《工程力学》超静定结构.

L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
L1
P
L2
EI1
EI2
10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直 角拐的抗扭刚度GIｐ＝4 EI /5，拉杆CD 的抗拉 压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗 弯刚度。求CD杆的内力。
D
q
A
B
C
14、AB、CD两梁的长度相等均为L，并有相同的
抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。CD为简
支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中
点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D
P
A
B
C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
C D l
D
FN 23 3EI
l FN l EA
（5）、用能量法求 wC
x FN x F
M1 (x) Fx 0 x 2
M 2 (x) F (x 2) FN x 0 x 2
A
D
F
B
C
E
单位力作用下的内力方程：
M 1( x ) 0
x 1.0
M 2 (x) x
积分得到：
1.0wC
.
第十四章：超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 变形比较法 §14–3 力法正则方程 §14–4 对称与反对称性质的利用
§14–1 超静定结构概述 1 静定结构或系统
无多余约束的几何不变的承载系统; 其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。
P P
2 超静定结构
未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目； 仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。
2KN
2KN
0.5m
2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。 圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1 ＝100毫米，GH、EF的直径为D2＝20毫米，材料 相同。G＝0.4E，M＝7KNｍ。求轴内的最大剪应 力。
M
2m
H
1m
1m G
E
2m F
3、直角拐ABC的直径为D＝20毫米，CD杆的横截面 面积为A＝6.5㎜2，二者采用同种材料制成。弹性 模量E＝200GPａ，剪变模量G＝80 GPａ。CD杆 的线胀系数α=12.5×10-6，温度下降50º。求出直 角拐的危险点的应力状态。
钢杆，长为L＝1000毫米，材料的弹性模量为E＝200GPa，剪
变模量G＝0.4E，许用应力为[σ]=100Mpa,且不考虑剪力的影
响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差△，以及B1和B2 间的相互作用力。
A D
L
B1
L
B2 L
C
7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆 DK。制造时DK做短了Δ。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗 弯刚度皆为EI、GIP。且GIP＝4 EI /5。杆DK的抗拉刚度为 EA，且EA＝2EI/(5a2)。求①:在AB段的B端加多大的扭矩， 才可使C点刚好与D点接触。②若C、D两点接触后，用铰链 将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK 杆的轴力和固定端A截面的内力。
2L A
D B
P
L C
L
H
11、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆DG 的横截面面积为A，且I＝Aａ２。求C截面 处的弯矩。
Da G
q a
2a
a
C
12、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。
EI, a
EA, a
P
EI, a
13、图示结构由梁AB与杆CD组成，AC=CB，材 料相同。梁截面的惯性矩为I，拉杆的横截面的面 积为A。求拉杆CD 的轴力。
L q
C
A
δ
LB
14、直角拐的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉压刚 度相等为EA，各段的长度均为L，且I＝AL2，求 CD杆的内力并作刚架的弯矩图。
D L
C
L
P
三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度EI为常量） 1、求C截面的铅垂位移
C a
q
a a
2、作刚架的弯矩图
P=qa
a
a
q 2a 2a
3、作刚架的弯矩图
x
1 2
qx2
)xdx
1.0 wB
(
1 3
RBl 3
1 8
ql 4
)/
EI
6、回代到协调方程中去，求解。
0 1.0wB
(
1 3
RBl 3
1 8
ql 4
)/
EI
3 RB 8 ql
例2、图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为 EI 24106 N m2 BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。 CD杆的长 l 5m 横截面面积 A 3104 m2
第一类： 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 外力超静定系统。
第二类： 仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的; 内力超静定系统。
第三类：结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是
超静定的。
混合超静定系统；
判断下列结构属于哪类超静定
外力超静定
内力超静定
混合超静定
判断下列结构属于哪类超静定
E 200GPa F 50KN
试求悬臂梁AD在D点的挠度。
A
D
F
B
C
E
（1）、判定超静定次数 一次内力超静定问题。
A
D
F
B
C
E
（2）、确定多余约束 以CD杆的轴力为多余约束力；
（3）、去掉多余约束代之以反力 ，得到相当系统。
A
D
FN
FN
FN
F
B
C
FN
E
（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为
16 两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和BD
段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；该
杆材料的弹性模量为E=210GPa，线膨胀系
数 12 10 61/ C
。试求当温度升高30℃
后，该杆各部分产生的应力。
17 两根长度各为L1和L2的梁交叉放置如图所示， 在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截面 的惯性矩分别为I1及I2，梁的材料相同。试问在 两梁间荷载是怎样分配的。
P
aa
2a
2a
4、作刚架的弯矩图
q=4KN/m B
4m
4m
C
四、静不定综合
1、两根长为L＝2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝
相连。左边梁的抗弯刚度为EI1＝50KNm2，右边梁的抗弯刚度 为EI2＝150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E＝70GPa， 求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。
也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。
9 相当系统
在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。
R
P
P
M P
10 超静定问题的分析方法
1.位移法： 以未知位移为基本未知量。
列出用位移表示的力的平衡方程
2.力法： 以未知力为基本未知量。
① 变形比较法 ② 力法正则方程 ③ 三弯矩方程
§14–2 变形比较法 原理：
q
2a
M=2qa2
a
a B
2a
6、作刚架的弯矩图
2qa2
B 2a q 2a
8、作刚架的弯矩图
q
2a a
a
10、求C截面的挠度
P
a
a
P 2a
a
a
C
11、C支座抬高δ＝qa4/3EI，作刚架的弯矩图
q
a
δ aC
12、求C截面的转角
C a
2a
M=2qa2
13、直角拐在支座A处有一沉陷δ，求在载荷的作用 下，A处的约束反力。设GIP＝4EI/5,δ=qL4/6EI
1 EI
2 0
F
x2 2x
FN x2
dx
1.0wC
1 EI
F
8 3
2
4 2
FN
8 3
1.0wc
(
F
FN 3EI
)8
4F EI
A
B
D
F C
E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8(F FN ) 4F 8FN FN l 3EI EI 3EI EA
求解得到：
FN 0.91F
故：
D
FN 23 3EI
多余约束处挠度w＝常量
转角＝常量
用能量法求挠度 用能量法求转角
即：将多余约束处的 w或表示为多余约束反力的函数
w( R )或 ( R )
（6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。
一旦多余约束得到，系统称为静定，
可进行强度、刚度等方面的计算。
讨论
1、“所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构 均为静定结构。”
0.91 50 103 8 3 24 106 5.05mm
变形比较法计算超静定的步骤 （1）、判定超静定次数; （2）、确定多余约束； （3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统; （4）、变形协调方程; （5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角;
此时多余约束反力作常量处理; 一般情况下，多余约束反力为力的用能量法求线位移； 多余约束反力为力偶的求角位移。
L
D
2.5L
P
L
L
B
C
4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为 EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连 接。求下面梁的中点的挠度。
q
L
L
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EA
L
L
5、求拉杆BC内的应力。
EI a
C EA L
B P
6、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2ａ，梁的右 端用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。求弹簧的 变形。
5、莫尔积分计算多余约束处的相应位移；
5、用能量法计算梁的弯曲变形。
莫尔积分法
梁的弯矩方程：
M
RB x
1 2
qx2
q
x
RB
在B处加一单位力
1.0
单位力作用下弯矩方程为： M ( x ) 1 x
进行莫尔积分
1.0 wB
l M ( x )M ( x )
dx
0
EI
1.0wB
1 EI
l 0
(
RB
3 超静定次数 未知力的数目与独立平衡方程数目之差。
P
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P
P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P
D
a
C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a
P
C
a
K
3、、求B处支反力
a
P
B
a
4、求B支反力
M=Pa
2a
P
B
2a
5、求B支反力
q
a
a
7、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2ａ，用二根长均为 ａ的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相 等同为EA。求C点的铅垂挠度。
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
A 0.6m
B 0.3m
C
D
4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L＝4米， 力P＝40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性 矩为IZ＝18.5×106mm4，求该梁的最大剪力和弯矩， 并求C截面的挠度。
P
90 C
5、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为d＝100
毫米，位于水平面内，A端固定，C处铰接钢制直杆CD。已
多余约束 （以方便为准）
建立 2 在未知力处
变形协调条件
莫尔积分
3 变形条件
关于力的补充方程
例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为L， 受力如图，求B处的支反力。
q A
B
q
1、确定静不定次数；
A
B 2、确定多余约束；
RB 3、去掉多余约束，得到相当系统
4、列出变形协调条件。
wB( R B ) 0
混合超静定
内力超静定
外力超静定
判断下列结构属于哪类超静定
B P
R A
C
P
D
A
C
P
E
B
静定结构，称为三铰拱。
外力静不定，且为一次静不定
判断下列结构属于哪类超静定
P
P
A
B
P
A
B
C
D
内力超静定，一次超静定
静定结构。
8、基本静定基
解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；
静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。 可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；
2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形 几何条件。”
一 直梁的静不定 1、 EI已知，求轴承反力
P
L
L
L
2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有 高低，使C支座偏离轴线δ。梁的抗弯刚度 为EI，求梁内的最大弯矩。
δ
L
L
C
3、两个横梁的抗弯刚度均为EI＝24×106Nｍ2，拉 杆的横截面面积为A＝3×10－4㎡。横梁与拉杆 采用同种材料E＝200GPａ。P＝50KN，L=2m, 求D点的铅垂挠度。
知CD杆的横截面面积为A＝40毫米2，钢材的弹性模量为E＝
200GPa，剪变模量为G＝80GPa，线胀系数α＝12.5×10－
6(1/oC)。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶M＝5KNm，
且CD的温度下降40 oC，CD杆的内力。AK=KB=BC=0.5m，
CD=0.3m
D
M K
A
C B
6、图示中的悬臂梁AB1与刚架B2CD需要在B1和B2处铰接，但 在铅垂方向存在装配误差△。已知各杆均为直径d=20毫米的
比较原结构与其相当系统在多余约束处的变形， 相当系统应满足原结构的位移边界条件。
变形协调关系。
如何用变形比较法求解超静定问题？
1. 判定超静定次数 2. 释放多余约束, 构造相当系统
3. 列写变形协调方程
4. 利用莫尔积分 变形协调关系
未知力的方程
超静定结构的求解思想：
解除 1 结构静定化
相当系统