合肥万有引力与宇宙单元测试卷附答案

一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）

1．在太阳系外发现的某恒星a 的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b 的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ） A ．行星b 的第一宇宙速度与地球相同

B ．行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度

C ．如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的169

D ．行星b 与恒星a 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由

22Mm v G m R R

= 得

v =

M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为

v v 行地：=

故A 错误；

B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T

π

ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2

GM

g R =

，则 2

216

9

M R g g M R =⨯=行地行地地行：

则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16

9

，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力：

2

224Mm G m R R T

π= 得：

2

3

24GMT R π

= 则

22

b 332

2

0.310==360ab a R M T R M T 日日地地⨯ 则D 错误； 故选BC 。

2．中国火星探测器于2020年发射，预计2021年到达火星（火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离），要一次性完成“环绕、着陆、巡视”三步走。现用h 表示探测器与火星表面的距离，a 表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a 随h 变化的图像如图所示，图像中a 1、a 2、h 0为已知，引力常量为G 。下列判断正确的是（ ）

A ．火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度

B ．火星表面的重力加速度大小为a 2

C 1021

a a a -

D ．火星的质量为2

2

12

02

12a a h G a a

- 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据

22Mm v G m r r

= 知

GM

v r

=

轨道半径越大线速度越小，火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离，所以火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度，故A 正确； B ．分析图象可知，万有引力提供向心力知

2

Mm

G

ma r = r 越小，加速度越大，当h =0时的加速度等于火星表面的重力加速度大小，大小为a 2，故B 正确；

CD ．当h =h 0时，根据

12

0()Mm

G

ma R h =+

22

Mm

G

ma R = 得火星的半径

0R =

火星的质量

2

2

0h M G

=

故C 正确，D 错误。 故选ABC 。

3．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设两者的质量分别为m 1和m 2且12m m >则下列说法正确的是( )

A ．两天体做圆周运动的周期相等

B ．两天体做圆周运动的向心加速度大小相等

C ． m 1的轨道半径大于m 2的轨道半径

D ． m 2的轨道半径大于m 1的轨道半径 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】

A ．双星围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动，故两者周期相同，所以A 正确；

B ．双星间万有引力提供各自圆周运动的向心力有

m 1a 1=m 2a 2

因为两星质量不等，故其向心加速度不等，所以B 错误； CD ．双星圆周运动的周期相同故角速度相同，即有

m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2

所以m 1r 1=m 2r 2，又因为m 1＞m 2，所以r 1＜r 2，所以C 错误，D 正确。

故选AD 。

4．如图所示，卫星在半径为1r 的圆轨道上运行速度为1υ，当其运动经过A 点时点火加速，使卫星进入椭圆轨道运行，椭圆轨道的远地点B 与地心的距离为2r ，卫星经过B 点的速度为B υ，若规定无穷远处引力势能为0，则引力势能的表达式p GMm

E r

=-

，其中G 为引力常量，M 为中心天体质量，m 为卫星的质量，r 为两者质心间距，若卫星运动过程中仅受万有引力作用，则下列说法正确的是

A ．1b υυ<

B ．卫星在椭圆轨道上A 点的加速度小于B 点的加速度

C ．卫星在A 点加速后的速度为2

12112A B GM r r υυ⎛⎫=

-+ ⎪⎝⎭

D ．卫星从A 点运动至B 点的最短时间为()

3

121

1

1

2r r t r υ+=【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】

假设卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度为v 2．由卫星的速度公式GM

v r

=

知，卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度比卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时速度小，即v 2

2

GMm

ma r

=，可知轨道半径越大，加速度越小，则A B a a >，故B 错误；卫星加速后从A 运动到B 的过程，由机械能守恒定律得，

221211()()22A B GMm GMm mv mv r r +-=+- 得212

112()A B v GM v r r =-+C 正确；设卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时周期为T 1，在椭圆轨道运行周期为T 2．根据开普勒第三