正弦型函数的图象及应用经典教案【强烈推荐】

第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 的图象及应用
【考试会这样考】
1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象变换．
2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的两种变换途径．
【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．
基础梳理
1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示
x ω
ϕ
-0
ω
ϕ
π
-2
ω
ϕ
π- ω
ϕπ-23
ω
ϕ
π-2
ωx ＋ϕ 0 π2
π 3π
2 2π y ＝A sin(ωx ＋ϕ)
A
－A
2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的步骤
3．当函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2π
ω
叫做周
期，f ＝1
T
叫做频率，ωx ＋ϕ叫做相位，ϕ叫做初相．
4．图象的对称性
函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋ϕ＝k π＋π
2，k ∈Z )成轴对称图形．
(2)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋ϕ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．
一种方法
在由图象求三角函数解析式y ＝A sin(ωx ＋ϕ) + B 时，若最大值为M ，最小值为m ，
则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω
＝T 求出，ϕ由特殊点确定．
一个区别 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋ϕ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，
平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|
ω
(ω＞0)个单位．原因在于
相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．
双基自测
1．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π
8
答案 A
2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．
A ．T ＝6π，φ＝π6
B ．T ＝6π，φ＝π3
C ．T ＝6，φ＝π6
D ．T ＝6，φ＝π
3
答案 C 解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π
6
.
3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π
2
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．
A ．－sin x
B ．sin x
C ．－cos x
D ．cos x
答案 A 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .
4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝3
2
.
5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位
长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ( )
答案 A
解析 y ＝cos 2x ＋1
――→横坐标伸长2倍
纵坐标不变
y ＝cos x ＋1――→
向左平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)＋1
――→向下平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)． 结合选项可知应选A.
考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋ϕ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32
. (1)求ω和ϕ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．
解 (1)周期T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2，
∵f ⎝⎛
⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.
(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3，列表如下：
2x －π3 －π3 0 π2 π 32π 5
3
π
x 0 π6 512π 23π 11
12
π π
f (x ) 12 1 0 －1 0 1
2
图象如图：
【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π4，x ∈R .
(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？
解 (1)列表取值：
x
π2
32π 52
π 72π 92π 12x －π4 0 π
2
π 32π 2π f (x ) 0 3 0
－3
(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移
π
4
个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象． 考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 的解析式
【例2】►已知函数f (x )=A sin(ωx ＋ϕ)+B （A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f (x )的解析式为_______．
答案：.()2sin 36
3f x x π
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
【训练2】 （1）若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，|ϕ|＜π
2
，ω＞0)的图象的一部分如图所示．
则f (x )的解析式为_______．
（2）已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为 A ． B ．
C ．
D ．
解 (1) f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6. （2）答案：.B
考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象与性质的综合应用
【例3】►已知函数的 部分图象如图所示：
（1）求f （x ）的解析式；
（2）求f （x ）的单调区间和对称中心坐标； （3）将f （x ）的图象向左平移
个单位，在将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象
向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图象可知，
又由于
， 所以
，
由图象及五点法作图可知：， 所以，
所以
．
（2）由（1）知，， 令
，得
，
所以f （x ）的单调递增区间为，
令
，得
，
所以f （x ）的对称中心的坐标为． （3）由已知的图象变换过程可得：， 因为， 所以，
所以当
，得
时，g （x ）取得最小值
，
当时，即x=0g （x ）取得最小值
．
【训练3】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最
高点是Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，5.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f (x )的递增区间．
解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭
⎫π3－π
12＝π，
∴ω＝
2π
π＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭
⎫π6＋φ＝0， 由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π
6 ∴y ＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6.
(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得：－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，k ∈Z ，
故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π
3(k ∈Z )．
A 组 专项基础训练
一、选择题
1．将函数()πsin 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭的图象向左平移π6
个单位,所得的图象对应的函数解析式是 A. sin2y x = B. cos2y x = C. 2πsin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ D. πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 【答案】C
2、将函数cos 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
6
π
个单位，再各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数解析式是（ ）
A. )62
1cos(π
-=x y B. )1221cos(π-=x y C. )62cos(π-=x y D. )3
2cos(π
-=x y 【答案】A
3、若函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移
6
π
得到函数()g x 的图象，则有（ ）
A. ()cos g x x =
B. ()sin g x x =
C. ()cos 3g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D. ()sin 3g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】26sin 2sin sin cos 332y x y x y x x π
πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
→
=+→=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭⎝
⎭左移
横坐标变为倍
.
4、为了得到函数1
y 3sin 2
5x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的图象，只要把13sin 2y x =上所有点（ ）
A. 向右平移
5π个单位长度 B. 向左平移5π
个单位长度 C. 向右平移25π个单位长度 D. 向左平移25
π
个单位长度
【答案】C
5、若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π
2
)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )
A ．ω＝12，φ＝π6
B ．ω＝12，φ＝π3
C ．ω＝2，φ＝π6
D ．ω＝2，φ＝π
3
答案 D 解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.
又2sin φ＝3，|φ|<π2，∴φ＝π
3
.
6、函数()sin()02
f x A wx A ϕϕ=+π
其中＞，＜）
的图像如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图像，则只要将)(x f 的图象（ ）
A ．向右平移4π个单位
B ．向右平移12π个单位
C ．向左平移4π个单位
D ．向左平移12
π个单位 答案 B
7、将函数y ＝sin(x ＋φ)的图像F 向左平移π
6
个单位长度后得到图像F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是 ( ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12
答案 D 解析 图像F ′对应的函数y ′＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＋φ， 则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ，令k ＝1时，φ＝7π
12
，故选D. 8、将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
6的图像，则φ等于
( ) A.π
6
B.5π
6
C.7π
6
D.11π6
答案 D 解析 将函数y ＝sin x 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝11
6
π时有y ＝
sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6. 二、填空题(每小题5分) 1、将函数()3sin 46f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
6
π
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为 。

【答案】()32.6g x sin x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
2、函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图
像如图所示，则ω＝________.
答案 3解析 由图像可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2π
ω
，因此ω＝3.
3、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f (π
24
)等于
(2)由图形知，T ＝πω＝2(38π－π8)＝π2，∴ω＝2. 由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3
4
π，k ∈Z .
又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π
4)，
∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π
3
＝ 3.
4、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6
π
x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.
【答案】8 试题分析：由图像得，当sin(
)16
x π
+Φ=-时min 2y =，求得5k =，
当sin(
)16
x π
+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.
5、已知f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式为 。

三、解答题
1．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2
.
(Ⅰ)求函数f (x )的解析式和最小正周期。

(Ⅱ)f (x )的图象向右平行移动12π
个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到g (x )的图象,用“五点法”作出
g (x )在[]π，0内的大致图象.
解：(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值是3,∴A +1=3,即A =2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, ∴最小正周期T =π,
∴ω=2.所以f (x )=2sin(2x -6π)+1 ∴ T=
π (Ⅱ)依题意得g (x )=f (x -12π)-1=2sin(2x -3π),
列表得：
描点
连线得g (x )在[0,π]内的大致图象.
2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π
2
)
的部分图像如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
12的单调递增区间．
解 (1)由题设图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫
11π12－5π12＝π，
所以ω＝2π
T
＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图像上， 所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π
6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π
6
.
又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π
6
＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π
6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 由2k π－π2≤2x +π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
3．已知函数
为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求
的单调递减区间.
试题解析： 解：（1）∵为偶函数，
∴对恒成立，∴
.
即：
又∵，故
.∴
由题意得，所以
故
，∴
（2）将的图象向右平移个单位后，得到
的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐
标不变，得到
的图象.
∴.
当，即
时，
单调递减，
因此
的单调递减区间为
.
B 组 专项能力提升
一、选择题
1．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ (φ>0)个单位，得到的图像恰好关于x ＝π
6
对称，则φ的最小值为
( )
A.5
12π B.11
6π C.11
12
π D ．以上都不对
答案 A 解析 y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位得到y ＝sin 2(x －φ)的图像，又关于x ＝π6对称，则2()
π6－φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，2φ＝－k π－π6 (k ∈Z )，取k ＝－1，得φ＝5
12
π.
2．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π
3
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
( ) A.23 B.43 C.32
D ．3 答案 C 解析 由函数向右平移4π
3
个单位后与原图像重合， 得
4π
3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3 (k ∈Z )，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32
. 3．要得到函数x y cos 3=的图象，只需将函数
)
62sin(3π
-
=x y 的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的21
（纵坐标不变）,所得图象再向左平移32π个单位长度.
B. 横坐标缩短到原来的21
（纵坐标不变），所得图象再向右平移6π个单位长度.
C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移32π
个单位长度.
D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移6π
个单位长度.
答案.C 二、填空题
1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π
2
)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过
点⎝
⎛⎭⎫2，－1
2，则函数解析式f (x )＝____________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6
解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得
⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2
，
即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6
，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫
πx 2＋π6.
2、已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2≤φ≤π
2)的部分图像（如图所示）与x 轴交于A 、B 两点，
与y 轴交于P 点，其一条对称轴与x 轴交于C 点，且PA=PC=32,PB=BC ，则ω=____________.
3、已知函数1)2sin(2)(3++=πx x f ，
,使
点，
为 。

答案：37π
三、解答题
1、已知点()()()()
1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+ (0,0)2
π
ωϕ>-<<图象上的任意
两点,且角ϕ 的终边经过点()
1,3P -,若()()124f x f x -=时,的最小值为
3
π
. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）当π0,
6x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
时,不等式()()2mf x m f x +≥恒成立,求实数m 的取值范围. 解：（1）角
的终边经过点()
1,3P -， tan 3ϕ=-，
02
π
ϕ-
<<， 3
π
ϕ∴=-
.
由()()124f x f x -=时,的最小值为
3
π
， 得23T π=
，即223ππω=
， 3ω∴= ∴()2sin 33f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ （2）2322
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,即25218
3183
k k x π
πππ
-
+
≤≤+
∴函数()f x 的单调递增区间为252,18
3183k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦ k z ∈
（3）当0,
6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时, ()1f x ≤≤ 于是, ()20f x +>, ()()2mf x m f x +≥ 等价于()()
()
2
122f x m f x f x ≥
=-
++
由 ()1f x ≤≤, 得
()()
2f x f x +的最大值为
13
所以，实数m 的取值范围是13
m ≥
2．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6
π个单位长度后得到函数()f x 的图象. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， ()()2
10f
x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[]
0,n π上恰有2017个零点. 试题解析：解：（Ⅰ）
()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（Ⅱ）设sin 2,3t
x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ x ∈
,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
则[]0,1t ∈， ()()210f x mf x --≤可化为210t mt --≤，
设()21g
t t mt =--， []0,1t ∈，则()g t 的图象是开口向上的抛物线一段，
()0g t ≤当且仅当()()00
{
10
g g ≤≤，即10
{ 110m -≤--≤，
所以m 的取值范围是0m ≥. 注：该小题也可采用分离参数求解. （Ⅲ）问题可转化为研究直线
y a =与曲线()y f x =的交点情况.
()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0,π上的草图为：
当1a >或1a <-时，直线y a =与曲线()y f x =没有交点； 当1a =或1a =-时，直线
y a =与曲线()y f x = []0,π上有
1个交点，由函数
()y f x =的周期性可知，此时
2017n =；
当
331,122
a a <<-<<时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有2个交点，由函数
()y f x =的周期性可
知，直线直线
y a =与曲线()y f x = []0,n π上总有偶数个交点；
当3
2
a =
时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有3个交点，由函数
()y f x =的周期性及图象可知，此时
1008n =.
综上所述，当1a =， 2017n =或1a =-， 2017n =，
或3
,10082
a n ==时， ()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.
3．已知函数
（其中
），
（1）若直线是函数图象的一条对称轴，先列表再作出函数在区间上的图象．
（2）求函数
，
的值域.
试题解析：（1）直线
为对称轴， ，
，
函数f（x）在的图象如图所示。

（2）当即时，由图1可知：即当即时，由图2可知：
当即时，由图3可知：
综上所述：当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为
图一：
图二：图三：。