离散数学 教案 第2章 复习总结
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Discrete Mathematics 2. ① ② ③ ④ ⑤ 前提引入 由① ，US 由②，ES 由③，UG 由④，EG
在该推理过程中， 分析 在该推理过程中，因∃yF(z,y) 中存在自由出现的个 体变元z 因而不能使用ES规则，所以② ES规则 步错了。 体变元z，因而不能使用ES规则，所以② ～ ③步错了。
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Discrete Mathematics 证明公式： xP(x)∧∃ ¬ 是永假式。 例3 证明公式：∀xP(x)∧∃y¬P(y) 是永假式。 证明：假设公式∀xP(x)∧∃ ¬ 不是永假式， 证明：假设公式∀xP(x)∧∃y¬P(y) 不是永假式， 那么至少存在一个个体域D几 上谓词的一种解 那么至少存在一个个体域 几D上谓词的一种解 xP(x)与 ¬ 同时为真。 释，使∀xP(x)与∃y¬P(y) 同时为真。 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x， 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x 为真 P(x)都为真 都为真。 ¬ 为真，则在D中 P(x)都为真。∃y¬P(y) 为真，则在 中，至少有 某个个体c，使得¬ 为真，因而在此解释下， 某个个体 ，使得¬P(c) 为真，因而在此解释下， P(c) 为假。但由∀xP(x)为真，可得 为假。但由∀xP(x)为真 可得P(c) 为真， 为真， 为真， 矛盾。 矛盾。 因此， xP(x)∧∃ ¬ 必是永假式。 因此，∀xP(x)∧∃y¬P(y) 必是永假式。
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Discrete Mathematics 证明： 证明：① ∃x¬R(x) 前提引入 ¬ ② ¬R(c) 由①，ES x(Q(x)∨R ∨R(x)) 前提引入 ③ ∀x( ∨R ∨R(c) 由③，US ④ Q(c)∨R ∨R ⑤ Q(c) 由②、④ ，析取三段论 x(P(x)→¬Q(x)) 前提引入 ⑥ ∀x( → ⑦ P(c)→¬Q(c) 由⑥，US → ⑧ ¬P(c) 由⑤、 ⑦，拒取式 ⑨ ∃x¬P(x) 由⑧，EG ¬
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Discrete Mathematics 例2 判断下面谓词公式的类型： 判断下面谓词公式的类型： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
答案： 、 、 、 、 是 答案：1、4、5、8、9是 永真式； 、 是矛盾式 是矛盾式； 永真式；2、10是矛盾式； 其他是可满足式。 其他是可满足式。
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Discrete Mathematics 符号化下列命题，并推证其结论： 例4 符号化下列命题，并推证其结论： 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车， 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每 一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。 一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。有 的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。 个 的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。(个 体域为人类集合) 体域为人类集合 P(x)：x喜欢步行 Q(x)：x喜欢乘汽车 喜欢步行； 喜欢乘汽车； 解： 设P(x)：x喜欢步行；Q(x)：x喜欢乘汽车； R(x)：x喜欢骑自行车。则本题可符号化为： 喜欢骑自行车。 ： 喜欢骑自行车 则本题可符号化为： x(Q(x)∨R ∨R(x))，∃x¬R(x) ∀x(P(x)→¬Q(x)), ∀x( x( → ∨R ， ¬ ⇒ ∃x¬P(x) ¬
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Discrete Mathematics 二、典型题例分析 在一阶逻辑中将下列命题符号化： 例1 在一阶逻辑中将下列命题符号化： 每列火车都比某些汽车快。 (1) 每列火车都比某些汽车快。 某些汽车比所有的火车慢。 (2) 某些汽车比所有的火车慢。 (3) 有一个且仅有一个偶数质数。 有一个且仅有一个偶数质数。 将符号∃ 表达成仅用∀ 和谓词=构 (4) 将符号∃!xP(x)表达成仅用∀、∃和谓词 构 表达成仅用 成的式子。 成的式子。
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Discrete Mathematics 求谓词公式的前束范式 的前束范式。 例4 求谓词公式的前束范式。 x(P(x)→Q(x))→(∃ ∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x) →∃xQ(x)) 解：∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x) →∃xQ(x)) x(P(x)→Q(x))→(∃ x(¬P(x)∨Q(x))→(¬ ⇔∀x(¬P(x)∨Q(x))→(¬∃xP(x) ∨∃xQ(x)) x(¬P(x)∨Q(x))∨ ⇔ ¬ ∀x(¬P(x)∨Q(x))∨(¬∃xP(x) ∨∃xQ(x)) x(P(x)∧ Q(x))∨ ⇔ ∃x(P(x)∧¬Q(x))∨(∀x¬ P(x) ∨∃xQ(x)) ¬ ⇔∃x(P(x)∧ Q(x))∨∀ ¬ x(P(x)∧¬ ⇔∃x(P(x)∧¬Q(x))∨∀y¬ P(y) ∨∃zQ(z) (P(x)∧¬ ⇔∃x ∃ (P(x)∧ Q(x))∨¬ ⇔∃x∀y∃z(P(x)∧¬Q(x))∨¬ P(y) ∨Q(术学院
Discrete Mathematics 判断下面两个推理的正误，并指出错误所在？ 例5 判断下面两个推理的正误，并指出错误所在？ 1. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 前提引入 由①， US 前提引入 由③， ES 由② ④，假言推理 UG
在该推理过程中， 消去存在量词时， 分析 在该推理过程中，对∃xF(x) 消去存在量词时，要求用特定 的个体常项取代x 而不能用变项y取代x 步有错。 的个体常项取代x，而不能用变项y取代x，所以③ ～ ④步有错。
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第二章 一阶逻辑
复习总结
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Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 一阶逻辑演算是命题演算的继续和深入，它不仅 研究命题间的逻辑结构，而且要考察命题间的内部 原子命题， 性质。在命题演算中，基本组成单位是原子命题 原子命题 并且把它看成是不可分解的。在谓词演算中，对于 命题的内部逻辑结构作了进一步刻画分析，并由此 引进了个体 谓词 个体和谓词 个体 谓词概念。 在讨论谓词公式时引入量词 量词及其辖域 辖域的概念，对 量词 辖域 于量词的谓词公式，也存在公式变换和推理理论。 本章重点是带量词的公式变换，即前束范式 前束范式；谓 前束范式 词演算的推理理论 推理理论
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Discrete Mathematics 解：令F(x) ：x是火车。 G(x)：x是汽车。 是火车。 G(x)： 是汽车。 H(x,y)： H(x,y)：x比y快，则有： 则有： （1）. ） 或者
（2）. ）
或者
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Discrete Mathematics 解：令E(x) ：x是偶数。 P(x)：x是质数。 是偶数。 P(x)： 是质数。 则有： 则有： （3）. ∃!x(E(x)∧P(x)) ） ∧ 或者 ∃x(E(x)∧P(x)∧∀y(E(y)∧P(y)→y=x)) ∧ ∧ y(E(y)∧ )) （4）. ∃!xP(x) ⇔ ） ∃x(P(x)∧∀yP((y)→y=x)) ∧ ))
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Discrete Mathematics 2. ① ② ③ ④ ⑤ 前提引入 由① ，US 由②，ES 由③，UG 由④，EG
在该推理过程中， 分析 在该推理过程中，因∃yF(z,y) 中存在自由出现的个 体变元z 因而不能使用ES规则，所以② ES规则 步错了。 体变元z，因而不能使用ES规则，所以② ～ ③步错了。
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Discrete Mathematics 证明公式： xP(x)∧∃ ¬ 是永假式。 例3 证明公式：∀xP(x)∧∃y¬P(y) 是永假式。 证明：假设公式∀xP(x)∧∃ ¬ 不是永假式， 证明：假设公式∀xP(x)∧∃y¬P(y) 不是永假式， 那么至少存在一个个体域D几 上谓词的一种解 那么至少存在一个个体域 几D上谓词的一种解 xP(x)与 ¬ 同时为真。 释，使∀xP(x)与∃y¬P(y) 同时为真。 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x， 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x 为真 P(x)都为真 都为真。 ¬ 为真，则在D中 P(x)都为真。∃y¬P(y) 为真，则在 中，至少有 某个个体c，使得¬ 为真，因而在此解释下， 某个个体 ，使得¬P(c) 为真，因而在此解释下， P(c) 为假。但由∀xP(x)为真，可得 为假。但由∀xP(x)为真 可得P(c) 为真， 为真， 为真， 矛盾。 矛盾。 因此， xP(x)∧∃ ¬ 必是永假式。 因此，∀xP(x)∧∃y¬P(y) 必是永假式。
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Discrete Mathematics 证明： 证明：① ∃x¬R(x) 前提引入 ¬ ② ¬R(c) 由①，ES x(Q(x)∨R ∨R(x)) 前提引入 ③ ∀x( ∨R ∨R(c) 由③，US ④ Q(c)∨R ∨R ⑤ Q(c) 由②、④ ，析取三段论 x(P(x)→¬Q(x)) 前提引入 ⑥ ∀x( → ⑦ P(c)→¬Q(c) 由⑥，US → ⑧ ¬P(c) 由⑤、 ⑦，拒取式 ⑨ ∃x¬P(x) 由⑧，EG ¬
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Discrete Mathematics 例2 判断下面谓词公式的类型： 判断下面谓词公式的类型： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
答案： 、 、 、 、 是 答案：1、4、5、8、9是 永真式； 、 是矛盾式 是矛盾式； 永真式；2、10是矛盾式； 其他是可满足式。 其他是可满足式。
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Discrete Mathematics 符号化下列命题，并推证其结论： 例4 符号化下列命题，并推证其结论： 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车， 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每 一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。 一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。有 的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。 个 的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。(个 体域为人类集合) 体域为人类集合 P(x)：x喜欢步行 Q(x)：x喜欢乘汽车 喜欢步行； 喜欢乘汽车； 解： 设P(x)：x喜欢步行；Q(x)：x喜欢乘汽车； R(x)：x喜欢骑自行车。则本题可符号化为： 喜欢骑自行车。 ： 喜欢骑自行车 则本题可符号化为： x(Q(x)∨R ∨R(x))，∃x¬R(x) ∀x(P(x)→¬Q(x)), ∀x( x( → ∨R ， ¬ ⇒ ∃x¬P(x) ¬
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Discrete Mathematics 二、典型题例分析 在一阶逻辑中将下列命题符号化： 例1 在一阶逻辑中将下列命题符号化： 每列火车都比某些汽车快。 (1) 每列火车都比某些汽车快。 某些汽车比所有的火车慢。 (2) 某些汽车比所有的火车慢。 (3) 有一个且仅有一个偶数质数。 有一个且仅有一个偶数质数。 将符号∃ 表达成仅用∀ 和谓词=构 (4) 将符号∃!xP(x)表达成仅用∀、∃和谓词 构 表达成仅用 成的式子。 成的式子。
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Discrete Mathematics 求谓词公式的前束范式 的前束范式。 例4 求谓词公式的前束范式。 x(P(x)→Q(x))→(∃ ∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x) →∃xQ(x)) 解：∀x(P(x)→Q(x))→(∃xP(x) →∃xQ(x)) x(P(x)→Q(x))→(∃ x(¬P(x)∨Q(x))→(¬ ⇔∀x(¬P(x)∨Q(x))→(¬∃xP(x) ∨∃xQ(x)) x(¬P(x)∨Q(x))∨ ⇔ ¬ ∀x(¬P(x)∨Q(x))∨(¬∃xP(x) ∨∃xQ(x)) x(P(x)∧ Q(x))∨ ⇔ ∃x(P(x)∧¬Q(x))∨(∀x¬ P(x) ∨∃xQ(x)) ¬ ⇔∃x(P(x)∧ Q(x))∨∀ ¬ x(P(x)∧¬ ⇔∃x(P(x)∧¬Q(x))∨∀y¬ P(y) ∨∃zQ(z) (P(x)∧¬ ⇔∃x ∃ (P(x)∧ Q(x))∨¬ ⇔∃x∀y∃z(P(x)∧¬Q(x))∨¬ P(y) ∨Q(术学院
Discrete Mathematics 判断下面两个推理的正误，并指出错误所在？ 例5 判断下面两个推理的正误，并指出错误所在？ 1. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 前提引入 由①， US 前提引入 由③， ES 由② ④，假言推理 UG
在该推理过程中， 消去存在量词时， 分析 在该推理过程中，对∃xF(x) 消去存在量词时，要求用特定 的个体常项取代x 而不能用变项y取代x 步有错。 的个体常项取代x，而不能用变项y取代x，所以③ ～ ④步有错。
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第二章 一阶逻辑
复习总结
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Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 一阶逻辑演算是命题演算的继续和深入，它不仅 研究命题间的逻辑结构，而且要考察命题间的内部 原子命题， 性质。在命题演算中，基本组成单位是原子命题 原子命题 并且把它看成是不可分解的。在谓词演算中，对于 命题的内部逻辑结构作了进一步刻画分析，并由此 引进了个体 谓词 个体和谓词 个体 谓词概念。 在讨论谓词公式时引入量词 量词及其辖域 辖域的概念，对 量词 辖域 于量词的谓词公式，也存在公式变换和推理理论。 本章重点是带量词的公式变换，即前束范式 前束范式；谓 前束范式 词演算的推理理论 推理理论
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Discrete Mathematics 解：令F(x) ：x是火车。 G(x)：x是汽车。 是火车。 G(x)： 是汽车。 H(x,y)： H(x,y)：x比y快，则有： 则有： （1）. ） 或者
（2）. ）
或者
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Discrete Mathematics 解：令E(x) ：x是偶数。 P(x)：x是质数。 是偶数。 P(x)： 是质数。 则有： 则有： （3）. ∃!x(E(x)∧P(x)) ） ∧ 或者 ∃x(E(x)∧P(x)∧∀y(E(y)∧P(y)→y=x)) ∧ ∧ y(E(y)∧ )) （4）. ∃!xP(x) ⇔ ） ∃x(P(x)∧∀yP((y)→y=x)) ∧ ))