABE =
（
nx20 + nx20
my20 － + my20
线 AB 过定点 D（ 1，2） ； （ 2） △PAB 面积 S 的最小值为
3 槡3 ，此时 P 点的坐标为（ 1，－ 1） ．
此时，注 意 到 定 点 D（ 1，
2） 与目标 P0 （ 1，－ 1） 具有相
同的横坐标，而且点 D（ 1，2）
与直线 y = x － 2 是题设抛物
线 x2 = 2y 相伴的极点与极
槡 Ｒ
面积为 S△ABE =
（
x20 + y20 － x20 + y20
Ｒ2 ）
3
；
（ 2） 设直线 l 与 ⊙C 相离，过 l 上任意点 E 作 ⊙C
的两条切线 EA、EB，连接两切点 A 与 B，则当 OE ⊥ l
槡 =
（
b2 x20 + a2 y20 － a2 b2 ） b2 x20 + a2 y20
3
．
令正数 u = b2 x20 + a2 y20 － a2 b2 ，
则 S△QAB = g（ u）
=
u
u1． 5 + a2
b2
．
则导数 g'（ u）
=
（ u + 3a2 b2 ） ·槡u 2（ u + 2） 2
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
中学数学杂志 2016 年第 1 期
一类（ 泛） 阿基米德三角形的面积何时取最小值？
浙江省宁波市北仑明港中学 315806 甘大旺（ 特级教师）
从某知名资源网站上搜索到一道新题———
例 1 （ 2015 年河北省高三竞赛末题） 已知椭圆
C：
x2 2
+ y2
= 1 及点 P（ 1，12 ） ，过点 P 作直线 l 与椭圆
若椭圆 C0 与椭圆 C 的中心相同、焦点连线重合、离
心率相等，则当椭圆 C0 与直线 l 相切于点 E 时，泛阿
基米德三角形 ABE 的面积最小．
检验
不妨设椭圆
C
的方程为
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ 其
中 a ＞ b ＞ 0） ，设 E（ x0 ，y0 ） ，则 b2 x20 + a2 y20 ＞ a2 b2 ． 由于把点 E 与两切点 A、B 的连线可以看作椭圆
槡 =
（
x20
4y0 +2
y20
）
2
2 － 4·x20
－ +
x20 2 y20
·x20
+ 2y20 2 x0
－2
槡 =
x20 （
x20
+ 2y20
－ 2）
· （
x20 + 2y20 － x20 + 2y20 ） ·
2 x0
槡 =
（
x20
+ 2y20
－ 2） · x20 x20 + 2y20
+ 2y20
不过，△ABQ 的面积取最小值与 x20 + 2y20 取最小 值的条件相同，而表达式 x20 + 2y20 与题设椭圆的方程 x2 + 2y2 = 2 左端的结构类似，这里有何窍门？
猜想 3 设直线 l 与椭圆 C 相离，过 l 上任意点
E 作椭圆 C 的两条切线 EA、EB，连接两切点 A 与 B．
中，泛阿基米德 △ABQ
的面 积 取 最 小 值 时 定
直线 x + y = 2 上的动点
Q
位于定点
Q0 （
4 3
，
2 3
）
，该定点与直线
x
+
图2
y = 2 关于题设椭圆 x2 + 2y2 = 2 的极点 P（ 1，12 ） 的
连线 Q0 P 却不垂直于椭圆 C 的准线． 所以，猜想 2 不 正确．
x2 － 2x0x + 2py0 = 0
则 xA + xB = 2x0 ，xAxB = 2py0 ，
槡 则 S△ABE
=
1 2
·
AB ·
x20 － py0 － py0 x20 + （ － p） 2
槡 =
1 2
·
1
+
（
x0 p
）
2
槡 xA － xB ·
x20 － 2py0 x20 + （ － p） 2
则
xA
+ xB
=
2a2 b2 x0 b2 x20 + a2
y20
，xA
x
B
=
a4 （ b2 － y20 ） b2 x20 + a2 y20
27
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
中学数学杂志 2016 年第 1 期
则
槡 S△ABE
=
1 2
·
AB ·
b2 x20 + a2 y20 － a2 b2 b4 x20 + a4 y20
（ kp，m） ，且两切点连线 AB 必过此极点 D（ kp，m） ．
由于正数 x20 － 2py0 = x20 － 2p（ kx － m） = （ x0 －
pk） 2 + 2pm － p2 k2 当 x0 = pk 时取得最小值，则 S△ABE
=
1 p
槡（ x20
－ 2py0 ） 3 当 x0
= pk
= xD 时取得最小值
槡p·（ 2m － pk2 ） 3 ，所以猜想 1 正确．
于是，我们可以调整得到 ——— 定理 1 （ 1） 若过抛物线 x2 = 2py（ p ≠ 0） 外域
的任 意 点 E（ x0 ，y0 ） 作 该 抛 物 线 的 两 条 切 线 EA、 EB（ 其中 A、B 都为切点） ，则阿基米德 △ABE 的面积
线． 捕捉住这些灵感，不难提
出猜想 ———
猜想 1 设直线 l 与抛物
图1
线ห้องสมุดไป่ตู้C 相离，过直线 l 上任意点
26
E 作抛物线 C 的两条切线 EA、EB，连接两切点 A 与
B． 若直线 l 关于抛物线 C 的极点是 D，则当 DE 垂直
于抛物线 C 的准线时，阿基米德三角形 ABE 的面积
最小．
检验 不妨设抛物线 C 的方程为 x2 = 2py（ 其
槡 =
（
xA
+
xB）
2
－ 4xA xB ·x20
－ 2py0 2p
=
槡（ 2x0 ） 2
－ 8py0
x20
－ 2py0 2p
= （ x20 － 2py0 ） 槡x20 － 2py0
p
= 槡（ x20 － 2py0 ） 3 ．
p
设直线 l 的方程是 y = kx － m（ 其中 m ＞ 0） ，则 直线 l 关于抛物线 x2 = 2py 的相应极点 D 的坐标是
中 p ＞ 0） ，设点 E（ x0 ，y0 ） ，则 2py0 ＜ x20 ． 由于把点 E 与两切点 A、B 的连线可以看作抛物
线 x2 = 2py 相伴的极点与极线，则连线 AB 的方程是
x0 x = p（ y + y0 ） ，即 x0 x － py － py0 = 0． 与抛物线方 程 x2 = 2py 联立，消去 y 并整理得二次方程
C 相伴的极点与极线，则连线 AB 的方程是xa02x +
y0 y b2
=
1，即 b2 x0 x
+ a2 y0 y
=
a2b2． 与椭圆 C 的方
程 b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 联立，消去 y 并整理得二次方程
（ b2 x20 + a2 y20 ） x2 － 2a2 b2 x0 x + a4 （ b2 － y20 ） = 0，
时，阿基米德三角形 ABE 的面积最小．
作为猜想 2 的特例，笔者另辟蹊径，详细解答例
1 的第（ 2） 小题如下 ———
解 设 Q（ x0 ，y0 ） ，则 x0 + y0 = 2，且 x20 + 2y20 ＞
2． 视两切点 A 与 B 的连线 l 为题设交点 Q 的极线，则
连线 AB 的方程为 x0x + 2y0y = 2． 与椭圆方程 x2 +
S△ABE
=
槡（ x20
－ 2py0） p
3
；
若过抛物线
y2
=
2px（ p ≠
中学数学杂志 2016 年第 1 期
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
0） 外域的任意点 E（ x0 ，y0 ） 作该抛物线的两条切线 EA、EB（ 其中 A、B 都为切点） ，则阿基米德 △ABE 的
槡 面积 S△ABE =