(教案)空间向量及其运算

空间向量及其运算

【基础知识必备】

一、必记知识精选

１.空间向量的定义

(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

(２)向量的表示有三种形式：a ，AB ,有向线段.

2.空间向量的加法、减法及数乘运算.

(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连,由首到尾．求空间若干个向量之和时,可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0,即21A A +32A A +…1A A n =０.

(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点，可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意-=的逆应用.

(3)空间向量的数量积．注意其结果仍为一向量.

３.共线向量与共面向量的定义.

(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量．对于空间任意两个向量a ，ｂ（b≠０),a∥b ⇔ａ＝λｂ,若A 、Ｂ、P 三点共线，则对空间任意一点O ,存在实数t ，使得OP ＝(1-t ）OA +t OB ,当t=

2

1时,P 是线段A Ｂ的中点,则中点公式为OP =21(OA +OB )． （2)如果向量a 所在直线ＯA 平行于平面α或a 在α内，则记为ａ∥α，平行于同一个平面的向量,叫作共面向量,空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a 、b 不共线.则向量p 与向量a 、ｂ共面的充要条件是存在实数对x 、y.使ｐ=xa+y ｂ.对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C,A 、B 、C 、Ｐ共面的充要条件是OP ＝x OA +y OB +ｚOC (其中ｘ+y+z=1）．

共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广,共线向量定理证三点共线,共面向量定理证四点共面.

４．空间向量基本定理

如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个惟一的有序实数组x 、y 、z,使p=x ａ+ｙb+ｚｃ.特别的，若a 、ｂ、c 不共面，且xa+ｙb+ｚｃ=Ｏ，则x=y ＝ｚ=０．常以此列方程、求值.由于０可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意,一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量．

5．两个向量的数量积.

ａ·b ＝|a ｜·|b |·ｃo ｓ(a,b ）,性质如下：

（1）ａ·e ＝｜a|·cos；（2)a⊥b ⇔a ·b =0．

(3）｜a |2

=a ·a ;（4)|a |·|b |≥ａ·b .

二、重点难点突破

(一）重点

空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论,两个向量的数量积的计算方法及其应用.

（二）难点

空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.

对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出:

(１)向量等式也有传递性；(2）向量等式两边加(减）相同的量,仍得等式.即“移项法则”仍成立;(3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量,仍是等式．这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考:（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量?(2）所需要的向量是否已知？若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示,则它们分别易用哪个未知向量表示?这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系?

（4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到所需要的结论?

三、易错点和易忽略点导析

两个向量的夹角应注意的问题:①（a ，ｂ)＝(b,a ）;②(a,b)与表示点的符号(a,b ）不

同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB ＝.图(b)中的∠A O B=π-（AO ,OB ),<-OA ，OB ＞＝

【综合应用创新思维点拨】

一、学科内综合思维点拨

【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线,如果＝e 1＋e 2，=2e 1+8e 2,=３e 1-３e 2．求证：A 、B 、C 、Ｄ共面．

思维入门指导：要证A 、B 、Ｃ、D 四点共面,只要能证明三向量AB 、、AD 共面,于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λ+μ+υ=0即可.

证明:设λ(e １＋e ２)+μ(２e 1+8e 2)+υ（3e 1-3ｅ2)=0.

则（λ+2μ＋3υ)ｅ１+(λ+8μ-３υ)e ２=0. ∵e 1、e 2不共线，

∴⎩

⎨⎧=-+=++.038,032υμλυμλ 上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ＝1就是其中的一组,于是可知

-5AB ++AD =０．

故AB、AC、AD共面，所以A、B、C、D四点共面.

点拨：寻找到三个非零实数 =-5,μ＝1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.

二、应用思维点拨

【例2】某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时,感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向．

思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解,求风速和风向实质是求一向量．

解:设a表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为－a,设实际风速为ｖ，那么此人感到的风速向量为v-ａ.如图9-5－2.设OA=-a，OB=-2ａ．由于PO+OA=PA,从而PA＝v－a.这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次,由于

PO+OB=PB,从而v－２=PB.于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的风就是PB．

由题意,得∠ＰＢＯ=45°, PＡ⊥B O，BＡ=A O，从而△ＰB O为等腰直角三角形.故ＰO ＝PＢ=2α.即|ｖ|=2α.

答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.

点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念,因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解．知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.

三、创新思维点拨

【例3】如图9－５－3(1)，已知E、F、G、Ｈ分别是空间四边形ＡBCD边AB、BC、CD、D Ａ的中点.

（１)用向量法证明E、F、Ｇ、Ｈ四点共面；

（2）用向量法证明BＤ∥平面EFGH.

思维入门指导:（1）要证E、F、G、Ｈ四点共面,根据共面向量定理的推论,只要能找到实数x，y,使EG＝x+y即可；(２）要证BD∥平面EＦＧH，只需证向量与共