《结构力学》_龙驭球_第3章_静定结构的受力分析(2)
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§3-3 静定平面刚架
1、平面刚架结构特点：
刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整 体，使结构有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。
下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋， 图（c）是具有部分铰结点的刚架。
(a)
(b)
(c)
刚架结构优点：
B ql/8
l /2
ql/8
注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。
(2) 作M 图
AD杆：
M DA
ql 2 16
(内侧受拉)
D ql2/16 ql2/16
C
ql2/16 E
AD杆中点弯矩为：
FDy
FAx
A
2m 2m
FAy
(a)
⑵ 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状；
⑶ 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值；
⑷ 画图：画 M 图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横
向荷载产生的简支梁的弯矩图。F Q、F N 图要标＋、－号；竖标大致成比例。
求出各控制截面的内力值求杆端力并画杆单元弯矩图。例如AB杆：
解，本题剪力很容易用投影方程求得。
4kN/m
1kN
C
MDE D
E
8
14kN
4m
1kN B 4m
2kN
28 24
4
4D
8
E
F
A
B
M 图（kN·m）
14
D
E
2
2
16
1
F
A
B
FQ 图（kN）
③ 作FN 图 各杆轴力可以用投影方程求
解。也可根据剪力图， 取各结点 为隔离体，用投影方程求轴力。
④ 校核
16
14
Fx 0, FBx 2 11kN()
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图 ① 作M图
取右图示BDE部分为隔离体：
MD 0
MDE 1 4 4 4 2 2 4
36 8 28kN.m(上拉)
取CD部分为隔离体：
MD 0
M DC 8 2 (4 2) 1
16 8 24kN.m(上拉)
l /2
l /2
求出这四个支座反力。
FyA
FyB
M A 0,
FyB
l
(
ql 2
l 4
)
0
FyB
ql 8
()
Fy 0,
FyA
ql 8
()
C
l /2
由CEB部分平衡 (图b) 示：
l ql l
MC
0,
FxB
2
(
8
) 2
0
由整体平衡：
3 Fx 0, FxA 8 ql()
FxB
ql 8
()
(b)
⑴ 内部有效使用空间大；
⑵ 结构整体性好、刚度大；
(d)
(e)
⑶ 内力分布均匀，受力合理。
2、常见的静定刚架类型
⑴ 悬臂刚架
⑵ 简支刚架
⑶ 三铰刚架
⑷ 基附型刚架
刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然 后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。
试计算图 (a) 所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
ห้องสมุดไป่ตู้
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图
28
271.50 CC
5
13
852.5F
DD 20
B
2m
2m
C 5kN
B
16 kN/m
DF
A
E FEx=5kN
2m
2m 1m
FAy =27.5kN
FEy=52.5kN
27.5
16
杆CD中点弯矩为：
5C
M中
10
2
28
16D 8
42
F
5 B 13kN m(下3拉6.5) 5
一、求支座反力
40 kN
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立 独立方程。
B
D
C
20 kN/m
4m
MA 0 FY 0
FDY 4 40 2 (20 4) 2 0 FDY 60kN () FAY 40 60 0 FAY 20kN ()
FX 0 FAX 80kN ()
二、绘制内力图
⑴ 分段：根据荷载不连续点、结点；
MB 0
M BA (20 4) 2 80 4 0 M BA 160kN m
FNBA
MBA
FQBA
B
FX 0 FQBA 204 80 0, FQBA 0
160 kN·m B
B 160
20 kN/m 4m
20 kN/m 4m
FY 0, FNBA 20kN
作AB杆段 M 图时，看作是受横向荷
A
2m
4m
FAy=30kN 4kN/m
MDE D
4m
4m
E
B FBx=1kN
FBy=2kN E
1kN B
2kN
M DF 4kN.m(左拉)
M EB 4kN.m(右拉)
杆DE中点弯矩为：
C
28 4 4 42 M中 2 + 8 8 kN m
② 作FQ 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求
D
1
-1
2 -30
24 D 28
4
1 C
D
E
1
30
2
A
B
FN 图（kN）
FBx=1kN
FAy=30kN
FBy=2kN
例3-3.3: 作图(a)示三铰刚架内力图。
解：⑴ 支座反力
C
三铰刚架有四个支座反力，
q
l /2
可利用三个整体平衡条件和中间
铰结点C 处弯矩等于零的局部平 FxA
A
(a)
B
FxB
衡条件，共四个平衡方程就可以
40
载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。
画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉 80 A
侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生
20
的简支梁的弯矩图，如图(d)示。
(b)
A
A
(c)
(d)
B 160
D
160
120
20 60
120
20
A M图 (kN·m）
80 F Q 图（kN)
F N 图（kN)
练习3-3.1：试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
AA
EE
27.5 MF图N 图（（kNkN·m）） 52.5
A
E
F Q 图（kN）
练习3-3.2 ：作图示平面刚架内力图。 8kN
解：⑴ 支座反力
1kN C
2m
M B 0, FAy (4 2 48 4) / 4
4kN/m D
30kN ()
2kN F
2m
Fy 0, FBy 32 30 2kN ()
解：⑴求支座反力：
MD 0
FAx
1 4
(2 2
4 21)
3kN ()
FY 0 FDy 8kN()
2kN
2m
4 kN/m C
D
FDx=1kN
FDy= 8kN B
FX 0 FDx 1kN ()
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图
杆CD中点弯矩为：
M中
8 2
4 22 8
6kN
m(下拉)
2m
FAx =3kN A
2m
C8 D 86
B6
C
D
1 8
B
3
C
D
1
A
M 图（kN·m）
A
FQ图（kN）
A
FN图（kN）
例3-3.2 作图示平面刚架内力图。 解：⑴ 求支座反力
Fx 0 FEx 5kN()
ME 0
FAy 4 5 2 16 51.5 0 FAy 27.5kN()
Fy 0 FEy 52.5kN()
1、平面刚架结构特点：
刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整 体，使结构有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。
下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋， 图（c）是具有部分铰结点的刚架。
(a)
(b)
(c)
刚架结构优点：
B ql/8
l /2
ql/8
注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。
(2) 作M 图
AD杆：
M DA
ql 2 16
(内侧受拉)
D ql2/16 ql2/16
C
ql2/16 E
AD杆中点弯矩为：
FDy
FAx
A
2m 2m
FAy
(a)
⑵ 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状；
⑶ 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值；
⑷ 画图：画 M 图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横
向荷载产生的简支梁的弯矩图。F Q、F N 图要标＋、－号；竖标大致成比例。
求出各控制截面的内力值求杆端力并画杆单元弯矩图。例如AB杆：
解，本题剪力很容易用投影方程求得。
4kN/m
1kN
C
MDE D
E
8
14kN
4m
1kN B 4m
2kN
28 24
4
4D
8
E
F
A
B
M 图（kN·m）
14
D
E
2
2
16
1
F
A
B
FQ 图（kN）
③ 作FN 图 各杆轴力可以用投影方程求
解。也可根据剪力图， 取各结点 为隔离体，用投影方程求轴力。
④ 校核
16
14
Fx 0, FBx 2 11kN()
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图 ① 作M图
取右图示BDE部分为隔离体：
MD 0
MDE 1 4 4 4 2 2 4
36 8 28kN.m(上拉)
取CD部分为隔离体：
MD 0
M DC 8 2 (4 2) 1
16 8 24kN.m(上拉)
l /2
l /2
求出这四个支座反力。
FyA
FyB
M A 0,
FyB
l
(
ql 2
l 4
)
0
FyB
ql 8
()
Fy 0,
FyA
ql 8
()
C
l /2
由CEB部分平衡 (图b) 示：
l ql l
MC
0,
FxB
2
(
8
) 2
0
由整体平衡：
3 Fx 0, FxA 8 ql()
FxB
ql 8
()
(b)
⑴ 内部有效使用空间大；
⑵ 结构整体性好、刚度大；
(d)
(e)
⑶ 内力分布均匀，受力合理。
2、常见的静定刚架类型
⑴ 悬臂刚架
⑵ 简支刚架
⑶ 三铰刚架
⑷ 基附型刚架
刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然 后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。
试计算图 (a) 所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
ห้องสมุดไป่ตู้
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图
28
271.50 CC
5
13
852.5F
DD 20
B
2m
2m
C 5kN
B
16 kN/m
DF
A
E FEx=5kN
2m
2m 1m
FAy =27.5kN
FEy=52.5kN
27.5
16
杆CD中点弯矩为：
5C
M中
10
2
28
16D 8
42
F
5 B 13kN m(下3拉6.5) 5
一、求支座反力
40 kN
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立 独立方程。
B
D
C
20 kN/m
4m
MA 0 FY 0
FDY 4 40 2 (20 4) 2 0 FDY 60kN () FAY 40 60 0 FAY 20kN ()
FX 0 FAX 80kN ()
二、绘制内力图
⑴ 分段：根据荷载不连续点、结点；
MB 0
M BA (20 4) 2 80 4 0 M BA 160kN m
FNBA
MBA
FQBA
B
FX 0 FQBA 204 80 0, FQBA 0
160 kN·m B
B 160
20 kN/m 4m
20 kN/m 4m
FY 0, FNBA 20kN
作AB杆段 M 图时，看作是受横向荷
A
2m
4m
FAy=30kN 4kN/m
MDE D
4m
4m
E
B FBx=1kN
FBy=2kN E
1kN B
2kN
M DF 4kN.m(左拉)
M EB 4kN.m(右拉)
杆DE中点弯矩为：
C
28 4 4 42 M中 2 + 8 8 kN m
② 作FQ 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求
D
1
-1
2 -30
24 D 28
4
1 C
D
E
1
30
2
A
B
FN 图（kN）
FBx=1kN
FAy=30kN
FBy=2kN
例3-3.3: 作图(a)示三铰刚架内力图。
解：⑴ 支座反力
C
三铰刚架有四个支座反力，
q
l /2
可利用三个整体平衡条件和中间
铰结点C 处弯矩等于零的局部平 FxA
A
(a)
B
FxB
衡条件，共四个平衡方程就可以
40
载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。
画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉 80 A
侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生
20
的简支梁的弯矩图，如图(d)示。
(b)
A
A
(c)
(d)
B 160
D
160
120
20 60
120
20
A M图 (kN·m）
80 F Q 图（kN)
F N 图（kN)
练习3-3.1：试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
AA
EE
27.5 MF图N 图（（kNkN·m）） 52.5
A
E
F Q 图（kN）
练习3-3.2 ：作图示平面刚架内力图。 8kN
解：⑴ 支座反力
1kN C
2m
M B 0, FAy (4 2 48 4) / 4
4kN/m D
30kN ()
2kN F
2m
Fy 0, FBy 32 30 2kN ()
解：⑴求支座反力：
MD 0
FAx
1 4
(2 2
4 21)
3kN ()
FY 0 FDy 8kN()
2kN
2m
4 kN/m C
D
FDx=1kN
FDy= 8kN B
FX 0 FDx 1kN ()
⑵ 求出各控制截面的内力值画内力图
杆CD中点弯矩为：
M中
8 2
4 22 8
6kN
m(下拉)
2m
FAx =3kN A
2m
C8 D 86
B6
C
D
1 8
B
3
C
D
1
A
M 图（kN·m）
A
FQ图（kN）
A
FN图（kN）
例3-3.2 作图示平面刚架内力图。 解：⑴ 求支座反力
Fx 0 FEx 5kN()
ME 0
FAy 4 5 2 16 51.5 0 FAy 27.5kN()
Fy 0 FEy 52.5kN()