06_隐函数微分法

1
求导公式？
则方程 F ( X , u ) 0 在 U((X 0 )) 内唯一确定函数
u f ( X ) C ( U( X 0 ))
且 u0 f ( X 0 ) , F ( X , f ( X )) 0 .
定理 (隐函数存在定理)
设 1. F ( X , u) C1 (U(X 0 , u0 )) ；
u u v v , , , 。 求 x y x y
问题2
想想, 怎么做 ？
利用问题 1 的结论 , 你 可能已经知道应该怎么做 了. 分别将 x 或 y 看成常数
依葫芦画瓢哦 ！
问题2
想想, 怎么做 ？
请自己动手做
问题2
想想, 怎么做 ？
对方程组中的每个方 程关于变量 x 求导, 然后 解关于 u v 和 x x 的二元一次方程组. 问题2 将 y 看成常数
( F1 xyF2 0)
追加 30 秒.
30 秒完成.
请同学们运用点函数, 将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形.
现在对答案
定理 (隐函数存在定理)
设 1. F ( X , u) C1 (U(X 0 , u0 )) ；
2. F ( X 0 ) 0 ； 3. Fu( X 0 , u0 ) 0 ,
F xy ye , x
解
F xe xy , y
F 2 ez , z
故
F xy xy xe z xe y z z F 2e y e 2 z
(e 2 0)
z
例
设 F ( x y z, xyz) 0 确定 z z( x, y),
隐函数存 在的条件
则方程 F ( x, y, z ) 0 在 U((x0 , y0 )) 内唯一
确定一个函数 z f ( x, y) C1 (U(x0 , y0 ))
且 z0 f ( x0 , y0 ) , F ( x, y, f ( x, y)) 0 .
隐函数存在定理只是告诉我们在一定
第六节
隐函数的微分法
与一元函数的情形类似, 多元函数也有隐函数.
隐函数(二元)的概念
如果在方程式 F ( x, y, z ) 0 中,
( x, y) R 时, 相应地总有满足
2
该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方
程在 内确定隐函数 z f ( x, y) .
注意, 隐函数不一定都能显化.
设 F ( x, y) 0 确定隐函数 y f (x) . 若 F ( x, y) C1 , 则对方程 F ( x, y) 0
两边关于 x 求导, 得
F F d y 0 x y d x
从而得到一元隐函数求导公式
F dy x F dx y F ( 0 ) y
dx
其中

( F , G) ( y, z )
F z G z
,
dx

( F , G) ( y, z )
F ( F , G ) y G ( y, z ) y
.
F ( F , G ) x G ( x, z ) x
,
F ( F , G ) y G ( y, x) y
( F , G) 当 0 时, (u , v)
( F , G) u ( x, v ) ( F , G) x (u, v)
问题2 将 y 看成常数
( F , G) 当 0 时, (u , v)
( F , G) v (u , x) ( F , G) x (u , v)
F1 x1 F1 x2 F2 x2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F1 xn F2 xn

F2 x1

Fn x1

Fn x2

Fn xn
当所出现的函数均有一阶连续偏导时, 雅可比行列式有以下两个常用的性质： 1.
(u1 , u2 , , un ) ( x1 , x2 ,, xn ) 1. ( x1 , x2 , , xn ) (u1 , u2 ,, un )
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。
三. 由方程组确定的 隐函数的求导法
为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形, 我们首先要介绍雅可比行列式.
雅可比行列式
设 ui Fi ( x1 , x2 ,, xn ) C1 (), (i 1,2,n)
(u1 , u2 ,, un ) ( F1 , F2 ,, Fn ) 雅可比行列式记号 J ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 , x2 ,, xn )
将概念推广到一般情形
如果在方程式 F ( X , u ) 0 中,
X R 时, 相应地总有满足该
n
方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 在 内确定隐函数 u f (X ) .
X ( x1 ,, xn )
一. 一元函数的 隐函数的求导法
利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
确定函数 z z (x) , y y(x) ,
dy dz 求 。 , dx dx
问题1 想想, 怎么做 ？
方程组中每个方程两边关于 x 求导：
F F d y x y d x G G d y x y d x
2. F ( X) 0 ； 0F , u F ( X xi u ) 0 , 3. 0 0 (i 1, 2, , n) u F xi 则方程 F ( X , u ) 0 在 U((X 0 )) 内唯一确定函数 u 求导公式 1 u f ( X ) C ( U( X 0 )) 且 u0 f ( X 0 ) , F ( X , f ( X )) 0 .
多元隐函数 的导数
一个方程确定 的隐函数
方程组确定 的隐函数
二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法
定理 (隐函数存在定理)
设 1. F ( x, y, z) C1 (U(x0 , y0 , z0 )) ; 2. F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; 3. Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ,
z z , 其中, F C1. 求 , x y F F1 yzF2 , x F F F1 xyF2 , F1 xzF2 , z y
解
故
F1 yzF2 z F1 xyF2 x
F1 xzF2 z F1 xyF2 y
的条件下隐函数存在、唯一、可导 , 但没
有告诉我们求隐函数偏导数的方法 . 怎么 求隐函数的导数呢 ?
由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法,
对方程 F(x, y, z) = 0 两边关于 x , y 求偏导, 得
F F z F F z 0 0, y z y x z x
例
dy . 设 xy 2 2 0 , 求 dx
x y
解
令 F ( x, y) xy 2 2 , 则
x y
F y 2 x ln 2 , x
F x 2 y ln 2 y
( x 2 y ln 2 0 )
故
F x dy x y 2 ln 2 y F x 2 ln 2 dx y
故
F xy xy ye z x ye z z F x e 2 2e z
(e 2 0)
z
例
求方程 e
xy
2 z e z 0 所确定的
函数 z z ( x, y ) 的偏导数. 令 F ( x, y, z ) e xy 2 z e z , 则
问题2 将 x 看成常数
( F , G) 当 0 时, (u , v)
高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
（三）
多元微积分学
第一章 多元函数微分学
教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平
第一章 多元函数微分学
本章学习要求：
1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系。
因为 F ( x, y, z) C1 (U(x0 , y0 , z0 )) , Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 , 由连续函数性质 U((x0 , y0 )) , 在其中 Fz( x, y, z ) 0 , 故
F z x F x z
,
公 式
F z y . F y z
F d y F y d x z G d y G y d x z
F d z 0 z d x
移项, 得
G d z 0 z d x
dz F dx x
G dz x dx
运用克莱满法则解此二元一次方程组
( F , G) 0 时, 方程组有唯一解： 当 ( y, z ) ( F , G) ( F , G) ( x, z ) ( y, x) dy dz
(u1 , u2 ,, un ) (t1 , t 2 ,, t n )
2.
复合函数情形
(u1 , u2 ,, un ) ( x1 , x2 , , xn ) . ( x1 , x2 ,, xn ) (t1 , t 2 , , t n )
设 F , G C1 , 方程组
F x G x
,
F z G z
我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏 导数的公式(之一).
设 F , G C1 , 方程组
F ( x, y , u , v ) 0 G ( x, y, u, v) 0
确定函数 u u ( x, y) , v v( x, y) ,
问题2 将 y 看成常数
对方程组中的每个方 程关于变量 y 求导, 然后 解关于 u v 和 y y 的二元一次方程组. 问题2 将 x 看成常数
( F , G) 当 0 时, (u , v)
( F , G) u ( y, v) ( F , G) y (u, v)
例
求方程 e
xy
2 z e z 0 所确定的
函数 z z ( x, y ) 的偏导数. 令 F ( x, y, z ) e xy 2 z e z , 则
F xy ye , x
解
F xe xy , y
F 2 ez , z