正弦型函数的图象及应用经典教案【强烈推荐】

第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 的图象及应用

【考试会这样考】

1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的两种变换途径．

【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

x ω

ϕ

-0

ω

ϕ

π

-2

ω

ϕ

π- ω

ϕπ-23

ω

ϕ

π-2

ωx ＋ϕ 0 π2

π 3π

2 2π y ＝A sin(ωx ＋ϕ)

A

－A

2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的步骤

3．当函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2π

ω

叫做周

期，f ＝1

T

叫做频率，ωx ＋ϕ叫做相位，ϕ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋ϕ＝k π＋π

2，k ∈Z )成轴对称图形．

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋ϕ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式y ＝A sin(ωx ＋ϕ) + B 时，若最大值为M ，最小值为m ，

则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω

＝T 求出，ϕ由特殊点确定．

一个区别 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋ϕ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，

平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|

ω

(ω＞0)个单位．原因在于

相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．

双基自测

1．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π

8

答案 A

2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．

A ．T ＝6π，φ＝π6

B ．T ＝6π，φ＝π3

C ．T ＝6，φ＝π6

D ．T ＝6，φ＝π

3

答案 C 解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π

6

.

3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π

2

个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．

A ．－sin x

B ．sin x

C ．－cos x

D ．cos x

答案 A 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .

4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝3

2

.

5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位

长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ( )

答案 A

解析 y ＝cos 2x ＋1

――→横坐标伸长2倍

纵坐标不变

y ＝cos x ＋1――→

向左平移1个单位长度

y ＝cos(x ＋1)＋1

――→向下平移1个单位长度

y ＝cos(x ＋1)． 结合选项可知应选A.

考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象

【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋ϕ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32

. (1)求ω和ϕ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．

解 (1)周期T ＝2π

ω

＝π，∴ω＝2，

∵f ⎝⎛

⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭

⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.

(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3，列表如下：

2x －π3 －π3 0 π2 π 32π 5

3

π

x 0 π6 512π 23π 11

12

π π

f (x ) 12 1 0 －1 0 1

2

图象如图：

【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x －π4，x ∈R .

(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？

解 (1)列表取值：

x

π2

32π 52

π 72π 92π 12x －π4 0 π

2

π 32π 2π f (x ) 0 3 0

－3