四川大学数值分析试题(word文档良心出品)

数值分析考试题

填空题（每小题3分，共15分）

已知X=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对

误差界_________________ .

设x和y的相对误差均为0.001，贝U xy的相对误差约为

若f(X)=5x4 + x2 _3,X i = i,则A4 f (x i)=

a=[10,3,4,6];t=1/( x-1); n=le ngth( a)

y = a n»;

for k n1 : -1 : 1

y = t* yak; end

3 2

二、（10 分）设f（X）=（x -a）。

（15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中

A =

（1）用X1,X2,X3,X4构造三次Newton插值多项式N3（X）,并计算x = 1.5的近似值N3（1.5）。

（2）用事后误差估计方法估计N3（1.5）的误差。

五、（15分）

（1）设｛®o（x）,%（x）,d2（x）｝是定义于［-1,1］上关于权函数P（x） = x2的首项系数为1的正交

1.

2. 已知矩阵A =『2｝，则A的奇异值为

L2 1」

4.

5. F面Matlab程序所描述的数学表达式为

3.

(1) 写出解f （X）= 0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。

(1)

(2) 用Householder方法求矩阵

用此正交分解求矛盾方程组

A的正交分解，即，

Ax=b的最小二乘解。

A=QR。

四、（15分）给出数据点：0二12 3 4

9 6 12 15

（2）利用正交多项式组｛%（X ）,®1（X ）,®2（X ）｝，求f （X ）=

X 在［-」,」］上的二次最佳平方逼近多

项式。

多项式组，若已知Wo （x ） = 1,®1（X ） = X ，试求出申2（x ）。 六、(15分)设P 1(x)是f (X)的以(^^33 ),(1 +密 为插值节点的一次插值多项式,

3

3

2

试由P 1(x)导出求积分I =

f(x)dx 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式

的截断误差。

七、(15分)已知求解线性方程组 Ax=b 的分量迭代格式

(k) + ®( X V c Jk)\

「0 —送 a ij X j ), i =1,2,111,n

dii

j 4

又x^Va ，则有W '(X *)—旦(需)”丄二1

^且H 0，故此迭代格式是线性收敛的。 6 3 6 3 2

(k 卅) x i

(

=

x

i

(1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；

(2)证明当 A 是严格对角占优阵, =-时此迭代格式收敛

2

数值分析答案

1

、填空题(每小题3分，共15分)1.丄咒10鼻

2

2. S = 3,— =1

3. 0.002

4. 120

5. y=10+^^+—

+

x-1 (x-1)

6 (X-1)3

二、(10 分)解：(1)因 f(X) =(x

3

- a)2，故 f (x) = 6X 2(X 3 - a)。

由Newton 迭代公式：x k - =x^〔区),

k

f (Xk)，

k =0,1,2,111

,3 \2

(X k -a)

/ 曰 \ ck 5,

5 I a

得

xk

^xk

—6x 2(x 3-

ar6x k

破,

k =0,1,2,川

5

(2)上述迭代格式对应的迭代函数为 W(x) = - X + 6 a 伯' 67，于是f) 5 a =—一一 X 6 3

-3

三.（15分）法一： （1）x 」_2,1,2）T

,y 丄3,0,0) T ,u=x_y JfgT 1 (2)心5

[33 0 L 0「 r_j 0 「5 1 1 >

一-\

L

5 J0 H 丄 juu ： u u (■j 0 5

14 10" 14 10 _2

R 1X 曲b 法二:

(1)X 1 ZZ (-2,1,2)T T

H 1 =I

U 1 U 1 口0 5 5 14 10 _2 Q 1R 1X 」

51裁訂 ,y 1 3,0,0)T ,U 1

一 ■f

1 -3 =X 1 1 -y 1 ZZ (1,1,2)T

_2

L L 0 10 ]

_2

11 I

2 _2 2 11

14 \ 3 =A 2 x 2

#14/11,3/11, 4/11) 一

T

U 2U 2 H 2 =i -2-^ = U 2 U 2 y 2

=£14 /11, -5/11,0 )T 0^1 2」 1

(2)

Q 韦 10

A 一

-44 J 丄0 2

r

「10 -5 1 -5 -44 J R1 :

2 J

1

T

L17 ly

厂

1 1

2 Q 』小2 1

R 1

x ZZ QT b 8 _4 四.（15分） ,U 2 =X 2 —『2 263 187 T 225,75"J m0,8 /11, 4/11)T 0 0 -3 4 4 3

们 -5 N 3

( X)=9 +3( X _1) + 4.5( X -1)( X _2) N 3

(1.5) =5.6250, -2( X _1)( X _2)( X -3) N 3( X) =3 +6x —4.5 x(x —1) + 3x( x —1)( x —2) N 3(1.5) =7.5000,

R 1 =f(1.5) -N 3(1.5) a /.5 ~4 (N 3

(1.5)-亍3(1.5)) =1.1719

4

五、（15分） (1 )设 ®2(x) = x 2

+kF 1(x)+ k 0®0(x) 则利用

®2

（X ）和W 0（X ）,申1（X ）的正

交性得 2

k0

"易）凡（X ） %(X)> J^x 4

dx

J ；x 2

dx

-l k

1

vx 2

,®(x)>

£®1

(x),®1(x)》

1

f

x 5

dx

=

j-x 4

dx

故 W 2(x) =X

2

(x) =

X 2

1 1 1

首先做变量代换 X =丄t ，将区间从［一一，—］变换到［-1 ,

2

2 2

1],则

f (x) = X =- 2

F(t

)