《正弦函数的图象和性质再认识》示范教学方案北师大新课标

5.1正弦函数的图象和性质再认识

1．能正确使用单位圆和“五点法”作出正弦函数的图象．

2．会求正弦函数的定义域和值域、周期性、奇偶性、单调区间及函数的零点等． 3．通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．

教学重点：理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、

单调区间及函数的零点．

教学难点：能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象．

PPT 课件．

一、探索新知

将塑料布扎一个小孔，做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，看到纸板上形成一条曲线，本节我们就学习与此曲线有关的正弦函数曲线．

设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——正弦函数的图象和性质再认识（板书）．

1．画正弦函数的图象

问题1描点法作函数的图象有哪几个步骤？ 师生活动：学生举手回答．

设计意图：让学生明确画函数图象的一般方法． 问题2怎样画正弦函数sin y x 在R 上的图象？

◆ 教学过程

◆ 课前准备

◆ 教学重难点 ◆

◆ 教学目标

师生活动：学生互相交流后，再回答．

设计意图：让学生明确，画正弦函数的图象，只需要画一个周期，然后左右延伸即可． 追问1在区间[0,2]π上取一系列的x 值（x 的值取得越多越好），例如：

0,

,,,,2632

πππ

π，列表如下：

． x

6

π

3

π 2

π 23π 56π π 76π

43π

32π 53π 116π

2π sin x 0

12

32

1

32

12

12- 32

- 1-

32

- 12

- 0

表格中的数据，有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地画出？

★资源名称： 【数学探究】正弦函数的图象

★使用说明：本资源为“正弦函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．

注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

师生活动：教师引导学生思考．

追问2正弦函数sin y x =在区间[2,2(1)],,0k k k k ππ+∈≠Z 上的图象与在区间

[0,2]π上的函数图象形状是否相同？

师生活动：让学生思考，教师补充．

追问3将函数sin [0,2]y x x π=∈，的图象怎样平移可以得到正弦函数在整个定义域

上的图象？这条曲线叫什么曲线？

师生活动：学生独立思考，然后回答教师提出的问题，教师补充完善．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力．

2．正弦函数性质的再认识

问题3请观察正弦函数图象，你能从中看到那些性质？并将看到的性质用数学语言描述．

师生活动：让学生思考，教师补充．

师生活动：估计学生能从图象中看到正弦函数的一些性质，如果有的性质没有看出来，建议教师启发引导学生继续探讨．对于用数学语言描述不准确的内容，请教师带领学生交流研讨后完善．

追问1正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？

师生活动：让学生独立思考后交流，并举手回答．

追问2正弦函数有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出它的对称轴方程和对称中心的坐标；如果没有，请说明理由．

师生活动：教师依据学生的认知水平，适度指导，总结结论．

设计意图：通过图象归纳正弦函数的性质，提升学生的探究问题、归纳问题的能力．教师讲解：

正弦函数性质

3．五点(画图)法

问题4观察正弦函数sin y x x =∈R ，的图象，你认为那些点起着关键性的作用，理由是什么？

师生活动：留出充分的时间让学生思考交流，找出关键点．

设计意图：让学生明确那五点是关键点，体会“五点”作图的重要性． 练习：教材P 32练习第2题． 预设答案：

问题1列表、描点、连线．

问题2由于正弦函数sin y x =是以2π为周期，我们只需画出[0,2]π上正弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上．

追问1可以采用如下画法： （1）作单位圆，把

O 12等分（当然分的越细，图象越准确）

； （2）12等分后得到对应于0,

,,,

,2632

πππ

π的角，并作出相应的正弦值；

（3）将x 轴上从0到2π一段分成12等份； （4）平移相应角的正弦值；

（5）描点，用光滑曲线顺次连接，就得到sin y x =在区间[0,2]π上的图象

追问2相同．

追问3将函数sin [0,2]y x x π=∈，的图象向左、右平移（每次平移2π个单位长度），就可以得到正弦函数sin y x x =∈R ，的图象，如下图

这条曲线叫正弦曲线． 问题3性质

追问1选取3,22ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的图象来研究，即可掌握整个定义域上的性质． 追问2正弦函数有对称轴，对称轴是,2

x k k π

π=+∈Z ，也有对称中心，是曲线与x

轴的交点，即(,0),k k π∈Z ．

问题4在函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，

⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭

⎫3π2，－1，(2π，0)．这“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象就基本上确定了．

二、初步应用

例1比较下列各组值的大小： （1）sin 15π⎛⎫-

⎪⎝⎭与sin 11π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）18sin 7π

⎛⎫ ⎪⎝⎭与23sin 9

π

⎛⎫

⎪⎝⎭

． 师生活动：引导学生图象和利用正弦函数的单调性判断，再与教材核对．

设计意图：让学生掌握正弦函数的单调性，帮助学生积累比较大小的方法和经验． 例2画函数sin y x =-在区间[0,2]π上的图象． 师生活动：让学生板演，教师评价． 预设答案：参考教材P 29例2的解析．

追问：将例2改为“作函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图象．”如何画图？ 预设答案：(1)列表：

x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x

1

1

2

1

(2)描点、连线，图象如图．

设计意图：利用五点法函数作图，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．

例3画出函数sin 1y x =-的图象，并讨论它的性质． 师生活动：学生独立解题，教师板书解题过程．