数学归纳法_课件
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精品 课件
高中数学选择性必修2
第四章 数列
数学归纳法
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，掌握数学归纳法 的基本解题步骤，能利用此方法解决有关问题。
教学重、点
应用数学归纳法的具体解题步骤，应用数学归纳法去证明相关问题。
完全归纳
我是一毛
我是二毛
我是三毛
证明：略
3.观察下列两个数列
数列
1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；数
列
：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….
猜想从第几项起a，小于b，并证明你的结论.
第5项起，证明 略
小 结
（一）一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命 题”的方法— 数学归纳法
（二）二个注意： 1、“二步一结论”缺一不可。 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要 用到归纳假设
数学归纳法的注意事 项
数学归纳法的第一项
当N=k+1时的易错点。
数学归纳法
1.用数学归纳法证明：如果{ }是一个公差为d的等差数列，那 么
对任何
都成立。
证明：（1）当n=1时，左边= ，右边=
，①式成立
。
（2）假设当n=k（ ）时，①式成立，即
，根据等差数列的定义，
有
=[ ，+于(k是-1)d]+d
1.选择题 用数学归纳法证明下列等式 C ：
A.-1 B.-1+3 C.-1+3-5 D.-1+3-5+7
2.用数学归纳法证明 ：
证明：略
证明：略
证明：略
5.用数学归纳法证明 ：
证明：略
仅对正整数1成 立证明：略
证明：略
总结
1、数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法. 2、用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； 3、两个步骤中，第一步是基础，第二步是依据.在第二步证明中，关键是 一凑假设，二凑结论. 4、用数学归纳法证明命题的步骤为： ①验证当n取第一个值时命题成立，这是推理的基础； ②假设当n=k时命题成立.在此假设下，证明当时命题也成立是推理的依据 . 特别注意： （1）用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立，注意不一定为1； （2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到
=
=1，
所以②式成立。
（2）假设当n=k（k∈N*）N *）时，②式成立，
即
在上式两边同时加上
，有
数学归纳法
由 可得 同理可得
数学归纳法
4.设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
试比较S，与n的大小，并用数学归纳法证明你的结 论解.法1：
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1十x，于 是
数学归纳法
数学归纳法的原理 利用数学归纳法证明。
数学归纳法的注意事项
1.
B
A. B. C. D.
数学归纳法的注意事项
2.
D
A. B. C. D.
数学归纳法的注意事项
2(2k+1)
小结
用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值 时等 式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些 项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待 证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
。
。
数学归纳法的定义
一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行
： （1）【归纳奠基】证明当n取第一个值
时命题成
立; （2）【归纳递推】假设当n=k(k∈N* ,k≥ )时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于 开始的所有正
整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法。
我是谁
对于数列｛ ｝，已 知（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗 ？解:
猜想数列的通项公式 为验证:同理得
啊,有完没完啊?
…… 正整数无数个!
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条 件
1、第一块骨牌倒 下 2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒 下 条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块 倒下，则相邻的第k+1块也倒下
多米诺骨牌游戏原 理
通项公式为 方法
的证明
（1）第一块骨牌倒下 。 （2）若第k块倒下时，则 相邻的第k+1块也倒下。
（1）当n=1时，猜想成
立
（2）若当n=k时猜想成立，
即
，则当n=k+1时猜
想也成立，即
。
根据（1）和 （2），可知不论 根据（1）和（2），可知对
有多少块骨牌，都能全部倒下 任意的正整数n，猜想都成立
1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有 错误，错在哪里？ （1）求证：当n∈N*时，n=n+1. 证明：假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即 k=k+1. 则当n=k+1时，左边=k+1=（k+1）+1=右边 所以当n=k+1时，等式也成立。 由此得出，对任何n∈N*，等式n=n+1都成立.
= +[(k-1)+1]d
注意！！在证明递推步骤时，必 须使用归纳假设，并把 “证明的目标”牢记在心。
= +[(k+1)-1]d,
即当n=k+1时，①式也成立。由（1）（2）可知，①式对任何
都成
数学归纳法
2.用数学归纳法证明
：
证：（1）当n=1时，②式的左边
.
右边= ×1×（1+1）×（2×1+1）
高中数学选择性必修2
第四章 数列
数学归纳法
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，掌握数学归纳法 的基本解题步骤，能利用此方法解决有关问题。
教学重、点
应用数学归纳法的具体解题步骤，应用数学归纳法去证明相关问题。
完全归纳
我是一毛
我是二毛
我是三毛
证明：略
3.观察下列两个数列
数列
1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；数
列
：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….
猜想从第几项起a，小于b，并证明你的结论.
第5项起，证明 略
小 结
（一）一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命 题”的方法— 数学归纳法
（二）二个注意： 1、“二步一结论”缺一不可。 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要 用到归纳假设
数学归纳法的注意事 项
数学归纳法的第一项
当N=k+1时的易错点。
数学归纳法
1.用数学归纳法证明：如果{ }是一个公差为d的等差数列，那 么
对任何
都成立。
证明：（1）当n=1时，左边= ，右边=
，①式成立
。
（2）假设当n=k（ ）时，①式成立，即
，根据等差数列的定义，
有
=[ ，+于(k是-1)d]+d
1.选择题 用数学归纳法证明下列等式 C ：
A.-1 B.-1+3 C.-1+3-5 D.-1+3-5+7
2.用数学归纳法证明 ：
证明：略
证明：略
证明：略
5.用数学归纳法证明 ：
证明：略
仅对正整数1成 立证明：略
证明：略
总结
1、数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法. 2、用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； 3、两个步骤中，第一步是基础，第二步是依据.在第二步证明中，关键是 一凑假设，二凑结论. 4、用数学归纳法证明命题的步骤为： ①验证当n取第一个值时命题成立，这是推理的基础； ②假设当n=k时命题成立.在此假设下，证明当时命题也成立是推理的依据 . 特别注意： （1）用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立，注意不一定为1； （2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到
=
=1，
所以②式成立。
（2）假设当n=k（k∈N*）N *）时，②式成立，
即
在上式两边同时加上
，有
数学归纳法
由 可得 同理可得
数学归纳法
4.设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列
试比较S，与n的大小，并用数学归纳法证明你的结 论解.法1：
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1十x，于 是
数学归纳法
数学归纳法的原理 利用数学归纳法证明。
数学归纳法的注意事项
1.
B
A. B. C. D.
数学归纳法的注意事项
2.
D
A. B. C. D.
数学归纳法的注意事项
2(2k+1)
小结
用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值 时等 式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些 项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待 证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
。
。
数学归纳法的定义
一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行
： （1）【归纳奠基】证明当n取第一个值
时命题成
立; （2）【归纳递推】假设当n=k(k∈N* ,k≥ )时命题成立，证
明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于 开始的所有正
整数n都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法。
我是谁
对于数列｛ ｝，已 知（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗 ？解:
猜想数列的通项公式 为验证:同理得
啊,有完没完啊?
…… 正整数无数个!
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条 件
1、第一块骨牌倒 下 2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒 下 条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块 倒下，则相邻的第k+1块也倒下
多米诺骨牌游戏原 理
通项公式为 方法
的证明
（1）第一块骨牌倒下 。 （2）若第k块倒下时，则 相邻的第k+1块也倒下。
（1）当n=1时，猜想成
立
（2）若当n=k时猜想成立，
即
，则当n=k+1时猜
想也成立，即
。
根据（1）和 （2），可知不论 根据（1）和（2），可知对
有多少块骨牌，都能全部倒下 任意的正整数n，猜想都成立
1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有 错误，错在哪里？ （1）求证：当n∈N*时，n=n+1. 证明：假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即 k=k+1. 则当n=k+1时，左边=k+1=（k+1）+1=右边 所以当n=k+1时，等式也成立。 由此得出，对任何n∈N*，等式n=n+1都成立.
= +[(k-1)+1]d
注意！！在证明递推步骤时，必 须使用归纳假设，并把 “证明的目标”牢记在心。
= +[(k+1)-1]d,
即当n=k+1时，①式也成立。由（1）（2）可知，①式对任何
都成
数学归纳法
2.用数学归纳法证明
：
证：（1）当n=1时，②式的左边
.
右边= ×1×（1+1）×（2×1+1）