弹塑性力学第七章
弹塑性力学-07-文档资料18页
其中
为
ij
kronecker
（克罗内科积）
有
ij
1
0
i j i j
23.09.2019
谢谢！
xiexie!
23.09.2019
2、张量的表示法：有三种
设ai及bi为两个矢量，定 的义 量 ai下 为 j 列 二阶张量，
（1）符号a法 (2)分量法（并矢 aijei法 e（ j e） iej不是矢量的点积）
（3）矩阵法a记 ij 或为aij
3、二阶张量的相加和相减
aijbijcij
x1 x2
c 11 c 21
y1 y1
c 12 c 22
y2 y2
c 13 y 3 c 23 y 3
x 3 c 31 y 1 c 32 y 2 c 33 y 3
23.09.2019
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
应变 x,y 分 ,z,x y 量 y,xy： z z,yzx xz
采用下标记法σ：ij,εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
23.09.2019
写成矩阵的形式
11 21
12 22
1 23 3 x yx x
33
a ij b i c j
a ij b i c j
弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答
ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学 第七章 屈服条件
§1 屈服条件的概念与假设
一、屈服条件：物体内一点进入屈服时，其应力状
态所满足的条件。
1、对单轴应力状态，可用单轴拉伸实验确定屈服
极限 s ， 当应力到达 s 时，材料进入屈服。
• 屈服条件：
s
• 用应力函数表示： f ( ) s 0
2、对纯剪切应力状态，可用剪切实验确定剪切屈
2 s
3
2
2 s
0
即 f ( ij ) s 0
三、Tresca与Mises屈服条件的比较
四、 Tresca条件和Mises条件的实验验证
屈服面的确定： ①选择有限个应力路径进行加载试验到屈服，得到屈服 面上的有限个点，经数学拟合得到屈服面方程。 ②由实验和理论分析，提出假设，给出屈服条件的表达 式，再由实验验证。
§3 两种常用屈服条件
一、Tresca屈服条件
最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时 材料发生屈服。
设 1 2 3
复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应 力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应 力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复 杂应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且 可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。
想象以6个应力分量为坐标轴构成一个6维的 空间，称为应力空间。
应力空间中每一个坐标点代表一个确定的应 力状态。而屈服函数
f ( ij )＝0
屈服条件
f ( ij ) 0 f ( ij ) 0
弹性状态 塑性状态
****一点的应力状态可用3个主应力和三个主方
向表示，屈服函数：
f (1， 2，3，1，2，3 )＝0
弹塑性力学(7)
(a)用压力p表示屈服准则； (b)找到圆筒刚好屈服时的弹性极限压力p＝pe (c)当圆筒刚刚屈服时，确定塑性应变增量的比率。
Drucker-Prager屈服函数f 采用下面的形式：
f = aI1 + J2 − k
对于线性各向同性 f = g = 2I1 + J2 − k 的理想弹塑性 材料根据式(7.35)有
其中
C ep ijkl
=
(K
−
2G 3
)δ
ijδ
kl
+G(δikδ
jl
+
δilδ
jk
)
−
1 9ka2 +
G
Hij H kl
Hij = 3Kαδij +
G J2 sij
(7.52)
弹塑性本构矩阵
⎡ ⎢ ⎢
K
+
4 3
G
⎢
⎢
[C
ep
]
=
⎢ ⎢
⎢
⎢ ⎢
对
⎢
⎢⎣
K − 2G 3
K + 4G 3
K − 2G 3
0
0
0⎤⎥ ⎥
⎡⎢H121
K − 2G 3
K + 4G 3
0 0
0 0
0⎥⎥ ⎥
0⎥ ⎥
−1
9Kα2
+G
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
对
= Cijkl
−
弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转
第七章 等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。
所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线z 的方向相重合。
扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。
因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。
即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。
但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。
在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。
即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。
由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。
7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。
这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。
非圆形截面柱体的情况要复杂得多。
由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。
函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数。
下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。
设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩T M 作用，如图7.1所示。
1. 边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+000m l m l m l zy zx y xy xy x ττσττσ (7.1-1)式中),cos(),,cos(n y m x n l ==。
弹塑性力学课后答案
εij第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：3030cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60223132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+⨯=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60222132 3.598 3.60()22x yx yxyx y xy MPa MPa s ss ss a tas s t a t a +-=++---+=++=--??=----+=-?=-?=??由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
工程弹塑性力学题库及答案
(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
弹塑性力学第07章
路径，其中与C和C′点对应的值分别为新的拉伸屈服极限和压缩屈服极限 。
这一现象为包辛格（Bauschinger）所发现，称为包辛格效应。它使具有
强化性质的材料由于塑性变形弹塑的性增力加学第，07屈章 服极限在一个方向上提高，
同时在反方向上降低，材 料具有了各向异性性质。 在求解问题时，为了简化 常忽略这一效应，但有反 方向塑性变形的问题须考 虑包辛格效应。
弹塑性力学第07章
1.单向拉伸试验
通过材料力学试验，我 们已经得到了具有代表 性的低碳钢拉伸时的应 力-应变曲线，如图7-1 所示。它反映了常温、 静载下，材料应力-应 变关系的全貌，显示了 材料固有的力学性能 。 下面介绍单向拉伸的几 个塑性概念：
弹塑性力学第07章
（1）屈服极限
▪ 应力-应变曲线上A点对应的应力值称为材料 的弹性极限。若应力小于弹性极限，则加载 和卸载的应力-应变曲线相同（OA）段；若 应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有 明显的转折，并出现一个水平线段（AF）， 常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。 在AF段应力不变的情况下可以继续变形，通 常称为塑性流动。
E
s E1s
( s )
(
s)
式中E1为强化阶段直线斜率，当E1=0时即为理想弹塑性模型。
弹塑性力学第07章
（4）线性强化刚塑性模型
▪ 略去线性强化弹塑性模型中的线 弹性部分，即在应力达到σs前材料 为刚性的，应力超过σs后应力应变 关系呈线性强化。如右图（d）所 示，即
0
1
E 1
s
( (
▪ 1. 常用应力-应变关系简化模型 ▪ 2. 其他应力-应变关系简化模型
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
弹塑性力学讲义 第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
d dr
( r
)
dur dr
r
或
d r
dr
r
4. 物理方程(两个)
5
平面应力问题
r
1 E
(
r
) ，
或
r
E 1
2
( r
)
，
平面应变问题时弹性系数替换。
1 E
(
r )
E 1 2
(
r )
5. 按位移法求解
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0 B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
r
A r2
2C ，
A r2
2C ，
r
0
ur
1 E
(1
)
A r
2Cr (1
)
，
u 0
A、C 由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
(rur )
(1 2 ) E
fr
0
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件：
ur ur
在 su 上
力的边界条件：
r Fr
在 s 上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
1 2
E
( dur dr
ur r
)
Fr
在 s 上
当 ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移
弹 塑 性 力 学第七章
与屈服条件联立，在给定应力边界条件时可解出应力。 不需本构关系就可以求出应力分布的问题，称为“静 定”问题。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
滑移线场理论
一般应力状态
主应力状态
最大剪应力状态
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
一、最大剪应力线 1. 定义 平面（Ⅰ）和（Ⅱ）上，剪应力达到最大值 k ，正应力为 m P点位臵变化时，与P点的最大剪应力面（Ⅰ、Ⅱ平面） 的法线相切的线元所连成的两条正交曲线，就叫做第一、第 二最大剪应力线。 最大剪应力线上每一点的切线方向即为最大剪应力法线方向 最大剪应力线上每一点有两条相互正交的最大剪应力线。
2 i 3d 1 3d 1 d x x x y , d y y x z
z
1 [ z v( x y )] E
汽 车 三、屈服条件 工 程 系 畸变能条件： x y
第7章
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
理想刚塑性平面应变问题
§7.1 基本关系式
§7.2 滑移线场理论
§7.3 滑移线场的主要性质
§7.4 边界条件
§7.5 应用简例
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
基本关系式
本章讨论理想刚塑性材料的平面应变问题（金属压力加工）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
由此类推可求出ABC区域内各点的值，ABC称为影响区。
2. 初特征问题（黎曼问题） 给定滑移线段OA和OB上的 m和 。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
3. 混合问题 以上两类问题的混合。 第二、第三类问题可根据滑移线的性质用数值法求解。
弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端旳小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学措施，研究 含裂纹弹性体内旳应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱旳应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 旳临界条件, 处理工程问题。
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order o rp
x
to satisfy equilibrium.
解： 1)无限大致中半椭圆表面裂纹最深处旳K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂旳临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
21
即有：
sc2
=1.21p
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
清华大学弹塑性力学讲义4
§7.3 Mises 流动理论（2J 流动理论）1．各向同性硬化1.4 屈服面的形状在应力偏张量空间中讨论屈服面的形状为球体，随着硬化参数()p Y Y ε=的变化屈服面为不断均匀膨胀的球体。
在一般应力空间中讨论屈服面的形状比较复杂，下边我们讨论在在主应力空间中初始屈服面的形状。
在主应力空间中，Mises 屈服条件(7.57)可以表示为()()()2222232Y σσσσσσ1231−+−+−=习题已经证明：塑性变形无体积变化（即0p ii ε=&）的充分必要条件为在屈服条件0),,,(1=n Y Y f L σ中与应力张量的第一不变量1()J σ无关，即对于任意参数a ，都有：11(,,,)(,,,)n n f a Y Y f Y Y +=σI σL L 。
这意味着如果σ在屈服面上，对于任意参数a ，a σ也在屈服面上。
所以在主应力空间()123,,σσσ中Mises 屈服条件为一个柱面。
柱面的中心线通过应力零点，方向为(1,1,1)，其方程为123σσσ==，通常称作等倾线。
通过应力零点与等倾线垂直的平面称作π平面，其方程为1230σσσ++=，三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。
根据上述分析，屈服面与π平面的交线为圆，圆的半径为Y ，见图7.11。
图7.11 π平面上的屈服条件所以在主应力空间中，Mises 屈服条件所表示的屈服面为以等倾线为中心线半径为Y 的圆柱面,随着硬化参数()p Y Y ε=的变化该圆柱面不断均匀向外膨胀。
2．混合硬化在初始状态为各向同性材料中，材料的拉伸曲线与压缩曲线形状相同。
拉伸屈服极限与压缩屈服极限的数值是相同的，记作s σ，见图7.12所示的单向拉伸（压缩）曲线的A 与A 点。
如果材料属于各向同性硬化，当拉伸到达屈服后的B 点（应力为B σ）时开始卸载并反向加压应力，在图7.12中表示应力与应变对应的点从B 沿一斜率为杨氏模量E 的直线BC 变化；当B σσ=−时出现反向屈服，这时材料的屈服限由初始值s σ增大至B σ，屈服面的大小由初始的2s σ增大为2B σ。
8-弹塑性力学-塑性力学基础 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件
f(ij) c
(i,j x ,y ,z)
f(i) c
(i 1 ,2 ,3 )
f(I1,I2,I3)c f (I2,I3)c
第七章 塑性力学基础
7.1 屈服准则（yield criterion）
➢ 两准则的联系： （1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；
在π平面上两准则有六点重合； （2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两准则写成
（“材料科学学基础”课程中将学到）
第七章 塑性力学基础
回顾并思考：
5．如何进行数值求解？
塑性力学解析法：
工程法（主应力法）：“塑性加工原理”课程将重点讲授
滑移线法
能量法（上限法）
硕士阶段“现代材料加工力学”详 述
有限阶段另一门学位课程]
第七章 塑性力学基础
➢ 例题讲解：
例：求
之比（满足塑性条件）
增量理论例题：(p102)
③ 一般情况下，β=1－1.154 （例题讲解：P81，例5-1。）
第七章 塑性力学基础
7.2 塑性应力应变关系（本构关系, constructive equation） ➢ 几种简化模型(simplified models for plastic stress-strain)
第七章 塑性力学基础
相同的形式：
13 s
其中
2
称为中间主应力影响系数
3
2
22 13 1 3
称为Lode参数。
第七章 塑性力学基础
7.1 屈服准则（yield criterion）
➢ 两准则的联系： 讨论：① 当材料受单向应力时，β=1，两准则重合；
② 在纯剪应力作用下，两准则差别最大； 按Tresca准则： 按Mises准则：
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16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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17
§7-2 轴对称问题
d 2
dr 2
)
2 2
0
或
4 0
——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）
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31
§7-2 轴对称问题
而
2
d 2
dr 2
1 r
d
dr
1 r
(r
d 2
dr 2
d )
dr
1 d (r d )
r dr dr
则
4
d2 ( dr2
1 r
d dr
)
1 r
d dr
(r
d
dr
)
1 r
d dr
r
d dr
应力分量表达代入几何方程的 ——(a)
第一式并积分，得
ur
1 E
( r )dr F
r
dur dr
1 E
(
r
)
ur
1 E
(1 )
A Br1
r
2(1 ) ln r 2Cr(1 ) F
——(b)
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37
§7-2 轴对称问题
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0 B=F=0
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题
§7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲
§7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
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1
在平面问题中，有些物体的截面几何形状 （边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
2 (
x
x
x
xy
x
y
xy
y
fx
0
y
y
fy
0
) (1 )(fx
x
f y y
)
其中
2＝ 2 2
x 2 y 2
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13
§7-1平面极坐标下的基本公式
在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）
其中
2
r 1
r r
r
r
( r )
r 1 r (1
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
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25
§7-2 轴对称问题
1 2
E
( dur dr
ur r
)
Fr （在 s 上）
当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则 相应应变、应力均可求出。
6. 按应力法解
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26
§7-2 轴对称问题
应力法基本方程
d r
dr
r
r
fr
0
r==2C= -q
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39
§7-2 轴对称问题
2.3 轴对称问题举例
例题1 等厚圆盘在匀速 转动中计算
（按位移法解）
a
x
已知：等厚圆盘绕盘心匀速
rP
转动（单位厚）角速度为
y
（常数）、圆盘密度为 ，
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40
§7-2 轴对称问题
2.3 轴对称问题举例
圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：
r r
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4
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.1 平衡微分方程
r
r
1 r r
1 r
(
r
)
fr
0
r
r
1 r
2 r
r
f
0
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5
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.2 几何方程
r
ur r
ur r
1 u
r
1.3 变形协调方程
r
1 ur
r
u r
u r
2
(
r
)
(1
)(
df r dr
fr ) 平面应力问题 r
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27
§7-2 轴对称问题
其中
2＝
d2 dr 2
1 r
d dr
边界条件为力的边界条件：
r Fr
（在
s
上） ）
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28
§7-2 轴对称问题
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
d r
dr
r
r
0
2 ( r
x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
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3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件
用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
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2
§7-1平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一
点的物理量为r, 函数。
体力：fr=Kr , f=K 面力： Kr Fr , K F
o r
1 r
d dr
(r
d
dr
)
0
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32
§7-2
轴对称问题
4
d2 ( dr2
1 r
d dr
)
1 r
d dr
(r
d
dr
)
1 r
d dr
r
d dr
1 r
d dr
(r
d
dr
)
0
逐次积分（四次）可将轴对
称问题的 (r)基本形式得到：
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
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r) 2C
d 2
dr 2
A r2
B(3 2 ln r) 2C
r r 0
r
dur dr
1 E
(
r
)
x
ur r
1 E
(
r )
y
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
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36
§7-2 轴对称问题
ur
r E
(
r )
1 E
(1 )
A r
Br3
2(1 ) ln
r 2Cr(1 )
4 ( r, ) = 0 或
(
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
)2
0
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15
§7-1平面极坐标下的基本公式
而极坐标系下的应力分量r ,,,r 由 ( r r2
2 2
1 r
r
2
r 2
r
r
(1 ) r r
1 r2
1 2
r r
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r
E
1 2
( r
)
1
E
2
u r r
(1 u r
ur r
)
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10
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
E
1 2
(
r
)
1
E
2
(1 u
r
ur r
ur ) r
r
E 2(1
)
r
E (1 ur
2(1 ) r
u r
u ) r
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11
§7-1平面极坐标下的基本公式
dur ) dr
d 2ur dr 2
1 r
dur dr
ur r2
(1 2 )
E
fr
0
d dr
1 r
d dr
(rur )
(1 2 )
E
fr
0
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24
§7-2 轴对称问题
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件： ur ur（在 su 上） 力的边界条件： r Fr（在 s 上）
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43
§7-2 轴对称问题
ur
2a3
8E
(3
)
r a
(1
)
r3 a3
(1
)
r
(3 )
8
2a 2 (1
r2 )
a2
a
x
rP
y
(3
8
)
2
a
2
1
1 3 3
r2
a
2
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44
§7-2 轴对称问题
b
ur
C1r
C2 r
(1 2 )
8E
2r3
x ra
y
34
§7-2 轴对称问题
对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能 确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域，除 了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。
下面将ur 表达式导出 （平面应力问题为例）
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x y