反证法之几何证明专题

反证法之几何证明专题

例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。

（1）

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点

∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

同理可得：

OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM

这与已知的定理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，

且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC

（2）

证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中

∵BM＝MA，BP＝PD

∴MP AD，同理可证PN BC

从而MP＋PN＝（AD＋BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，

于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②

由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

相矛盾，

故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

练习

1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B

求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与

BE不能被点H互相平分。

4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC中，AB＝AC

求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：

1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

2．证明：假设m和n不相交则

m∥n

∵m⊥l ∴n⊥l

这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

∴AE∥BD，即AC∥BC

这与AC、BC相交于C点矛盾，

故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC

∴在等腰△OAB和△OBC中

OM⊥AB，ON⊥BC

从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，

则可能有两种情况：

(1)∠B＝∠C＝90°

(2)∠B＝∠C＞90°

若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。