高等数学知识点归纳

第一讲: 极限与连续

一. 数列函数: 1. 类型:

(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:

(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0

()(),

x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =

(6)参式(数一,二): ()

()x x t y y t =⎧⎨=⎩

(7)变限积分函数: ()(,)x

a

F x f x t dt =

⎰

(8)级数和函数(数一,三): 0

(),n

n n S x a x

x ∞

==∈Ω∑

2. 特征(几何):

(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: 1

1()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=

二. 极限性质:

1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞

(含x →±∞); *0

lim ()x x f x →(含0x x ±

→)

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型:

000,,1,,0,0,0∞

∞∞-∞⋅∞∞∞

4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

11n n →1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n

n

n n

a b c a b c ++→, ()00!

n

a a n >→

1(0)x x

→→∞, 0lim 1x

x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0

lim ln 0n

x x x +

→=, 0,

x

x e x →-∞

⎧→⎨+∞→+∞

⎩ 四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当()0u x →时,

sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ; 2

11cos ()

()2

u x u x -;()1()u x e u x -; ln(1())

()

u x u x +(1())1()

u x u x αα+-arcsin ()()

u x u x

arctan ()()u x u x

2. 泰勒公式:

(1)2211()2!x

e x x o x =++

+; (2)221

ln(1)()2x x x o x +=-+; (3)341sin ()3!x x x o x =-+; (4)245

11cos 1()2!4!

x x x o x =-++;

(5)22(1)(1)1()2!

x x x o x α

ααα-+=+++.

五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,

,1,0M α∞

∞∞

(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞);

(2)变量代换(如:

1t x =) 1. 抓大弃小()∞

∞

, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin 1,x x

≤→∞) 3. 1∞

处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):

(1)1(0)x x

→; (2)()x

e x →∞; 1

(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则

(1)先”处理”,后法则(00

最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x

x →-)

(2)幂指型处理: ()

()ln ()

()

v x v x u x u x e

=(如: 111111

1(1)x x x x x

e

e e e

-++-=-)

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞

=(⇒分段函数)

六. 非常手段 1. 收敛准则:

(1)()lim ()n x a f n f x →+∞

=⇒

(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →

(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >

2. 导数定义(洛必达?): 00lim

'()x f

f x x

→=

3. 积分和: 10112lim [()()()]()n n

f f f f x dx n n n n

→∞+++=⎰,

4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞

→+∞

+-=

5. 级数和(数一三):

(1)1

n n a ∞

=∑收敛lim 0n n a →∞

⇒=, (如2!

lim n n n n n →∞)

(2)121

lim()n n n n a a a a ∞

→∞

=++

+=∑,

(3){}n a 与

11

()n

n n a

a ∞

-=-∑同敛散

七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →

(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!

n

n n

a a f x x x x n n α=

+ (2)

()x

x

n f t dt

kt dt ⎰

⎰

2. 渐近线(含斜):

(1)()

lim

,lim[()]x x f x a b f x ax x

→∞→∞==-()

f x ax b α⇒++

(2)()f x ax b α=++,(1

0x

→)

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性)

八. [,]a b 上连续函数性质