2019年山东省中考数学压轴题汇编

2019年山东省中考数学压轴题汇编
1．（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象
上运动，且始终保持线段42AB =的长度不变．M 为线段AB 的中点，连接OM ．则线段OM 长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）
．
2．（2019•日照）如图，已知动点A 在函数4
(0)y x x
=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y
⊥轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当4NF EM =时，图中阴
影部分的面积等于 ．
3．（2019•济宁）如图1，在矩形ABCD中，8
AD=，E是CD边上一点，连接AE，
AB=，10
将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMN DAM
∠=∠，设AM x
=．
=，DN y
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使DMN
∆是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2019•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，EFC
∆是等腰直角三角形，点E在AB上，且90
⊥，垂足为点G．
CEF
∠=︒，FG AD
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
5．（2019•泰安）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -． （1）求二次函数表达式；
（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S ∆=，求点P 的坐标；
（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．
6．（2019•泰安）在矩形ABCD中，AE BD
⊥于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分ABD
⊥于点F，如图①，证明四边形AGFP是∠，交AE于点G，PF BD
菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若1
AB=，2
BC=，求AP的长．
7．（2019•威海）（1）方法选择
如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+．
小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯ 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =⋯ 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 【探究1】 如图②，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，
BC 是O 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 【探究2】
如图③，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ． （3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ．
8．（2019•威海）如图，在正方形ABCD中，10
=，E为对角线BD上一动点，连接AE，
AB cm
⊥，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm CE，过E点作EF AE
ycm，E点的运动时间的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设BEF
∆的面积为2
为x秒．
（1）求证：CE EF
=；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求BEF
∆面积的最大值．
9．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ．
（1）求抛物线解析式及B 点坐标；
（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；
（3）如图2，若P 点是半径为2的B 上一动点，连接PC 、PA ，当点P 运动到某一位置时，1
2
PC PA +的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
10．（2019•日照）探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点(1,3)A 、(2,5)B 、(4,9)C ，有53221AB k -=
=-，93
241
AC k -==-，发现AB AC k k =，兴趣小组提出猜想：若直线(0)y kx b k =+≠上任意两点坐
标1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠，则21
21
PQ y y k x x -=-是定值．通过多次验证和查阅资料得知，
猜想成立，PQ k 是定值，并且是直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过(2,2)S --、(4,2)T 两点的直线ST 的斜率ST k = ． 探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，(2,2)D ，(1,4)E ，(4,3)F ．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积． 综合应用
如图3，M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，(1,2)M ，(4,5)N ，请结合探究活动二的结论，求出过点N 的M 的切线的解析式．
11．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A 、B ． （1）求a 、b 满足的关系式及c 的值．
（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． （3）如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2019•德州）如图，抛物线2542y mx mx =--与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112
x x -=
． （1）求抛物线的解析式； （2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，2
92x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；
（3）抛物线上一点(1,5)D -，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．
13．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且60
∠=︒，
BAD
请直接写出::
HD GC EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求::
HD GC EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且::1:2
HD GC EB的
==，此时::
AD AB AH AE
结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．
14．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -，点(4,0)B ，与y 轴交于点(0,8)C ，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得PEA ∆和AOC ∆相似的点P 的坐标；
（3）作PF BC ⊥，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt PFD ∆面积的最大值．
15．（2019•滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．
16．（2019•滨州）如图①，抛物线211482
y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒，所得直线与x 轴交于点D ．
（1）求直线AD 的函数解析式；
（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点
①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；
②当点P 到直线AD 的距离为524
时，求sin PAD ∠的值．
17．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0,2)
C-，点A的坐标是(2,0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD x
⊥轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线1
x=-．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且
1
4
PE OD
=，求PBE
∆的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM
∆
是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2019•山西）综合与探究
如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34
时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴∠DBE＝∠IF A．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴＝．
∴IA•BD＝DE•IF②
任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．
20．（2019•山西）综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．
第二步：再沿AC所在的直线折叠，ACE
∆与ACF
∆重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中，BEC
∠的度数是，AE
BE
的值是．
（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．
21．（2019•陕西）问题提出：
（1）如图1，已知ABC
∆，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，4
AB=，10
BC=，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC
∠=︒，求满足条件的点P到点A的距离；
∆，且使90
BPC
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠=︒，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可120
CBE
以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
22．（2019•河北）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB
延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．
（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE 与BC的位置关系；
（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．
23．（2019•河北）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．
（1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；
（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；
（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；
（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b =和2019.5b =时“美点”的个数．
24．（2019•河南）如图，抛物线212y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线122
y x =--经过点A ，C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为m ．
①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；
②作点B 关于点C 的对称点B '，则平面内存在直线l ，使点M ，B ，B '到该直线的距离都相等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线:l y kx b =+的解析式．(k ，b 可用含m 的式子表示）
25．（2019•河南）在ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．
（1）观察猜想
如图1，当60α=︒时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究
如图2，当90α=︒时，请写出BD CP
的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当90α=︒时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP
的值．。