自动控制原理 第八章

描述大多数非线性物理系统的数学模型是 n 阶非线性 微分方程
d n y t dy t h t , y t , , n dt dt
d n 1 y t , , u t n 1 dt
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数， h( )为非线性函数 在通常情况下，可以将构成系统环节分为线性与非线 性两部分，可用框图表示非线性系统的基本形式。
dx dt x dx ) f ( x, x dt
（2 ）
用第一个方程除第二个方程有
f ( x, x ) dx dx x
（3）
如果把方程 （1） 看作质点的运动方程， 则 x 代表质点的位置， 代表质点的速度。用 x 和 x 描述方程（1）的解，也就是用 x 质点的状态（如位置和速度）来表示质点的运动。
阶非线性控制系统的精确方法。这种方法不 局限于普通的非线性因素，而且能够解决特 别明显的非线性控制问题，不仅能给出稳定 性信息和动态特性的信息，还能给出系统运
动轨迹的清晰图像。由于相平面法的局限性，
故在本节所讨论的问题仍然仅限于二阶非线 性系统。
8.3.1 相平面的基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 f (x , x) （1） x 作为变量，则可有 如果以 x 和 x
当
x1 t x2 t
这种特殊情况下的状态平面称为相平面，相应的状态 平面轨迹称为相平面轨迹，或直接称为相轨迹。 某二阶系统的时间响应与相轨迹。 图中用 A 、 B 、 C 分别 表示不同的初始状态， 每一初始状态下对应 一条相轨迹。
相平面分析法，是基于时域的状态空间分
析设计方法。它是一种用图解方法来求解二
第8章
非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念
8.2 二阶线性和非线性系统的特征
8.3 非线性系统的相平面分析
8.4 非线性系统一种线性近似表示
——描述函数
8.5 非线性环节的串并联及系统的变换
8.6 利用非线性特性改善系统的性能
8.1
非线性系统的基本概念
8.1.1 非线性系统的数学描述
当e(t)>0时，sgn e(t) =+1；当e(t)<0时，sgne(t) =－1
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号 作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
4. 间隙特性
k e(t ) y(t ) k e(t ) b sgn e(t )
非线性系统：如果一个系统中包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节时，即称该系统为非线性控制系统。 例：弹簧阻尼系统 其运动可用下面非线性微分方程描述：
d 2 y t dy t m fv k y y t F 2 dt dt
式中：fv——粘性摩擦系数 k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
8.1.2 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分 方程，故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数 学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，必 须研究不同输入所引起的输出响应。
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本 身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。 而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取 决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始 状态有关。

e(t ) a
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。 由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
3.饱和特性
ke(t ) y (t ) ka sgn e(t )
e(t) a e(t ) a
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 f (x , x) （1） x 作为变量，则可有 如果以 x 和 x
dx dt x dx ) f ( x, x dt
（2）
用第一个方程除第二个方程有
f ( x, x ) dx dx x
（3）
8.1.3 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法 既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只限 于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法 描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。
一般说来，描述二阶系统的二阶常微分方程可以用两 个一阶微分方程表示
x1 t f1 t , x1 t , x2 t x2 t f 2 t , x1 t , x2 t
（8.8）
状态平面是一般的二维平面，其水平轴记为x1，垂直轴 记为x2。假设(x1(t)，x2 (t))表示为上式的一个解，则当t为固 定值时，解对应于状态平面上的一个点。当t变化时，对于 在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨迹。
a.消去参变量 t f (x , x) 直接解出 x(t ) ，通过求导得到 x (t ) 。在这两个解中消去作为 x 由 的关系。 参变量的 t ，就得到 x x
M 0 x 例 8-1 设描述系统的微分方程为 (0) 0, x(0) x 。求其相轨迹。 其中 M 为常量，已知初始条件 x
dx 可找出 x x 关系

)dx h( x)dx g(x

x
0 x
)dx h( x)dx g(x
x0
x
b.直接积分法
在例 8-1 中
M 可有 x 由
积分有
dx M dx Mdx x dx x 1 2 M ( x x ) x 2
e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。 当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。 间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
5.摩擦特性（变放大系数特性）
90
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 tg
arctg(1) 45
等倾线的斜率为 tg

1 1
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 tg

在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法 称为相空间法，也称为状态空间法。 的平面称为相平面，相 在自动控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x 平面是二维的状态空间。
的关系 （1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系，从而可在相平面上绘制 用求解微分方程的办法找出 x, x 相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
质量-弹簧-阻尼系统的框图表示
当用框图作为非线性系统的数学模型时，多数情况下不 必再用微分方程去描述系统，而只需将系统的线性部分用 传递函数或脉冲响应表示，非线性部分则用非线性等效增 益或描述函数表示即可（将在后面介绍）。但是，对于复 杂系统而言，则必须考虑非线性环节加于系统何处以及以 何种加入的问题，而不能像这样简单。
等倾线。相轨迹必然以 的斜率经过等倾线
等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
步骤： a.根据等倾线方程式 8-22，作出不同 值的等倾线 b.根据初始条件确定相轨迹的起始点 c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点 向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线 斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
2 x 2 M ( x x )
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
8.3.2 等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
原理：
f ( x, x ) x
因 故有
x x
dx dx f ( x, x ) dx dx x
dx ，则 式中 为相轨迹在某一点的切线的斜率 令 dx dx dx ) f ( x, x x 关系曲线称为 ) 的斜率必为 ，上式确定的 x x 满足此方程的点 ( x, x
式中，a——继电器吸合电压 ma——释放电压
b——饱和输出
a=0
m=1
m=-1
由于继电器元件在控制系统中常用来作为改 善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线 性系统的分析中占有重要地位。
2.死区（不灵敏区）特性
0 y (t ) k e(t ) a sgn e(t ) e(t ) a
M ， 积分有 x 解： Mt x (1) 再积分一次有
1 2 x x Mt 2
(2)
由(1),(2)式消去 t 有
2 2M ( x x ) x
M=1 M=-1
b.直接积分法
dx x
dx dx dx x dt dx dt dx
3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两种， 系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没有外 作用时，非线性系统的周期运动在物理上可以实现， 其频率和振幅均由系统本身的特性所决定。所以通 常把它称为自激振荡，简称自振。自振是非线性系 统的一个非常重要的特征，也是研究非线性系统的 重要内容之一。 4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的 固有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统 常用的方法来研究非线性系统。
k1e(t ) y (t ) k2e(t )
e(t ) a e(t ) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。 具有这种特性的系统，其动态品质较好。
8.3
相平面法
8.3.1 相平面的基本概念
例
x x 0 的相轨迹 x 作出
(0) 1 x
x(0) 0
解： （1）等倾线方程
dx x x dx x dx x dx x x 故等倾线方程为 x
1 x 1
显然为直线,该等倾线的斜率为 tg
1
1 1
1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .5 3 4 11 0 .4 0 .2 0 0 .5 1 2 4 9
78.7 68.2 59 51.3 45 33.7 26.6 18.4 5 .7 59 51.3 45 33.6 26.6 18.4 11.3 5 .7
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线 性特性有死区、饱和、间隙和继电等。 1.继电特性
0 0 y (t ) b sgn e(t ) b b ma e(t ) a e(t ) 0 a e(t ) ma e(t ) 0 e(t ) a e(t ) ma e(t ) 0 e(t ) ma e(t ) 0