信号与系统I(第四版)
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因果性：激励是产生响应的原因，响应是激励的后果。 若 f t 0, t 0 则 yzs ( t ) T 0 , f t 0, t 0
1
f (t-1)
t
0 1 2 -1 0 1
t
0 1 2
t
结论：t+b：波形在t时间轴上左移 b 个单位。 t-b：波形在t时间轴上右移 b 个单位。
k k m 离散信号同样适用 f k f k m
0 例： f k 2 k Ae
f (k)
A A
非时变系统
0 y ( t - t0 )
t
0 0
t
时变系统：系统的参数是时间 t 的函数，随时间 变化。 2.线性时不变系统的微分、积分特性（在零状态 条件下） 设 则
f(t) y( t )
d f (t ) dt
d y (t ) dt
t
f ( t )d t
t
y ( t )d t
3.因果系统
系统的参数是常数,不随时间变化。 零状态响应与输入信号作用的时刻无关。即： 若 yzs ( t ) T 0 , f t 则 y z s ( t t0 )
T 0 , f t to
0 f ( t - t0 ) f(t) y(t)
t
t
推广：在相同的起始 条件下，系统 的响应与输入 信号作用的时 刻无关。
t f (1 - ) 2
t
0 1 2 3
四.信号的分类
1.周期信号与非周期信号 连续周期信号：在 , 区间，每隔一定时间T，有 m = 0 , 1 , 2 ,… min( T ) =周期 f t f t mT 离散周期信号：每隔一整数K，有 f k f k mK m = 0 , 1 , 2 , … min( K ) =周期 非周期信号: 不满足以上条件的信号
1 0
t
1
注意：
如果一个时间信号有间断点， 那么从普通函数的概念来说， 在间断点处不存在导数。
这个问题以后讨论。
t t b f t b ３．信号的时移（平移） f t
0 例： f t t 1
f (t)
1 1
b0
t 1 t 1
f (t+2)
意义：时间信号的过去和将来可以对调 k 0 0 例：
f k k k 0
k 0 k 0
f(-k) f(k)
解：
0 f k k
k
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
５．信号的压缩与扩展（比例变换、尺度变换）
t at f t f at
k
三、信号的运算
１.加法、乘法： 信号同一时刻的值进行相加或相乘。
0 例１ x(t ) sin t t 0 t0
y(t ) sin t
t0 t0 t0 t0
sin t x(t ) y (t ) 0 0 x(t ) y (t ) 2 sin t
2
M 2
能量有限信号(能量信号) : 0 < E <∞
P=0
功率有限信号(功率信号) : 0 < P <∞ E =∞ 4.确知信号和随机信号
确知信号(规则信号):确定的时间函数(或序列)
随机信号:不能确定的或不可预知的信号.
§1.2
系统
一.系统模型 数学表示式 物理系统基本特性的数学抽象 数学符号合成图 例：电容的系统模型 1 t 数学表达式：uc (t ) i ( t )d t i(t) C
C uc(t)
数学符号合成图：
i(t)
1 C
uc(t)
一般的系统表示
f (t)
{ x( t0 ) }
y(t)
f1(t) f2(t) fp(t)
. . .
{ x( t 0 ) }
. . .
y1(t) y2(t) yq(t)
Hale Waihona Puke Baidu
(a)单输入/单输出系统
(b)多输入/多输出系统
系统的n个初始状态:{ x ( t 0 ) }={ x1 (t0) , x2 (t0), x3 (t0) , …,xn (t0) } 系统在任意时刻的响应: y(t)= T [ { x ( t0 ) }, f ( t ) ] T :系统的数学算子,输入与输出的关系; { x ( t0 ) }：可以看作为输入.
0
t 0 dt 0 t 1 t 1 0 dt 1 d t ＝ t 1 1 t 1 1 1 0 dt 1 1 d t t 0 d t 2 t 1 1 1
1 g(t)
k 0 k 0
k为整数
f (k+2)
A
f (k-1)
k
0 1 2 3 2 -1 0 1
k
0 1 2 3 4
k
结论：k + m :波形在k轴上左移m 个单位。 k – m :波形在k轴上右移m个单位。
t t f t f t k ４．信号的反折（反转） f k k f k
f(t)
例2：已知 f (t) 解： 1）尺度改变：
t 1 f( ) a 2 2
t f ( 1 ) 的波形，求 2
的波形。
-1
1
0
1
波形扩展2倍
t f (- ) 2
-1
1
t f( ) 2
2）反折：
t f ( ) 2
-2 -1 1
t
0 1 2
0
1
1
3）时移：
t 1 f (1 ) f [ (t 2)] 2 2
t
0 1 2 3
波形压缩2倍
f(2t) 2 1
2）反折：f (-2t) = f [2(-t)]
f (-2 t ) 2 1 -2 -1 0
t
0 1 2 3
t
f ( 3-2 t ) 2 1 0 1 2
3 3）时移：f 3 2t f 2 t 2
t
二、离散信号
定义：在离散的时间点上才有定义的信号。 特点：时间变量 t 是离散的。 t f t Ae 例： t = 0 , T , 2T , 3T, …… （其它值无定义）
f (t) A
t→kT
T=1
A
f ( k ) Ae αk
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 0 1 2 3 4 5 6 7 8
T [ a1 f 1( t ) +a2 f 2 ( t ) ] = a1 T [ f 1( t ) ] + a2 T [ f 2 ( t ) ]
4.非线性系统: 不满足迭加性或齐次性的系统。 线性、非线性系统的定义也适用于离散系统( t → k ) 5.零输入响应,零状态响应和全响应。
统 的 激 励 系统响应决定于 系
第一章
信号与系统
§1.1 §1.2 信号 系统
§1.1
信号
信号：运载信息的工具。 （信息：语言、音乐、图像、数据等)
时间信号：带有信息的一种随时间变化的物理量。
例：示波器观察到的电压波形
f (t ) 10cos t
自变量：时间t 。
(v)
峰值10v，周期T=2sec
一.连续信号
在连续的时间范围内有定义的信号 特点：时间变量 t 连续， 幅值允许有间断点
2
1 M
M 2 M 2
f k
2
2
K
M 2
T T
lim
T
f t dt
2
f k
信号功率:时间区间(-∞, ∞)上的平均功率P :
P lim 1 T T
T 2 T 2
f t dt
2
P lim
1 M M
K
M 2
f k
k ak f ( k ) f ( ak ) a 0
例：f t sin( t ) 解：f t sin( t ) 周期T = 2
f 2 t sin(2 t )
t f ( ) sin( t ) 2 2
f(t)
f(t/2)
T=1
t
0 1 2 3
T=4
f(2t)
结论： a 1 ，波形压缩 a 倍。 a 1 ，波形扩展 1/a 倍。
综合练习：
f t f at b
实质： 时移、反折、尺度变换的综合结果 时移、反折和尺度变换的次序可任意调换 例： 尺度变换→反折→时移
f(t) 2
例１：已知f (t)的波形，求f (3-2t)的波形。 1 解：次序：尺度改变→反折→时移 1）尺度变换：f (2t) a=2
0 , 例： f (t ) cos t, t0 t0
时间：-∞< t <∞，连续变化 幅值：t <0 恒定=0 t >0 余弦，连续变化 t =0 间断点
间断点
定义： 有下列不等式成立
lim f to lim f to
0 0
左极限 右极限
系统的全响应： y(t ) T xt0 , f t 零输入响应： 零状态响应:
统 的 初 始 状 态 系
f (t )
x (t 0 )
yz i (t ) T x(t 0 ), 0
yz s (t ) T 0 , f t
线性系统的全响应:
3.能量信号与功率信号
信号在单位电阻上的瞬时功率： 信号在区间（-T,T )上的能量： 信号在区间（-T,T )上的平均功率 : 信号能量:时间区间(-∞, ∞)的能量E :
f t
2
f k
2
M 2
2
T
T
f t dt
T
f k
K
2
1 2T
T
f t dt
f t o lim f t 0
0
0
t0 在 则 连 续 信 t号 处 有间断点
f t 0 lim f t 0
0
间断点突变值
f t 0 f t 0
f t 0
间断点处的值
f t 0 f t 0 2
y(t ) yz i (t ) yz s (t)
线性系统特性
a.响应的分解特性： yzi ( t ) yzs ( t )
b.零状态线性:对输入信号呈线性： yzs( t )对输入信号呈线性
c.零输入线性:对各初始状态呈线性： yzi ( t )对各初始状态呈线性
三.非时变系统、因果系统
1.非时变系统(时不变系统)
２．连续信号的积分、微分 ● 积分：g t f d 意义：积分区间上曲线下覆盖的面积。
t
例 . 求 f ( t) 解:
g (t )
0 的积分 f t 1 0 t
t 1 1 t 1 t 1
1
f(t)
t
-1
2
f ( τ ) dτ
根据系统数学模型的差异,一般可分为两大类系统:
1.连续系统:输入和输出都是连续时间信号(微分方程). 2.离散系统:输入和输出都是离散时间信号(差分方程). 3.混合系统:连续系统与离散系统组合.
此外还可以分为：模拟系统、数字系统
f(t)
二. 线性系统
T
y(t)
激励:f ( t ),系统响应:y ( t )， { x ( t0 ) }:系统起始状态 y ( t )= T [ { x ( t0 ) }, f ( t ) ] 1.齐次性(均匀性) T [ a f ( t ) ] = a T [f ( t )] （a 为任意常数） 2.迭加性(可加性) T [ f 1( t ) + f 2 ( t ) ] = T [ f 1( t ) ] + T [ f 2 ( t ) ] 3.线性系统:同时满足齐次性和迭加性的系统
例：正弦序列 f k sin k : 正弦序列的角频率（序列值周期性重复变化的速率）
2 仅当 为有理数时，正弦序列才为周期函数
2.实信号与复信号 实信号：物理上可实现的信号，一般为时间实信号。 例： sin t ， e t 复信号：物理不能产生，用于数学分析 例：复指数信号 f t es t s j
t
-1 0 1
２．连续信号的微分、积分
df t 微分： dt
意义：波形的变化率（斜率）
0 t 0 f (t ) t 0 t 1 1 t 1
1
f (t )
例：求f(t)的导数 解：
t
0 1
df (t ) dt
0 t 0 df (t ) 1 0 t 1 dt 0 t 1
1
f (t-1)
t
0 1 2 -1 0 1
t
0 1 2
t
结论：t+b：波形在t时间轴上左移 b 个单位。 t-b：波形在t时间轴上右移 b 个单位。
k k m 离散信号同样适用 f k f k m
0 例： f k 2 k Ae
f (k)
A A
非时变系统
0 y ( t - t0 )
t
0 0
t
时变系统：系统的参数是时间 t 的函数，随时间 变化。 2.线性时不变系统的微分、积分特性（在零状态 条件下） 设 则
f(t) y( t )
d f (t ) dt
d y (t ) dt
t
f ( t )d t
t
y ( t )d t
3.因果系统
系统的参数是常数,不随时间变化。 零状态响应与输入信号作用的时刻无关。即： 若 yzs ( t ) T 0 , f t 则 y z s ( t t0 )
T 0 , f t to
0 f ( t - t0 ) f(t) y(t)
t
t
推广：在相同的起始 条件下，系统 的响应与输入 信号作用的时 刻无关。
t f (1 - ) 2
t
0 1 2 3
四.信号的分类
1.周期信号与非周期信号 连续周期信号：在 , 区间，每隔一定时间T，有 m = 0 , 1 , 2 ,… min( T ) =周期 f t f t mT 离散周期信号：每隔一整数K，有 f k f k mK m = 0 , 1 , 2 , … min( K ) =周期 非周期信号: 不满足以上条件的信号
1 0
t
1
注意：
如果一个时间信号有间断点， 那么从普通函数的概念来说， 在间断点处不存在导数。
这个问题以后讨论。
t t b f t b ３．信号的时移（平移） f t
0 例： f t t 1
f (t)
1 1
b0
t 1 t 1
f (t+2)
意义：时间信号的过去和将来可以对调 k 0 0 例：
f k k k 0
k 0 k 0
f(-k) f(k)
解：
0 f k k
k
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
５．信号的压缩与扩展（比例变换、尺度变换）
t at f t f at
k
三、信号的运算
１.加法、乘法： 信号同一时刻的值进行相加或相乘。
0 例１ x(t ) sin t t 0 t0
y(t ) sin t
t0 t0 t0 t0
sin t x(t ) y (t ) 0 0 x(t ) y (t ) 2 sin t
2
M 2
能量有限信号(能量信号) : 0 < E <∞
P=0
功率有限信号(功率信号) : 0 < P <∞ E =∞ 4.确知信号和随机信号
确知信号(规则信号):确定的时间函数(或序列)
随机信号:不能确定的或不可预知的信号.
§1.2
系统
一.系统模型 数学表示式 物理系统基本特性的数学抽象 数学符号合成图 例：电容的系统模型 1 t 数学表达式：uc (t ) i ( t )d t i(t) C
C uc(t)
数学符号合成图：
i(t)
1 C
uc(t)
一般的系统表示
f (t)
{ x( t0 ) }
y(t)
f1(t) f2(t) fp(t)
. . .
{ x( t 0 ) }
. . .
y1(t) y2(t) yq(t)
Hale Waihona Puke Baidu
(a)单输入/单输出系统
(b)多输入/多输出系统
系统的n个初始状态:{ x ( t 0 ) }={ x1 (t0) , x2 (t0), x3 (t0) , …,xn (t0) } 系统在任意时刻的响应: y(t)= T [ { x ( t0 ) }, f ( t ) ] T :系统的数学算子,输入与输出的关系; { x ( t0 ) }：可以看作为输入.
0
t 0 dt 0 t 1 t 1 0 dt 1 d t ＝ t 1 1 t 1 1 1 0 dt 1 1 d t t 0 d t 2 t 1 1 1
1 g(t)
k 0 k 0
k为整数
f (k+2)
A
f (k-1)
k
0 1 2 3 2 -1 0 1
k
0 1 2 3 4
k
结论：k + m :波形在k轴上左移m 个单位。 k – m :波形在k轴上右移m个单位。
t t f t f t k ４．信号的反折（反转） f k k f k
f(t)
例2：已知 f (t) 解： 1）尺度改变：
t 1 f( ) a 2 2
t f ( 1 ) 的波形，求 2
的波形。
-1
1
0
1
波形扩展2倍
t f (- ) 2
-1
1
t f( ) 2
2）反折：
t f ( ) 2
-2 -1 1
t
0 1 2
0
1
1
3）时移：
t 1 f (1 ) f [ (t 2)] 2 2
t
0 1 2 3
波形压缩2倍
f(2t) 2 1
2）反折：f (-2t) = f [2(-t)]
f (-2 t ) 2 1 -2 -1 0
t
0 1 2 3
t
f ( 3-2 t ) 2 1 0 1 2
3 3）时移：f 3 2t f 2 t 2
t
二、离散信号
定义：在离散的时间点上才有定义的信号。 特点：时间变量 t 是离散的。 t f t Ae 例： t = 0 , T , 2T , 3T, …… （其它值无定义）
f (t) A
t→kT
T=1
A
f ( k ) Ae αk
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 0 1 2 3 4 5 6 7 8
T [ a1 f 1( t ) +a2 f 2 ( t ) ] = a1 T [ f 1( t ) ] + a2 T [ f 2 ( t ) ]
4.非线性系统: 不满足迭加性或齐次性的系统。 线性、非线性系统的定义也适用于离散系统( t → k ) 5.零输入响应,零状态响应和全响应。
统 的 激 励 系统响应决定于 系
第一章
信号与系统
§1.1 §1.2 信号 系统
§1.1
信号
信号：运载信息的工具。 （信息：语言、音乐、图像、数据等)
时间信号：带有信息的一种随时间变化的物理量。
例：示波器观察到的电压波形
f (t ) 10cos t
自变量：时间t 。
(v)
峰值10v，周期T=2sec
一.连续信号
在连续的时间范围内有定义的信号 特点：时间变量 t 连续， 幅值允许有间断点
2
1 M
M 2 M 2
f k
2
2
K
M 2
T T
lim
T
f t dt
2
f k
信号功率:时间区间(-∞, ∞)上的平均功率P :
P lim 1 T T
T 2 T 2
f t dt
2
P lim
1 M M
K
M 2
f k
k ak f ( k ) f ( ak ) a 0
例：f t sin( t ) 解：f t sin( t ) 周期T = 2
f 2 t sin(2 t )
t f ( ) sin( t ) 2 2
f(t)
f(t/2)
T=1
t
0 1 2 3
T=4
f(2t)
结论： a 1 ，波形压缩 a 倍。 a 1 ，波形扩展 1/a 倍。
综合练习：
f t f at b
实质： 时移、反折、尺度变换的综合结果 时移、反折和尺度变换的次序可任意调换 例： 尺度变换→反折→时移
f(t) 2
例１：已知f (t)的波形，求f (3-2t)的波形。 1 解：次序：尺度改变→反折→时移 1）尺度变换：f (2t) a=2
0 , 例： f (t ) cos t, t0 t0
时间：-∞< t <∞，连续变化 幅值：t <0 恒定=0 t >0 余弦，连续变化 t =0 间断点
间断点
定义： 有下列不等式成立
lim f to lim f to
0 0
左极限 右极限
系统的全响应： y(t ) T xt0 , f t 零输入响应： 零状态响应:
统 的 初 始 状 态 系
f (t )
x (t 0 )
yz i (t ) T x(t 0 ), 0
yz s (t ) T 0 , f t
线性系统的全响应:
3.能量信号与功率信号
信号在单位电阻上的瞬时功率： 信号在区间（-T,T )上的能量： 信号在区间（-T,T )上的平均功率 : 信号能量:时间区间(-∞, ∞)的能量E :
f t
2
f k
2
M 2
2
T
T
f t dt
T
f k
K
2
1 2T
T
f t dt
f t o lim f t 0
0
0
t0 在 则 连 续 信 t号 处 有间断点
f t 0 lim f t 0
0
间断点突变值
f t 0 f t 0
f t 0
间断点处的值
f t 0 f t 0 2
y(t ) yz i (t ) yz s (t)
线性系统特性
a.响应的分解特性： yzi ( t ) yzs ( t )
b.零状态线性:对输入信号呈线性： yzs( t )对输入信号呈线性
c.零输入线性:对各初始状态呈线性： yzi ( t )对各初始状态呈线性
三.非时变系统、因果系统
1.非时变系统(时不变系统)
２．连续信号的积分、微分 ● 积分：g t f d 意义：积分区间上曲线下覆盖的面积。
t
例 . 求 f ( t) 解:
g (t )
0 的积分 f t 1 0 t
t 1 1 t 1 t 1
1
f(t)
t
-1
2
f ( τ ) dτ
根据系统数学模型的差异,一般可分为两大类系统:
1.连续系统:输入和输出都是连续时间信号(微分方程). 2.离散系统:输入和输出都是离散时间信号(差分方程). 3.混合系统:连续系统与离散系统组合.
此外还可以分为：模拟系统、数字系统
f(t)
二. 线性系统
T
y(t)
激励:f ( t ),系统响应:y ( t )， { x ( t0 ) }:系统起始状态 y ( t )= T [ { x ( t0 ) }, f ( t ) ] 1.齐次性(均匀性) T [ a f ( t ) ] = a T [f ( t )] （a 为任意常数） 2.迭加性(可加性) T [ f 1( t ) + f 2 ( t ) ] = T [ f 1( t ) ] + T [ f 2 ( t ) ] 3.线性系统:同时满足齐次性和迭加性的系统
例：正弦序列 f k sin k : 正弦序列的角频率（序列值周期性重复变化的速率）
2 仅当 为有理数时，正弦序列才为周期函数
2.实信号与复信号 实信号：物理上可实现的信号，一般为时间实信号。 例： sin t ， e t 复信号：物理不能产生，用于数学分析 例：复指数信号 f t es t s j
t
-1 0 1
２．连续信号的微分、积分
df t 微分： dt
意义：波形的变化率（斜率）
0 t 0 f (t ) t 0 t 1 1 t 1
1
f (t )
例：求f(t)的导数 解：
t
0 1
df (t ) dt
0 t 0 df (t ) 1 0 t 1 dt 0 t 1