自动控制原理 第八章

8.1.2 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分 方程，故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数 学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，必 须研究不同输入所引起的输出响应。
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本 身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。 而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取 决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始 状态有关。
等倾线。相轨迹必然以 的斜率经过等倾线
等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
步骤： a.根据等倾线方程式 8-22，作出不同 值的等倾线 b.根据初始条件确定相轨迹的起始点 c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点 向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线 斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两种， 系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没有外 作用时，非线性系统的周期运动在物理上可以实现， 其频率和振幅均由系统本身的特性所决定。所以通 常把它称为自激振荡，简称自振。自振是非线性系 统的一个非常重要的特征，也是研究非线性系统的 重要内容之一。 4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的 固有特性。不能用频率特性、传递函数等线性ห้องสมุดไป่ตู้统 常用的方法来研究非线性系统。
k1e(t ) y (t ) k2e(t )
e(t ) a e(t ) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。 具有这种特性的系统，其动态品质较好。
8.3
相平面法
8.3.1 相平面的基本概念
一般说来，描述二阶系统的二阶常微分方程可以用两 个一阶微分方程表示
x1 t f1 t , x1 t , x2 t x2 t f 2 t , x1 t , x2 t
（8.8）
状态平面是一般的二维平面，其水平轴记为x1，垂直轴 记为x2。假设(x1(t)，x2 (t))表示为上式的一个解，则当t为固 定值时，解对应于状态平面上的一个点。当t变化时，对于 在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨迹。

e(t ) a
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。 由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
3.饱和特性
ke(t ) y (t ) ka sgn e(t )
e(t) a e(t ) a

M ， 积分有 x 解： Mt x (1) 再积分一次有
1 2 x x Mt 2
(2)
由(1),(2)式消去 t 有
2 2M ( x x ) x
M=1 M=-1
b.直接积分法
dx x
dx dx dx x dt dx dt dx
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线 性特性有死区、饱和、间隙和继电等。 1.继电特性
0 0 y (t ) b sgn e(t ) b b ma e(t ) a e(t ) 0 a e(t ) ma e(t ) 0 e(t ) a e(t ) ma e(t ) 0 e(t ) ma e(t ) 0
质量-弹簧-阻尼系统的框图表示
当用框图作为非线性系统的数学模型时，多数情况下不 必再用微分方程去描述系统，而只需将系统的线性部分用 传递函数或脉冲响应表示，非线性部分则用非线性等效增 益或描述函数表示即可（将在后面介绍）。但是，对于复 杂系统而言，则必须考虑非线性环节加于系统何处以及以 何种加入的问题，而不能像这样简单。
a.消去参变量 t f (x , x) 直接解出 x(t ) ，通过求导得到 x (t ) 。在这两个解中消去作为 x 由 的关系。 参变量的 t ，就得到 x x
M 0 x 例 8-1 设描述系统的微分方程为 (0) 0, x(0) x 。求其相轨迹。 其中 M 为常量，已知初始条件 x
当
x1 t x2 t
这种特殊情况下的状态平面称为相平面，相应的状态 平面轨迹称为相平面轨迹，或直接称为相轨迹。 某二阶系统的时间响应与相轨迹。 图中用 A 、 B 、 C 分别 表示不同的初始状态， 每一初始状态下对应 一条相轨迹。
相平面分析法，是基于时域的状态空间分
析设计方法。它是一种用图解方法来求解二
例
x x 0 的相轨迹 x 作出
(0) 1 x
x(0) 0
解： （1）等倾线方程
dx x x dx x dx x dx x x 故等倾线方程为 x
1 x 1
显然为直线,该等倾线的斜率为 tg
1
1 1
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 f (x , x) （1） x 作为变量，则可有 如果以 x 和 x
dx dt x dx ) f ( x, x dt
（2）
用第一个方程除第二个方程有
f ( x, x ) dx dx x
（3）
式中，a——继电器吸合电压 ma——释放电压
b——饱和输出
a=0
m=1
m=-1
由于继电器元件在控制系统中常用来作为改 善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线 性系统的分析中占有重要地位。
2.死区（不灵敏区）特性
0 y (t ) k e(t ) a sgn e(t ) e(t ) a
阶非线性控制系统的精确方法。这种方法不 局限于普通的非线性因素，而且能够解决特 别明显的非线性控制问题，不仅能给出稳定 性信息和动态特性的信息，还能给出系统运
动轨迹的清晰图像。由于相平面法的局限性，
故在本节所讨论的问题仍然仅限于二阶非线 性系统。
8.3.1 相平面的基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 f (x , x) （1） x 作为变量，则可有 如果以 x 和 x
描述大多数非线性物理系统的数学模型是 n 阶非线性 微分方程
d n y t dy t h t , y t , , n dt dt
d n 1 y t , , u t n 1 dt
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数， h( )为非线性函数 在通常情况下，可以将构成系统环节分为线性与非线 性两部分，可用框图表示非线性系统的基本形式。
非线性系统：如果一个系统中包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节时，即称该系统为非线性控制系统。 例：弹簧阻尼系统 其运动可用下面非线性微分方程描述：
d 2 y t dy t m fv k y y t F 2 dt dt
式中：fv——粘性摩擦系数 k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .5 3 4 11 0 .4 0 .2 0 0 .5 1 2 4 9
78.7 68.2 59 51.3 45 33.7 26.6 18.4 5 .7 59 51.3 45 33.6 26.6 18.4 11.3 5 .7
2 x 2 M ( x x )
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
8.3.2 等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
原理：
f ( x, x ) x
因 故有
x x
dx dx f ( x, x ) dx dx x
dx ，则 式中 为相轨迹在某一点的切线的斜率 令 dx dx dx ) f ( x, x x 关系曲线称为 ) 的斜率必为 ，上式确定的 x x 满足此方程的点 ( x, x
90
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 tg
arctg(1) 45
等倾线的斜率为 tg

1 1
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 tg

e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。 当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。 间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
5.摩擦特性（变放大系数特性）
第8章
非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念
8.2 二阶线性和非线性系统的特征
8.3 非线性系统的相平面分析
8.4 非线性系统一种线性近似表示
——描述函数
8.5 非线性环节的串并联及系统的变换
8.6 利用非线性特性改善系统的性能
8.1
非线性系统的基本概念
8.1.1 非线性系统的数学描述
8.1.3 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法 既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只限 于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法 描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。
在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法 称为相空间法，也称为状态空间法。 的平面称为相平面，相 在自动控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x 平面是二维的状态空间。
的关系 （1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系，从而可在相平面上绘制 用求解微分方程的办法找出 x, x 相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
dx dt x dx ) f ( x, x dt
（2 ）
用第一个方程除第二个方程有
f ( x, x ) dx dx x
（3）
如果把方程 （1） 看作质点的运动方程， 则 x 代表质点的位置， 代表质点的速度。用 x 和 x 描述方程（1）的解，也就是用 x 质点的状态（如位置和速度）来表示质点的运动。
dx ) x f ( x, x dx
上式可分解为 则由 可找出 x x 关系

)dx h( x)dx g(x

x
0 x
)dx h( x)dx g(x
x0
x
b.直接积分法
在例 8-1 中
M 可有 x 由
积分有
dx M dx Mdx x dx x 1 2 M ( x x ) x 2
当e(t)>0时，sgn e(t) =+1；当e(t)<0时，sgne(t) =－1
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号 作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
4. 间隙特性
k e(t ) y(t ) k e(t ) b sgn e(t )