高数第十一章例题与答案

n1
n
解
这里 an
(1)n1 n
因为 lim | an1 | lim n an n 1
所以幂级数的收敛半径
为 R1 即当|x1|1 即 0x2 时 幂级数收敛 当|x1|1 时幂级数发散
因为当 x0 时 幂级数成为 1 是发散的 当 x2 时 幂级数成为
n1 n
(1)n1 1 是收敛的 所以幂级数的收敛域为(0 2)
n1 2n 1
解 这里 un
1 2n 1
因为
并且
un1un(n1 2 )
lim
n
un
0
由莱布尼兹定理
知级数
(1)n1 收敛
n1 2n 1
又因为级数
(1)n1 |
|
1 是发散的 所以原级数是条件收敛的
n1 2n 1 n1 2n 1
3．会求幂级数的收敛半径、收敛域、和函数 会利用幂级数的性质(逐项
s(x) x nxn1 x (xn ) x( xn )
n1
n1
n1
故所求值为
x(x xn1 ) x(
x
)
x
,
n1
1 x (1 x)2
n s(1) a .
n0 an
a (a 1)2
例
7．
1 1 x2
展开成
x
的幂级数为
解 1
1
(x2 )n (1)n x2n
1 x2 1 (x2 ) n0
例 4．级数 (1)n (1 cos ) (常数 0)(
n1
n
)
(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 有关
解 | (1)n (1 cos ) | 1 cos ~ 1 2 (n)
n
n 2 n2
因为
| (1)n (1 cos ) |
lim
n lim
1 2 2 n2
n1
n
例 5．求幂级数 2n 1 x2n 的收敛域及和函数 s(x) n0 n!
解 因为
lim | 2n 3 x2n2 / 2n 1 x2n | lim 2n 3 1 x2n 0
n (n 1)!
n!
n 2n 1 n 1
所以幂级数的收敛半径为 R 收敛域为( ) 在收敛域内 有
复习五 无穷级数
1．理解级数的部分和及收敛性的概念 掌握几何级数、调和级数、p级数
的敛散性 会利用收敛级数的性质判断级数的敛散性
例 1．设级数 un 的通项 un 与部分和 Sn 的关系为 un
n1
1 Sn
且
lim
n
un
0
则
级数 un 的敛散性为
n1
(收敛 发散)
解
因为
lim
n
un
0
故
lim
n
Sn
n 1
(A)[1 1) (B)(1 1] (C)(1 1) (D)[1 1].
5. 判别级数的敛散性
(1) 3n sin
n1
2n
(2)
2n 1
n1 ( 2 ) n
(3)
n1 n2
n ln
n
(4)
ntan
n1
2n1
6. 判别级数是否收敛 是绝对收敛还是条件收敛
sin nx
(1)
n1
n 1
n 1
2．会利用比较判别法和值判别法判别正项级数的敛散性 会利用莱布尼茨
定理判别交错级数的敛散性 会判别一般项级数的绝对收敛性
例
1．判别级数
n1
3 (1)n 2n1
的敛散性
解 因为
un
3 (1)n 2n1
4 2n1
1 2n1
而级数
n1
1 2n1
收敛
由比较审敛法
所给级数收敛
例 2．判别级数 2n sin 的敛散性
求导和逐项积分公式)求某些简单幂级数的和函数及将简单函数展开成幂级数
会求简单数项级数的和
例 1．设幂级数 an xn (an0)在 x3 处条件收敛 则幂级数的收敛域为
n0
(
).
(A)(3 3) (B)[3 3) (C)(3 3] (D)[3 3].
解 选 B
例 2．幂级数 (1)n1 xn 的和函数 S(x)为(
n1
3n
例 3．设 0 an
1 (n 1, 2, ) n
则下列级数中肯定收敛的是(
)
(A) an
n1
解 因为
(B) (1)n an
n1
(C) an
n1
(D) (1)n an2
n1
| (1)n an2
|
an2
1 n2
而级数
1
n1 n2
是收敛的
所以 (1)n an2 绝对收敛
n1
显然当 x1 和 x1 时 幂级数都收敛 幂级数的收敛域为[1 1]
即
f (x)
(1)n x2n1
(1x1)
n0 2n 1
练习五
1 下列正项级数发散的是 (
).
(A)
1 n13n
2
(B) n 2 n1 2 n
(C)
1
n1 n2 1
(D) sin .
n1
2n
2 下列级数条件收敛的是 (
s(x) [
x
s(x) d x] [
1 x2n1]
0
n0 n!
[x
1 (x2 )n ] [x ex2 ] ex2 2x2 ex2
n0 n!
例 6．求常数项级数
n 的和
n0 an
解 设 s(x) nxn (1 x 1) 则原问题转化为求和函数在 x 1 处的值.
n1
a
而
n1
3n
解
2n sin
因为 lim
3n
而级数
(2)n 是收敛的
n ( 2)n
n1 3
3
所以由比较审敛法 级数 2n sin 也收敛
n1
3n
另解
因为 lim un1 n un
lim
n
2n1 2n
sin sin
3n1 3n
2
lim
n
3n1
3n
2 3
1
所以由比值审敛法 级数 2n sin 收敛
).
(A) (1)n1
n
(B) (1)n1
1
n1
n 1
n1
n 1
(C) (1)n n3 (D) (1)n1 2n .
2n
n1
n 1
n!
3 将 f (x) 1 展成 x 的幂级数为________ 则其收敛半径 R________. 1 2x
4 级数 (1)n nxn 的收敛域是(
).
2
n
1
n 1
2
n2
n2
而
1 是收敛的 所以 (1)n (1 cos ) 是绝对收敛的
n1 n2
n1
n
例 5．下列级数中绝对收敛的是(
)
(A) (1)n1
n1 n
(B) 1 n1 n
(C) n!
n1 2n
(D) (1)n1
n1 n2
解
因为 | (1)n1 | 1
因此 un 发散
n1
例 2．若级数 un 收敛 则下列级数中(
n1
)收敛
(A) (un 0.001) n1
(B) un1000 (C)
un
n1
n 1
(D) 1000
u n1 n
解 选择 B
级数 un1000 是 un 去掉前 1000 项后所得 与 un 敛散性相同 故收敛
n1 2 n
(2) (1)n1 2n
n1
n!
(3)
(1)n1
n1 ln(n 1)
7
求幂级数的半径和收敛域
(1)
n0
4n
x2n (n 1)2
8. 求幂级数的收敛域及和函数 s(x)
(2)
(1)n1 x n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
n
(1) nxn1
(2)
x 2n1
(3) (2n 1)xn
n1
n0 2n 1
n 1 n 4n
解
R lim |
an
(n 1) 4n1
| lim
4
n an1 n n 4n
当 x14 时 幂级数成为 (1)n 是收敛的
n1 n
当 x14 时 幂级数成为 1 是发散的 n1 n
所以收敛区间为 4x14 即5x 3
例 4．求幂级数 (1)n1 (x 1)n 的收敛域
n2
n2
而
1
n1 n2
是收敛的
所以 (1)n1 绝对收敛 n1 n2
例
6．判别级数
(1)n1
n1
1 2n1
sin
是否收敛 n 1
是绝对收敛还是条件收敛
解 因为
|
(1)n1
1 2n1
sin
n 1
|
1 2n1
而级数
1 收敛 所以原级数绝对收敛
n1 2n1
例 7．判别级数
(1)n1 是否收敛
是绝对收敛还是条件收敛
例 9．函数 f(x)arctan x 展开成 x 的幂级数 并指出收敛域
解
f (x) f (x) f (0)
x
f (x) d x
x
1
d x x (x2 )n d x
0
0 1 x2
0 n0
x (1)n x2n d x (1)n x2n1 (1x1)
0 n0
n0 2n 1
n0
例 8．函数 f (x) 3 展开成 x 的幂级数 并指出收敛域 2 x x2
解 f (x) 3 1 1 1 1 1 2 x x2 1 x 2 x 1 x 2 1 x / 2
xn 1
(1)n ( x)n
[1 (1)n
1 ]xn
n0
2 n0
2
n0
2n1
由1x1 及 1 x 1收敛域为(1 1). 2
n0
9 将函数 f (x) 1 展为 x 的幂级数 并求其收敛区间. x2
10 将 f (x) 1 展开为 (x 1) 的幂级数 并求出其收敛区间. 2 x
11. 求常数项级数的和
(1)
n0
n an
(a0)
(2)
n1
n 1 2n
n1
n
)
(A)sinx (B)ex (C) 1 (D)ln(1x) 1 x
解 S(x) S(0)
x
S (x) d x
x (1)n1 xn1 d x
x
1
d x ln(1 x)
0
0
n1
0 1 x
而 S(0)0 所以 S(x)ln(1x)
(1)n
例 3．求幂级数
(x 1)n 的收敛域