流体力学第八章

习题8-5：解N-S方程求平板间的速度分布
由流动的特性 u 0, w 0, 0, f g
z
t
充分发展流动 二u 维，0、由定连常续性方程 x
v0
u t
u
u x
vu仅uy 是wyuz的函fx数
1
p x
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
v t
u
v x
v
v y
w v z
fy
1
p y
(
2v x2
y
δ*
物理意义——边界
δ* * x
层流体的动量损失
U 2 ** Uudy u2dy
0
0
8.4 层流边界层流动的基本方程
二、边界层方程
1. 边界层的基本特征
（1） L
y
（2） u u y x
0
L
x
（3）边界层厚度沿着流动方向增加
（4）边界层内粘性力与惯性力同数量级
8.4 层流边界层流动的基本方程
y
0 1
L
外部势流
U
边界层流
x
L u v U ~ v ~ v x y L L U
例：水，L=0.5m，U=0.2m/s，Re=1105，~3mm
8.4 层流边界层流动的基本方程 2. 边界层微分方程 二元不可压缩定常流动边界层方程（不计质量力）
u v 0 x y
u
u x
2. 边界层厚度
y 圆管流与边界外层部流势速流度剖面相似 U
— u=0.99U
x
0
流态判断准则—雷诺数
Re x
Ux
Re
U
Re的物理意义: 惯性力/粘性力 & 流态判断准则
例：层流 Re xCr 31055x~R3ex11/206 ReCr 5 2R80e0x
8.4 层流边界层流动的基本方程
v
u y
1
p x
(
2u x2
2u y2 )
（1）
u
v x
v
v y
1
p y
(
2v x2
2v y 2
)
（2）
根据边界层的特征进行量级分析以简化方程
8.4 层流边界层流动的基本方程
边界层内 p 0 y
（2）
y U
0
p
p(x)
x
8.4 层流边界层流动的基本方程
二元不可压缩定常层流边界层的微分方程
u
u x
v
u y
1
p x
2u y 2
（1）1
dp dx
U
dU dx
u
u x
v
u y
U
dU dx
2u y 2
u v 0 x y
固定壁面的边界条件为
零压梯度边界层 p U U 0 x x
y 0, u v 0 y , u U (x)
8.4 层流边界层流动的基本方程
例. 密度为常数的均匀流速度U，平行流过宽b 的平板。 平板尾缘速度由零线性变化至U，不计质量力求平板上 表面总摩擦力。设 y=h处 y方向的速度分量远小于U。
t 0, y 0, u 0 t 0, y 0, u U y , u 0
量纲分析 u/U= f (, , y, t)
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解 三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动
常微分方程
f 2 f 0
边界条件
f (0) 1 f () 0
用相似性变量
y 2 t
u f
U
相似性解
u 1 2 e2 d 1 erf
U
0
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解 例：两平行平板间的定常层流流动
y
U
h o
u（y）
x
h
由于板 压的 强运梯动度产和生压的强流梯动度产生的流动 均质不可压缩,不计质量力
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解
解N-S方程求平板间的速度分布
2v y 2
2v z 2
)
w u w v w w w t x y z
fz
1
p z
(
2w x2
2w y 2
w z2 )
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解
需要求解的方程组成为
2u
y
2
g
sin
1
p x
p y
g
cos
p
z
0
边界条件
u 0, y h; u U, y h
已知u 仅是 y 的函数，而 p/ x 仅是x 的函数
第八章 粘性不可压缩流体的流动
§8-3 纳维-斯托克斯方程的解析解 4.10 边界层流动、边界
层分离及物体阻力
一、斜平面上液膜的定常流动
§4-9 缝隙流动
边界条件
U
u 0, y 0
壁面流体无滑移
二阶偏微分方程 需要两个边界条件
uuU0,, yyhh
y
忽液略体液上面表摩面擦与力板同速
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解
第八章 粘性不可压缩流体的流动
8-1 粘性流体中的应力 8-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程 8-3 纳维-斯托克斯方程的解析解 8-4 层流边界层流动的基本方程 8-5 平板层流边界层的相似性解 8-6 边界层动量积分方程 8-7 湍流边界层与混合边界层
第八章 粘性不可压缩流体的流动
§ 8-1 粘性流体中的应力
3
2
6
第八章 粘性不可压缩流体的流动
如果以U和度量速
§8-5 平板层流边界层的相似性解
度u与距离y，各断
一、零压梯度层流边界层
面的速度分布相似
u/U=f(y/)
p U U 边0界层内的粘性力
x
x 与惯性力为同量级
二、层流边界层的相似性解 相似性解 u f () U
相似性变量 y U x
y 2x/U
x
Rex
摩擦力和摩擦系数（单面、单位宽度）
FD
L 0
wdx
0.664
U 2L
ReL
,
Cf
FD
1 U 2L
1.328 ReL
2
第八章 粘性不可压缩流体的流动 §8-6 边界层动量积分方程
2u 1 p
y2 x C
u
C 2
y2
C1 y
C2
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解 二、无限长同心圆柱面之间的定常流动。
u2 1 dp
r dr
vr=vz =0, v= u(r)
fr = f= fz=0
/= 0
r、方向运动方程
边界条件
u=0，r=R2 外壁面无滑移
u=R1，r=R1
内壁面同速
0
L
x
f (0) 0
边界层常微分方程 2 f ff 0 边界条件 f (0) 0
f () 1
8.5 平板层流边界层的相似性解
边界层厚度 (x) 5.0 x 5.0 x
U
Rex
(x) 1.721 x 1.721 x
U
Rex
壁剪应力
w
u y
y0
U
U f (0) 0.332 U 2
例如: xoy平面内的切应力与角变形速度关系
pxy 2 xy
即有
xy
1 2
( v x
u ) y
角变形速度
pxy
pyx
( v
x
u ) y
8.1 粘性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律（流体的本构方程）
牛顿流体正应力
pxx
p
2 3
( u
x
v y
w) z
2
u x
p yy
p
2 3
( u
x
v y
w) z
2
v y
pzz
p
2 3
( u
x
v y
w) z
2
w z
其中
p
1 3
(
pxx
p yy
pzz )
不可压缩流体的正应力?
牛顿流体切应力
pxy
pyx
( v
x
u ) y
pzx
pxy
( u
z
w) x
pyz
pzy
( w
y
v ) z
第八章 粘性不可压缩流体的流动
§8-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程
2、若dp/dx0，U=0
h o
u（y）
u 1
dp (h2 y2 )
h
泊肃叶流动 y
U
2 dx
h o
u（y）
3、若dp/dx0，U0
h
x x x
u 1 dp (h2 y2 ) U ( y h) 库特-泊肃叶流动
2 dx
2h
例.以常速U垂直向上运动的皮带表面油膜厚度h。设油膜
在皮带及自身重力作用下作定常层流运动，忽略空气与
3. 位移厚度*
U(x) δ
u(x,y)
y
δ*
x
* (1 u )dy 0U
物 理 意 义 —— 外 层 流体被边界层排挤 的距离
例.风洞的壁面阻塞效应
U * Udy udy
0
0
8.4 层流边界层流动的基本方程
4. 动量损失厚度**
U(x) δ
u(x,y)
**
u
(1
u
)dy
0U U
油膜表面的切应力，求油膜内的速度分布。
解 已知 u 0, v w 0, z
0, t
fx g
由连续性方程 u 0 需要求解的方程组成为
x
2u y 2
g
1
p x
1
p
y
p
z
0 p p(x) 2
在液面压强不随x变化
0
3
p pa
需要求解的方程组成为
d 2u g dy2
边界条件
u U, y 0 u 0, y h y
积分得
u
g 2
y2
C1y C2
u
g
(1 2
y h) y U
第八章 粘性不可压缩流体的流动 § 8-4 层流边界层流动的基本方程
一、边界层厚度、位移厚度、动量损失厚度
1. 边界层的概念
2. 边界层厚度 3. 边界层排移厚度* 4. 边界层动量损失厚度**
8.1 粘性流体中的应力
流体内一点的应力有九个分量
pxx pxy pxz
P
p yx pzx
p yy pzy
p yz pzz
其中
应力张量
pij p ji 切应力互等定律
由微元体的力矩平衡可证切应力的对称性
8.1 粘性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律
意义：1. 建立应力与变形速度的关系
2. 测量速度比测量应力方便
已知u 仅是 y 的函数，而 p 仅是x 的函数
2u 1 p
y2 x C
u
C 2
y2
C1 y
C2
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解
关于常数C 和U u C ( y2 h2 ) U ( y h)
2
2h
1、若dp/dx=0，U0
y
U
u U ( y h) 库特流动 2h
h o
h
y
u（y）
w u w v w w w t x y z
fz
1
p z
(
2w x2
2w y 2
w z2 )
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解
需要求解的方程组成为
2u
y
2
1
p x
p y
0
p z
0
边界条件
y
U
h o
u（y）
x
h
u C ( y2 h2 ) U ( y h)
2
2h
u 0, y h; u U, y h
dv
dt
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z2 )
dw
dt
fz
1
p z
(
2w x 2
2w y 2
2w z2 )
连续性方程
u v w 0 x y z
8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程
二、求解N-S方程的定解条件 求解N-S方程的途径 1、精确解 2、近似解 3、数值解 定解条件 1、非定常流动的初始场 2、边界条件 在特殊条件下可得到N-S方程的解析解 例如:两平行平板间的定常层流流动
P物ra面nd绕t流l(1904)
根据粘性作用大小区分
《为具边界有层很流小和摩外擦部的势流流体运动》
8.4 层流边界层流动的基本方程
外部势流
U
层流边界层
过渡区
湍流边界层
边界层外部流动
不受壁面影响，粘性力很小，可用势流理论。 边界层内部流动
粘性作用显著，属于粘性流有旋流动区。
8.4 层流边界层流动的基本方程
1 Uhb
2
质量流量U平hb板所控F 受制总体切向力
1 Uhb
2
解. 定常二元不可压缩流，应用动量方程求阻力
8.4 层流边界层流动的基本方程
p U U 0 x x
边界层内的压强为常数
动量流量
U 2hb F
U 1 Uhb
2
1 U 2hb
3
F (1 U 2hb 1 U 2hb U 2hb) 1 U 2hb
u2 r
1
dp dr
d2u dr2
1 r
du dr
u r2
0
u
R12
R22 R12
R22
r2 r
8.3 纳维-斯托克斯方程的解析解 三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动
p= C v= w= 0, u=u(y, t) /x= /z= 0
x方向运动方程
定解条件
u t
2u y2
pxx x
pyx y
pzx z
dv dt
f y
pxy x
pyy y
pzy z
dw dt
f z
pxz x
pyz y
pzz z
Байду номын сангаас
代入本构关系式后得到运动方程
8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程
3. N-S方程
不可压缩粘性流体的运动方程
du
dt
fx
1
p x
(2u
x 2
2u y 2
2u ) z 2
一、Navier-Stokes (N-S)方程
1. 粘性流体微团受力分析
2. 应力形式的运动方程
3. N-S方程
pyy
p y y y
dy 2
8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程
pxy
pyx
( v x
u ) y
2. 应力形式的运动方程
pxx
p
2 3
( u x
v y
w) z
2
u x
du dt
f x
一、粘性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律 应力正方向的规定:
pzz
正的正应应力力沿的作符用号面p外ij （法或向；ij ）
ppxzzx pxx
pzy pyz
pxy pyx