第二章 方差分析与相关分析
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• 公式：
• 相关系数的意义：
例 10名3岁男童体重与体表面积的关系
编号 体重(X,kg) 体表面积(Y,103cm2) 1 11.0 5.283 2 11.8 5.299 3 12.0 5.358 4 12.3 5.292 5 13.1 5.602 6 13.7 6.014 7 14.4 5.830 8 14.9 6.102 9 15.2 6.075 10 16.0 6.411 合计133.4 57.266
• 出行量与各指标之间的相关性如何？ • 各指标之间相关性如何？若要做回归分析，与哪 些指标做回归分析？
• 该相关用于测量两个定类变量（变量分类： 赞同或反对，是或否，男或女）间的相关 关系。
• 现考察不同阶层人群对于地铁环境的满意 度情况，得到结果如下，请计算相关系数
学生 舒适 不舒适 81 60 工薪阶层 其他 53 79 40 16
– 例如，S项政策的效果，S个阶层的人的对某一问题的评价，S组 人员的工资水平， S种同功能药品的效果， S种训练方法的训练 效果， S种饲料的作用， S台设备的故障率， S种工艺的效果， S种材料的强度等等，有无显著差异，都可以用单因素方差分析来 解决。 – 交通方面，S个改善方案的效果，S组不同路段车速的差异性，S种 扣件性能的差异性，S个运行图的效果差异性等。
• 因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较 大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥 当的。
用excel做相关分析
• 选择“工具”-“数据分析”-“方差系数” 后，出现属性设置框，依次选择: • 输入区域:选择数据区域，注意需要满足至 少两组数据。如果有数据标志，注意同时 勾选下方“标志位于第一行”； • 分组方式:指示输入区域中的数据是按行还 是按列考虑，请根据原数据格式选择； • 输出区域可以选择本表、新工作表组或是 新工作簿；
第二章
2.1方差分析
思考：以下问题用我们学过的知识如何 解决？
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常 和正常人共30人进行载蛋白测定，结果如 下，问3种人的载蛋白有无差别？
• 方差分析的用途
参数假设检验中，我们经常检验两个参 数总体分布的均值是否相同，但是如果有 多个总体，则必须两两比较检验，十分繁 琐。
• 缺点：如果H0不成立，只能获得S个××具有差异性，而 不能说明是哪几个具有差异，或者差异程度有多少。
• 3.理论假设与分析
理论假设：S个方案的总体都服从正态分布，
由此：
• 随机项的表达如下：
单因素模型构成表
由此，单因素方差分析的基本任务，转化为检验如 下假设：
• 4.计算思路
如果H0成立，即各方案的均值不存在任何差异， 但是在统计学中，并不一定要差异完全等于0才是 H0成立，一般，只要差异的值较小（不是显著大 于0），在一个可接受范围之内即可。
• 例：四组不同摄入方式病人的血浆游离吗啡水平 静脉点滴 肌肉注射 皮下注射 口服
12 10 7
8 9 14
12 16 15
9
9 7 6
11 7
12 8 8
10
差异 源 组间 组内
SS
57 91
df
3 15
MS
19 6.0666 67
F
3.1
P-value F crit
0.056 3.2
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常 和正常人共30人进行载蛋白测定，结果如 下，问3种人的载蛋白有无差别？
10名3岁男童体重与体表面积散点图
体 表 面 积
6.5
(103cm2)
Y
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
体重(kg)，X
资料相关系数的计算
X＝ .44 13 l XX 24.9040
r
Y 5.7266 lYY 1.5439
l XY 5.9396
5.9396 0.9579 24.9040 1.5439
• Spearman等级相关
对两组配对顺序样本而言，无法求出上述 样本的Pearson相关系数。或简化计算。
式中： ，前者表示xi的名 次，后者表示yi的名次。
• 一个的等价的公式：
• 思考：与pearson相关的公式的异同？
例如：请对某省地方性甲状腺肿患病率与当地食品与水中含 碘量的关系数据，计算其等级相关系数，说明两者间的关系。 表 某地地方性甲状腺肿患病率（%）与其食品、水中含 碘量的数据
单因素方差分析
• 1.问题的提出
设有s个技术方案，各个方案的效果如下表所示：
所谓单因素，就是指只有”方案“这个变量。
还可以是s阶层的人、s种训练方法、s台设备。。。
2.单因素方差分析的优缺点
• 单因素方差分析的优点：单因素方差分析起源于对多套实 验方案的效果的对比分析，可以用来检验多组相关样本之 间均值，有无显著差异。
源自文库
进站
3526
出站
3856
进站
3752
出站
3843
进站
3615
出站
3812
•思考： 与G相关的区别与联系？
• 偏相关
• 定义：所谓偏相关，就是在诸多相关的变 量中，剔除了（控制了）其中的一个或若 干个变量的影响后，两个变量之间的相关 关系。
• 如剔除人们对出行舒适性的要求及速度的 要求等因素，考虑经济与出行选择的影响。
G相关
• G相关用于测量两个定序变量间（变量有排 序关系，如：高中低，大中小等）的关系。 • 公式：
其中，Ns表示同序对数目，Nd表示异序对 数目。Eg中解释。
Pearson相关
• 该相关用于测量两个定距变量间的关系。
• 特点：不同于前两者，是用变量值的次数进行计 算，该相关可以用更精确的数据。
• （4）做假设检验
若f>fa(s-1,n-s)，则表明SA较大，也即对 应的方案均值之间的差别较大，因此以a的 概率拒绝H0。 • （5）做出推论：统计学结论和专业结论。
• 检验的另一种方法
计算出统计值f的右侧概率，是否大于a来 判断H0的成立与否。 好处是从f的外侧概率，可以更方便地与不 同的范错误的概率a比较。
• Pearson相关系统显著异于0的检验
男童例子的相关系数的假设检验
H 0： r＝0，体重与体表面积无相关关系； H 1： r0， 体重与体表面积有相关关系。
= 0.05。
r 0 t sr r 1 r2 n2
P=1-6×110/7/48=-0.96
例：在肝癌病因研究中，某地调查了10个乡的肝癌死亡率 （1/10万）与种食物中黄曲霉毒素相对含量（最高含量为10）， 见表。试作Spearman相关分析。
• 现周一到周三进出大学城站点的客流数据如下： 计算Spearman等级相关系数。
3月25日 3月26日 3月27日
例：有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同处理后，测定 其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度），试比较四 组家兔的血清ACE浓度。 表5.1对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml） A降脂 药 82.35 56.47 61.57
对照组
61.24 58.65 46.79 37.43 66.54 59.27
那么差异要多小，或者说小到什么程度呢？ 单因素方差分析认为，当H0成立时，方案之间 的方差与所有方案内部的方差之和的比值应该小 于fa。否则，H0不成立。
• 5.计算步骤
• （3）计算F统计量之值
S A /( s 1) f S E /(n s)
f对应的统计量F服从F（s-1,n-s)
48.79 62.54 60.87
实验组 B降脂 药 26.23 46.87 24.36 38.54 42.16 30.33
20.68
C降脂 药 25.46 38.79 13.55
19.45 34.56 10.96
48.23
• 解：
SA=5515.3 SE=2930 F=13.80
fa（s-1，n-s）=f0.05（3，22）=3.05
• 定义：以一个统计值表示变量与变量之间 的关系。 • 取值：表示变量之间关联关系的强弱。
–大多数相关系数取值在[-1,1]之间，0代表无 相关，-1与1代表完全相关， –相关系数越大，则表明相关程度越强。
相关关系示意图
正相关 负相关 零相关
零相关
0<r<1 (a)
完全正相关
-1<r<0 (c)
完全负相关
Eg3：不同地铁票价的效果与人的经济因素有关。
两类方差分析的异同
两类方差分析的基本步骤相同，只是变异的 分解方式不同，
–单因素方差分析：总变异分解为组内变异和组 间变异（随机误差），即：SS总=SS组间+SS组 内， –双因素方差分析：总变异除了分解为处理组变 异和随机误差外还包括配伍组变异，即：SS总 =SS处理+SS配伍+SS误差。
• 输出 – 其中的“组间”就是影响成绩的因素间， – “组内”就是各因素内部， – “差异源”则是方差来源， – “SS”就是平方和， – “df”称为自由度， – “MS”就是均方， – “F”称为F比， – “P-value”则是原假设(结论)成立的概率：这 个数值越接近0，说明原假设成立的可能性越小， 反之原假设成立的可能性越大 – “Fcrit”为拒绝域的临界值。
相关系数用r还有一个表达公式为：
• 例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财 务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选 择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均 销售额的数据，并编制成相关表，见表1: 表1 广告费与月平均销售额相关表 单位：万元
• 需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即 它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人 一种假象。
相关关系与确定性关系(2)
• 当对事物的规律了解加深时，相关关 系可以转变为确定性关系。
• 父亲患白化病X, (X=是，否); • 子女患白化病Y, (Y=是，否); • X与Y的关系不确定。
• 当母亲患白化病时，X与Y的关系确定： X=是，则Y=是； X=否，则Y=否。
相关分析
• 任务：研究变量之间的不确定关系
普通相关分析
相关关系与确定性关系
• 确定性关系：两变量间的函数关系
圆的周长与半径的关系： C＝2R 速度、时间与路程的关系：S＝vt X与Y的函数关系： Y＝a+bX
• 非确定性关系(相关关系）：两变量在宏观 上存在关系，但并未精确到可以用函数关 系来表达。
青少年身高与年龄的关系； 年龄与血脂的关系；身高与体重的关系； 体重与体表面积的关系；
r0 (e)
零相关
r0 (g)
零相关
r＝1 (b)
r＝-1 (d)
r＝0 (f)
r=0 (h)
• 相关分析在轨道交通中的应用：某区域的交通出 行量与一些指标密切相关，如：该区域的用地性 质、各用地性质的面积、户数、家庭收入水平、 距离市中心的距离、汽车保有量、使用各种出行 方式的出行时间及出行费用等等。问题：
• 操作 – 输入数据：其中“输入区域”让你输入数据区 域的单元格引用，它由两个或两个以上按“列” 或“行”排列的相邻数据区域组成， – “分组方式”用来确定输入区域中的数据如何 排列 – 它下面的“0.05”称为显著性水平，一般取默 认值0.05即可 – “输出区域”必须输入一个空白单元格引用， 用来确定计算结果存放区域左上角的位置
方差分析可以一次完成对多个总体的均 值是否相同的检验：
方差分析的分类
根据资料设计类型的不同，有以下两种方差分析的 ：
1.单因素方差分析:只有一个变量（因素）。适用： 对成组设计的多个样本均数比较。
2. 双因素方差分析：问题中有两个变量A、B。
Eg1：不同药品的治疗效果，与病人的体质特征有关。 Eg2：不同营销方案的效果与产品的质量有关。
剔除了一个变量Z的影响后，两个变量X、Y之间的偏相关 系数
剔除了两个个变量Z1、Z2的影响后，两个变量X、Y之间 的偏相关系数
相关系数异于零的显 著性检验
• 显著性检验的必要性：由于我们通过抽样 的方法来研究变量的关系，当样本的相关 系数不为0时，并不能代表真正表明变量之 间是相关的，还需要通过显著性检验来判 别是否显著异于0。
判断，不成立，即各种处理是有区别的。
答案见excel3
EXCEL做方差分析
• 安装：点击“工具-加载宏”，选择加载“数 据分析”。若无法选择，则需装入office安 装盘，完整安装。 • 打开：点击“工具→数据分析”菜单命令， 在打开的对话框中选中“方差分析：单因素 方差分析”，“确定”之后打开同名对话框。
• 相关系数的意义：
例 10名3岁男童体重与体表面积的关系
编号 体重(X,kg) 体表面积(Y,103cm2) 1 11.0 5.283 2 11.8 5.299 3 12.0 5.358 4 12.3 5.292 5 13.1 5.602 6 13.7 6.014 7 14.4 5.830 8 14.9 6.102 9 15.2 6.075 10 16.0 6.411 合计133.4 57.266
• 出行量与各指标之间的相关性如何？ • 各指标之间相关性如何？若要做回归分析，与哪 些指标做回归分析？
• 该相关用于测量两个定类变量（变量分类： 赞同或反对，是或否，男或女）间的相关 关系。
• 现考察不同阶层人群对于地铁环境的满意 度情况，得到结果如下，请计算相关系数
学生 舒适 不舒适 81 60 工薪阶层 其他 53 79 40 16
– 例如，S项政策的效果，S个阶层的人的对某一问题的评价，S组 人员的工资水平， S种同功能药品的效果， S种训练方法的训练 效果， S种饲料的作用， S台设备的故障率， S种工艺的效果， S种材料的强度等等，有无显著差异，都可以用单因素方差分析来 解决。 – 交通方面，S个改善方案的效果，S组不同路段车速的差异性，S种 扣件性能的差异性，S个运行图的效果差异性等。
• 因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较 大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥 当的。
用excel做相关分析
• 选择“工具”-“数据分析”-“方差系数” 后，出现属性设置框，依次选择: • 输入区域:选择数据区域，注意需要满足至 少两组数据。如果有数据标志，注意同时 勾选下方“标志位于第一行”； • 分组方式:指示输入区域中的数据是按行还 是按列考虑，请根据原数据格式选择； • 输出区域可以选择本表、新工作表组或是 新工作簿；
第二章
2.1方差分析
思考：以下问题用我们学过的知识如何 解决？
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常 和正常人共30人进行载蛋白测定，结果如 下，问3种人的载蛋白有无差别？
• 方差分析的用途
参数假设检验中，我们经常检验两个参 数总体分布的均值是否相同，但是如果有 多个总体，则必须两两比较检验，十分繁 琐。
• 缺点：如果H0不成立，只能获得S个××具有差异性，而 不能说明是哪几个具有差异，或者差异程度有多少。
• 3.理论假设与分析
理论假设：S个方案的总体都服从正态分布，
由此：
• 随机项的表达如下：
单因素模型构成表
由此，单因素方差分析的基本任务，转化为检验如 下假设：
• 4.计算思路
如果H0成立，即各方案的均值不存在任何差异， 但是在统计学中，并不一定要差异完全等于0才是 H0成立，一般，只要差异的值较小（不是显著大 于0），在一个可接受范围之内即可。
• 例：四组不同摄入方式病人的血浆游离吗啡水平 静脉点滴 肌肉注射 皮下注射 口服
12 10 7
8 9 14
12 16 15
9
9 7 6
11 7
12 8 8
10
差异 源 组间 组内
SS
57 91
df
3 15
MS
19 6.0666 67
F
3.1
P-value F crit
0.056 3.2
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常 和正常人共30人进行载蛋白测定，结果如 下，问3种人的载蛋白有无差别？
10名3岁男童体重与体表面积散点图
体 表 面 积
6.5
(103cm2)
Y
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
体重(kg)，X
资料相关系数的计算
X＝ .44 13 l XX 24.9040
r
Y 5.7266 lYY 1.5439
l XY 5.9396
5.9396 0.9579 24.9040 1.5439
• Spearman等级相关
对两组配对顺序样本而言，无法求出上述 样本的Pearson相关系数。或简化计算。
式中： ，前者表示xi的名 次，后者表示yi的名次。
• 一个的等价的公式：
• 思考：与pearson相关的公式的异同？
例如：请对某省地方性甲状腺肿患病率与当地食品与水中含 碘量的关系数据，计算其等级相关系数，说明两者间的关系。 表 某地地方性甲状腺肿患病率（%）与其食品、水中含 碘量的数据
单因素方差分析
• 1.问题的提出
设有s个技术方案，各个方案的效果如下表所示：
所谓单因素，就是指只有”方案“这个变量。
还可以是s阶层的人、s种训练方法、s台设备。。。
2.单因素方差分析的优缺点
• 单因素方差分析的优点：单因素方差分析起源于对多套实 验方案的效果的对比分析，可以用来检验多组相关样本之 间均值，有无显著差异。
源自文库
进站
3526
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3856
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3752
出站
3843
进站
3615
出站
3812
•思考： 与G相关的区别与联系？
• 偏相关
• 定义：所谓偏相关，就是在诸多相关的变 量中，剔除了（控制了）其中的一个或若 干个变量的影响后，两个变量之间的相关 关系。
• 如剔除人们对出行舒适性的要求及速度的 要求等因素，考虑经济与出行选择的影响。
G相关
• G相关用于测量两个定序变量间（变量有排 序关系，如：高中低，大中小等）的关系。 • 公式：
其中，Ns表示同序对数目，Nd表示异序对 数目。Eg中解释。
Pearson相关
• 该相关用于测量两个定距变量间的关系。
• 特点：不同于前两者，是用变量值的次数进行计 算，该相关可以用更精确的数据。
• （4）做假设检验
若f>fa(s-1,n-s)，则表明SA较大，也即对 应的方案均值之间的差别较大，因此以a的 概率拒绝H0。 • （5）做出推论：统计学结论和专业结论。
• 检验的另一种方法
计算出统计值f的右侧概率，是否大于a来 判断H0的成立与否。 好处是从f的外侧概率，可以更方便地与不 同的范错误的概率a比较。
• Pearson相关系统显著异于0的检验
男童例子的相关系数的假设检验
H 0： r＝0，体重与体表面积无相关关系； H 1： r0， 体重与体表面积有相关关系。
= 0.05。
r 0 t sr r 1 r2 n2
P=1-6×110/7/48=-0.96
例：在肝癌病因研究中，某地调查了10个乡的肝癌死亡率 （1/10万）与种食物中黄曲霉毒素相对含量（最高含量为10）， 见表。试作Spearman相关分析。
• 现周一到周三进出大学城站点的客流数据如下： 计算Spearman等级相关系数。
3月25日 3月26日 3月27日
例：有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同处理后，测定 其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度），试比较四 组家兔的血清ACE浓度。 表5.1对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml） A降脂 药 82.35 56.47 61.57
对照组
61.24 58.65 46.79 37.43 66.54 59.27
那么差异要多小，或者说小到什么程度呢？ 单因素方差分析认为，当H0成立时，方案之间 的方差与所有方案内部的方差之和的比值应该小 于fa。否则，H0不成立。
• 5.计算步骤
• （3）计算F统计量之值
S A /( s 1) f S E /(n s)
f对应的统计量F服从F（s-1,n-s)
48.79 62.54 60.87
实验组 B降脂 药 26.23 46.87 24.36 38.54 42.16 30.33
20.68
C降脂 药 25.46 38.79 13.55
19.45 34.56 10.96
48.23
• 解：
SA=5515.3 SE=2930 F=13.80
fa（s-1，n-s）=f0.05（3，22）=3.05
• 定义：以一个统计值表示变量与变量之间 的关系。 • 取值：表示变量之间关联关系的强弱。
–大多数相关系数取值在[-1,1]之间，0代表无 相关，-1与1代表完全相关， –相关系数越大，则表明相关程度越强。
相关关系示意图
正相关 负相关 零相关
零相关
0<r<1 (a)
完全正相关
-1<r<0 (c)
完全负相关
Eg3：不同地铁票价的效果与人的经济因素有关。
两类方差分析的异同
两类方差分析的基本步骤相同，只是变异的 分解方式不同，
–单因素方差分析：总变异分解为组内变异和组 间变异（随机误差），即：SS总=SS组间+SS组 内， –双因素方差分析：总变异除了分解为处理组变 异和随机误差外还包括配伍组变异，即：SS总 =SS处理+SS配伍+SS误差。
• 输出 – 其中的“组间”就是影响成绩的因素间， – “组内”就是各因素内部， – “差异源”则是方差来源， – “SS”就是平方和， – “df”称为自由度， – “MS”就是均方， – “F”称为F比， – “P-value”则是原假设(结论)成立的概率：这 个数值越接近0，说明原假设成立的可能性越小， 反之原假设成立的可能性越大 – “Fcrit”为拒绝域的临界值。
相关系数用r还有一个表达公式为：
• 例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财 务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选 择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均 销售额的数据，并编制成相关表，见表1: 表1 广告费与月平均销售额相关表 单位：万元
• 需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即 它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人 一种假象。
相关关系与确定性关系(2)
• 当对事物的规律了解加深时，相关关 系可以转变为确定性关系。
• 父亲患白化病X, (X=是，否); • 子女患白化病Y, (Y=是，否); • X与Y的关系不确定。
• 当母亲患白化病时，X与Y的关系确定： X=是，则Y=是； X=否，则Y=否。
相关分析
• 任务：研究变量之间的不确定关系
普通相关分析
相关关系与确定性关系
• 确定性关系：两变量间的函数关系
圆的周长与半径的关系： C＝2R 速度、时间与路程的关系：S＝vt X与Y的函数关系： Y＝a+bX
• 非确定性关系(相关关系）：两变量在宏观 上存在关系，但并未精确到可以用函数关 系来表达。
青少年身高与年龄的关系； 年龄与血脂的关系；身高与体重的关系； 体重与体表面积的关系；
r0 (e)
零相关
r0 (g)
零相关
r＝1 (b)
r＝-1 (d)
r＝0 (f)
r=0 (h)
• 相关分析在轨道交通中的应用：某区域的交通出 行量与一些指标密切相关，如：该区域的用地性 质、各用地性质的面积、户数、家庭收入水平、 距离市中心的距离、汽车保有量、使用各种出行 方式的出行时间及出行费用等等。问题：
• 操作 – 输入数据：其中“输入区域”让你输入数据区 域的单元格引用，它由两个或两个以上按“列” 或“行”排列的相邻数据区域组成， – “分组方式”用来确定输入区域中的数据如何 排列 – 它下面的“0.05”称为显著性水平，一般取默 认值0.05即可 – “输出区域”必须输入一个空白单元格引用， 用来确定计算结果存放区域左上角的位置
方差分析可以一次完成对多个总体的均 值是否相同的检验：
方差分析的分类
根据资料设计类型的不同，有以下两种方差分析的 ：
1.单因素方差分析:只有一个变量（因素）。适用： 对成组设计的多个样本均数比较。
2. 双因素方差分析：问题中有两个变量A、B。
Eg1：不同药品的治疗效果，与病人的体质特征有关。 Eg2：不同营销方案的效果与产品的质量有关。
剔除了一个变量Z的影响后，两个变量X、Y之间的偏相关 系数
剔除了两个个变量Z1、Z2的影响后，两个变量X、Y之间 的偏相关系数
相关系数异于零的显 著性检验
• 显著性检验的必要性：由于我们通过抽样 的方法来研究变量的关系，当样本的相关 系数不为0时，并不能代表真正表明变量之 间是相关的，还需要通过显著性检验来判 别是否显著异于0。
判断，不成立，即各种处理是有区别的。
答案见excel3
EXCEL做方差分析
• 安装：点击“工具-加载宏”，选择加载“数 据分析”。若无法选择，则需装入office安 装盘，完整安装。 • 打开：点击“工具→数据分析”菜单命令， 在打开的对话框中选中“方差分析：单因素 方差分析”，“确定”之后打开同名对话框。