8.正整数的分拆问题

第八节 正整数的分拆问题

正整数的分拆问题是一个古老又有趣的问题，在各级各类数学竞赛中经常出现。这一节，我们介绍几个与正整数分拆有关的几个定理。

引例：试分别把9，10分拆成两个正整数的和，使它们的乘积最大。 解：用枚举归纳法可以验证： 当9=4+5时，乘积2054=⨯最大； 当10=5+5时，乘积2555=⨯最大。 这个例题启发我们得到如下的： 定理1、已知正整数S （>1），那么把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，使其积mn 为最大的条件是：或ｍ＝ｎ或ｍ－ｎ＝１（ｍ＞ｎ）。

证明：如果把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，但不满足ｍ＝ｎ，又不满足或

)(1n m n m >=-，那么必有ｍ>ｎ＋１，即m －n －1>0

此时mn n m mn n m >--+=+-)1()1)(1(，且正整数1-m 与1+n 的和仍为S ，这与已知mn 为最大相矛盾，故得证。

事实上，在具体分析时，当S 为偶数时，2

S

n m ==; 当S 为奇数时，m ，n 分别为和

2

1

21-+S S 和

。 例１、试把1990分拆成正整数的和，使其乘积最大。

分析：仅使用定理1。可知要把1990分拆成8个正整数的和：8211990a a a +++= ，使其乘积821a a a ⋅⋅⋅ 最大，必须要使821,,,a a a 中的任意两数相等或相差1。

解：624881990+⨯=，

由上述分析，应拆成或2个248，6个249，其乘积62249248⋅为最大。 由例1可以得到下面的：

定理2、已知正整数),,0(,*N q p p r r q p S ∈<≤+⋅=，把S 分拆成p 个正整数的和，使其乘积M 最大。则)0(,)1(p r q q M r r p <≤+⋅=-。

例２、试把1988分拆为8个正整数821,,,a a a 的和，使!!!821a a a ⋅⋅⋅ 最小，（a a ⨯⨯⨯= 21!）。

分析：现先考虑：当1>-n m 时，m!n!与(m-1)!(n-1)!的大小。因m-n>1，即m>n+1 于是m!n!=(m-1)!!n m ⋅>(m-1)!(n+1)! 由此可得下面两个性质：

性质1、若m>n+1，则m!n!> (m-1)!(n+1)!

性质2、若正整数M 分拆为两个正整数m 与n 的和，则在乘积!!n m ⋅中，使其值为最小的条件是m=n 或m-n>1（m>n ）。

解：因1988=42488+⨯ 所以应取2484321====a a a a ；2498765====a a a a 。

此时乘积44)!249()!248(⋅为最小。

综合例2及分析可得下面的：

定理3、把正整数S （p ≥）分拆成个正整数的和p a a a S +++= 21，使乘积

!!!21p a a a ⋅⋅⋅ 最小。的条件是p a a a ,,,21 中有p －r 个等于q ，有r 个等于q+1，其中

r q p S +⋅=。

例3、试把1988分拆成8个互不相等的正整数的和使其乘积最大。 分析：设1988），（，（*)1821821a a a a a a <<<≤+++= 则有如下三个性质：

性质1、若(*)中的821,,,a a a 中有一数等于1，则其乘积一定不是最大。

性质2、若(*)中有），（，811111≤<≤>->-++j i a a a a j j i i ，则其乘积一定不是最大。

证：设821，，，，（ ==t a b t t 但1+≠j i t ，）

，1111-=+=++j j i i a b a b ，这时 8211b b b <<<≤ 且1988821=+++b b b ，由于11++>j j j j a a b b ，所以 821821a a a b b b ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅ 。

性质3、若(*)中，有一个21>-+i i a a ，则其乘积乘积一定不是最大。 证：因可取t t a b =（1,,8,,3,2,1≠≠=i i t t ），1111-=+=++i i i i a b a b ，这时

8211b b b <<<≤ 且1988821=+++b b b ，又因111++>i i i a a b b ，所以

821821b b b a a a ⋅⋅⋅<⋅⋅⋅ 。

现在来解例3。要使乘积821a a a ⋅⋅⋅ 最大，根据前面的性质1、2、3，只有一种取

法：，，，，，，，，25225125024924824724624587654321========a a a a a a a a

即从245开始，共取8个连续自然数。 综合例3的解法及分析，可以得到：

定理4、把正整数S （2

)

2(+≥

p p ）分拆成p 个互不相等的正整数的和： )(2121p p a a a a a a S <<<+++= ，，使乘积p a a a ⋅⋅⋅ 21最大的条件是它们或是p

个连续自然数或是p+1个连续自然数在某p 个，也就是说，若

)0()1()1(p r r p k k k S <≤+-+++++=， ，

则其最大乘积是)

0()0()()1)(1()1()

1()1(时当时当≠=⎩⎨⎧++-+--++-++=r r p k r p k r p k k k p k k k M

例4、把1991分拆成若干个正整数的和，使其积最大。

分析：要把1991分拆成n 个正整数的和，由于n 可取1991,,2,1 ，可允拆法相当多，现要求出n 及具体的分拆：199121=+++n a a a (*)，使其乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21为最大，为此，先研究它们的一些性质：

性质1、若分拆(*)中有一项等于1，则其乘积一定不是最大。 性质2、若分拆(*)中有一项大于4，则其乘积一定不是最大。

证：因在式(*)中，若41>a ，则)2(211-+=a a ，有1111)4()2(2a a a a >++=-，于是有n n a a a a a a 2121)2(2>-

性质3、若分拆(*)中数值为2的项数多于2时，则其乘积一定不是最大。 证：因在(*)中，若有2321===a a a ，则取321==b b ，于是1991421=+++n a a b b ，且其乘积n n n n a a a a a a a a a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅>⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 21434242123

总结性质1、2、3可得：

性质4、把正整数S （>1）分拆为若干个正整数i a 的和， ++++=i a a a S 21，使其乘积最大的条件是每个i a 都满足32≤≤i a ，且这些i a 中至多有2个是2。

证：又性质1、2、3可知，分拆中的每一项i a 必满足41≤

现在可以来解例4了。据题设1991=26633+⨯。

要使分拆后乘积最大，据性质4，只有一种拆法，即分拆为663个3和1个2，于是项数n=664，其乘积是23663⨯为最大。

综合例5及性质4，可得下面的：

定理5、把正整数S （>1）分拆为若干个正整数的和：n a a a S +++= 21，则当

n a a a ,,,21 中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积n a a a M ⋅⋅⋅= 21有最大值。

定理6、把正整数S （>4）分拆为若干个互不相等的正整数的和：n a a a S +++= 21，使其乘积n a a a M ⋅⋅⋅= 21为最大的条件是：n a a a ,,,21 是从2或3开始的n 个连续自然数，或是从2或3开始的n+1个连续自然数中某n 个。