几种常见函数的导数PPT教学课件

例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧几棱种常AD见垂函直数于导数底
(a
0, a
1)
若f (x) ln x,则f (x) 1 x
几种常见函数导数
棱锥、圆锥的体积
北京大峪中学高三数学组 2020年7月26日星期日
几种常见函数导数
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h 3、柱体体积公式的推导：
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
C’
3
1
A
B’
2
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C
B’ C
B
B
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几种常见函数导数
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
1
x2
1 2x
课本P88 用公式求解3个常用函数导数
公式三 (sinx)’=cosx 公式四 (cosx)’=-sinx
公式3: (sin x) cos x .
sin x
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
lim
x0
x
1.
证 : y f (x) sin x,y f (x x) f (x) sin(x x) sin x
的面积相等。
B
B
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’
A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
C’
3
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A
AA A
C
C CC C
CC
C
三棱B锥1、B2的B 底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
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几种常见函数导数
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
2.对数函数的导数:
(1)
(loga
x)
1 x ln a
(a
0, a
1).(2)
(ln x) 1 . x
3.指数函数的导数:
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
A’ A’ A’
1Sh
3
A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
B’ B’
22
B’
2
B’
2
B’
2
2
B’
B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’B’BC的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
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例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧几棱种常AD见垂函直数于导数底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？
A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
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3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
B θ
E
V三棱锥＝
1 3
S△B CD · AD
D
＝13
1
×2
BC
· ED
· AD
＝
1 3
×1
2
BC
· AEcosθ· AD
C
＝
1 3
S△AB
C
· ADcosθ
柱体体积公式的推导：
几种常见函数导数
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
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几种常见函数导数
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内，用平行于平面α的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2， 那么
(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
3.已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y (x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
2
1 27
2 27
小结： C’ = 0 (C为常数)
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
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例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧几棱种常AD见垂函直数于导数底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
C1n
x n 1x
C2n
xn2
(x)2
...
C
n n
(x)n
xn
C1n
x n 1x
C2n
xn2 (x)2
...
C
n n
(x)n
y x
C1n xn1
f '(x) (xn )'
第三章 导 数
一 导数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式
公式一 C’ = 0 (C为常数)
求函数y f (x) C的导数
证明: y f (x) C y f (x x) f (x) C C 0
y 0 x
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
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几种常见函数导数
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们
的底面积为S，高都是h
＋
S1h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
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几种常见函数导数
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把V三三棱棱锥锥＝113 以Sh△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
A’
3 C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
例2 求下列函数的导数：
(1)x sin t (2) y 2x
(3)
y
log
x 1
5
已知f(x)=xa ,且f(1)=-4,求实数a.
若f (x) ax ,则f (x) ax ln a(a 0)
若f (x) ex ,则f (x) ex
若f
(x)
log
x a
,
则f
(x)
1 x ln
a
１
A
2
B’
高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
△BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等
C（顶∵点V三都棱是柱＝A1）13
∵V1＝V2＝V3＝
1 3
Sh。
V三棱锥。
B
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
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几种常见函数导数
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B 北京大峪中学高三数学组 2来自百度文库20年7月26日星期日
几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
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几种常见函数导数
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B 北京大峪中学高三数学组 2020年7月26日星期日
几种常见函数导数
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’ B’
2
C’
3
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
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几种常见函数导数
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
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几种常见函数导数
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
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几种常见函数导数
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
C’
3
B’
2
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
sin x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
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定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’ A’ AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
导数的几何意义
f (x0 )表示曲线y f (x) y 在点M (x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T M
x0
x
过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
新课: 几种常见函数的导数
C
2 n
x
n2
x
lim y
...
C
n n
(x)n1
x0 x
nx lixm0[C1n xn1 C2n xn2x ... Cnn (x)n1]
n1
例：求下列函数的导数
x3 ' 3x31 3x2
1 x2
'
x2
'
2x21
2x3
2 x3
x
'
1
x2
'
1 2
1 1
x2
1 2