】空间距离PPT课件

C
A
G
E B
例 2：正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，PC 面 ABCD， PC=2。 （ 1）求证： C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。 （ 2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
（3）求BD到平面PEF的距离。
（ 1）求证： C 点到平面 PEF 的距离等于
A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。
P
由于 Rt△ HKO 和 Rt△ HCP 有一个公共角，故△ HKD∽△ HCP。 ∴ OK=
OH PC 2 2 2 11 HP 11 22
D
H O F
Байду номын сангаас
2 11 即点 B 到平面 PEF 的距离是 。 11
| PP0 n | |n|
，即 PP0 在平面 的法向量 n 上的射
面 ABCD， PC=2。
∵ EF 平面 PEF， BD 平面 PEF。 到平面 PEF 的距离。
∴ BD//平面 PEF，则 B 到平面的距离就是 BD 上任一点到平面 PEF 的距离，于是只需求点 O ∵ BD⊥ AC，∴ EF⊥ HC ∵ PC⊥平面 ABCD ∴ EF⊥ PC 则 EF⊥平面 PHC ∴平面 PEF ⊥平面 PHC。 （ 2）求点 B 到平面 PEF 的距离。 作 OK⊥ PH 交 PH 于点 K，由两个平面垂直的性质定理作 OK⊥ PH。 交 PH 于点 K，由两个平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF 那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 PC=2 ∴ AC= 4 2 ， HO= 2 ， PH= 22 ∵正方形的边长为 4
的距离。
P
E
C O
A D B
练习

已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到平面 的距离是 。
解法 1：连结 PG， PC⊥平面 ABCD，CE=CF，而 CE、CF 是 斜 PE、PF 在平面 ABCD 上的射影。 ∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。 ∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。 过 C 作 PG 的垂线 CH，交 PG 于 H，有 EF⊥ CH。 ∴CH⊥平面 PEF，CH 的长即为点 C 到平面 PEF 的距离 又∵ AE=EB ∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 ， 在 Rt△PCG 中，CG= AC=3 2 ，PC=2。
6 11 CH= 11 22 CG 2 PC 2 CG PC 6 2
3 4 1 3
P
H
2 11 11
∴B 到平面 PEF 的距离为 CH=
1 3
D
C
F A G E B
例 2：正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，PC 面 ABCD， PC=2。 （ 1）求证： C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。 （ 2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
P
D
H F O A
C
G
E B
小结 空间距离多可转化为点面距离，求点面距离的常用方法有： （ 1） 利用图形的性质， 确定面的垂线段或垂足的位置， 再设法求解。
（ 2）用空间向量方法求解 先确定平面 的法向量 n ，点 P 是平面 内的任意一点，那么点 P0 到到平面 的距离为 d 影长。
上塘中学
李秀珍
A B
试问:那条线段最短
F1 F2
距离的概念：
图形F1内的任一点与图形F2内的 任一点距离中的最小值叫做图形F1 与图形F2的距离。
ABC 在平面 例 1 ：直角
内，点 P 在平面 外，
若 P 到直角顶点 A 的距离为 8 ，到两条直角
5 2 边的距离均为 ，求 P 到平面
Z P
D C F A
Y
E
B
X
解法 2：连结 EP、 FP、 BD 、 AC、 EF ， EF 与 BD 分别交 AC 于 H、 O，在正方形 ABCD 中， 例 2：正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， AB 、 AD PC ∴ EF//BD ， H的中点， 为 AO 的中点