重刚体绕固定点转动的解
刚体绕定轴转动 力矩讲解
刚体绕定轴转动力矩讲解刚体绕定轴转动是物理学中的一个基本概念，它与我们日常生活紧密相关。
在机器运转、车辆行驶、球类运动、人体姿势等方面都具有重要作用。
力矩的计算可以帮助我们更好地理解刚体转动的规律和特点，以及如何减小运动过程中的摩擦损失。
一、力矩的定义力矩是刚体绕定轴转动的一个重要物理量，表示力对于转动物体的影响程度。
换句话说，力矩代表了力对于旋转的影响。
力矩的定义为力乘以力臂，即M=F×L。
其中，F是施加力的大小，L是施力部分到轴的垂直距离。
力矩的单位是牛·米(N·m)。
二、力矩方向力矩的方向是垂直于力臂和力的平面。
当施加的力垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向相同。
当施加的力不垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向不同。
例如，当我们开车向左转时，发动机产生的推力作用在车轮上，车轮又通过车轴作用于车身。
此时，车身受到的偏向右侧的推力会以一个垂直于车身和推力平面的方向，产生一个向右的力矩，从而使车身向左旋转。
三、力矩对转动过程的影响力矩的大小和方向直接影响物体旋转的速度和方向。
如果力矩的大小越大，则物体越容易旋转，转动速度也会更快。
反之，如果力矩的大小越小，则物体旋转的速度会变慢，甚至停止旋转。
此外，力矩的方向也会影响物体旋转的方向。
例如，在21世纪以前，人们使用手摇脚踏车等交通工具，脚踩的力矩与轮子的直径就影响了车速。
当轮子的直径越大时，给定的力就可以产生更大的力矩，从而可以更快地旋转轮子，提高车速。
四、力矩对弹性和耗能的影响刚体转动过程中，摩擦力和阻力都会抵消物体的动能，从而减缓物体的运动速度。
为了减小耗能，可以通过减小力矩的大小来实现。
另外，灵活的物体，在旋转过程中会变形，因此会有一部分弹性势能被储存，当刚体停止或者倒转时，则会释放出来，从而重复利用能量。
例如，在儿童玩具模型飞机中，弹性势能的利用充当了关键角色。
当人们给玩具模型飞机的机翼打入动能时，机翼会以某个角度形变，蓄储弹性势能。
§5.2-力矩---刚体绕定轴转动微分方程
的切向加速度，质元沿
法向运动的科里奥里加
i
i
速度（定轴转动刚体没 有这种运动）
圆周轨迹切线投影
Fi fi miai
同乘以 ri
Fi ri fi ri miai ri miri2β ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
力 Fi
力 fi
miai
圆周轨迹切线投影
同乘以 ri
Fi fi miai Fi ri fi ri miai ri miri2β
ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
§6.1 力矩
一. 力矩
力
?
加速度 角加速度
质点运 动状态 的改变
转动刚体 状态的改
变
刚体绕定轴转动微分方程
z
F//
F
hr
M z (F ) F r
F F Fn
Fh
力矩是代数量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二. 刚体定轴转动微分方程
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm m dx
l
dm 重力矩 dM gdm x cos
O
ml
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
刚体转动的物理原理
刚体转动的物理原理
刚体转动是指刚体围绕固定轴线的旋转运动。
对于一个刚体，其旋转运动的物理原理可以通过以下几个方面来解释：
1. 转动惯量：刚体的转动惯量代表了刚体围绕轴线旋转时对转动的惰性。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布和绕轴线的位置有关。
转动惯量越大，对于同样的转动力矩，刚体转动的角加速度越小。
2. 转动力矩：刚体转动时，如果施加一个力矩以改变刚体的角动量，刚体就会产生角加速度。
转动力矩是指力在刚体上产生的旋转效果，它的大小等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是力相对于轴线的垂直距离。
3. 角动量守恒：在没有外力或外力作用力矩为零的情况下，刚体的角动量守恒。
刚体的角动量是指刚体沿轴线旋转时的动量，它等于刚体转动惯量乘以角速度。
角动量守恒意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力或外力矩的作用，角动量保持不变。
4. 角动量定理：角动量定理描述了刚体转动时角动量的变化率等于作用在刚体上的外力矩。
即角动量的变化等于力矩的时间积分。
这个定理可以用来分析刚体在外力矩作用下的角加速度和角速度变化。
总之，刚体转动的物理原理主要涉及转动惯量、转动力矩、角动量守恒和角动量
定理等概念，通过这些原理可以解释和描述刚体转动的运动规律。
刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。
刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。
动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。
2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。
转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。
角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。
刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。
3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。
我们来考虑刚体上某一质点的动能T。
由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。
设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。
该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。
由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。
将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。
刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。
这就是刚体绕定轴转动的动能定理。
4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。
刚体绕定轴转动的转动定律
刚体绕定轴转动的转动定律《刚体绕定轴转动的转动定律：一场奇妙的物理之旅》嘿，小伙伴们！今天咱们要来聊一个超级有趣的物理知识，那就是刚体绕定轴转动的转动定律。
你可能会想，这听起来好复杂呀，就像一团乱麻似的。
可是呀，等我给你细细讲来，你就会觉得它像一个好玩的游戏一样。
我记得我第一次听到这个概念的时候，脑袋里就像装了一团浆糊。
我就跑去问我的物理老师。
老师笑着说：“想象一下，刚体就像一个特别结实、不会变形的大圆盘，绕着一个固定的轴在转动，就像咱们教室的门绕着门轴转动一样。
”我听了，眼睛一下子就亮了。
我就说：“那这个转动有啥特殊的规律吗？”老师就开始给我讲这个转动定律。
在这个奇妙的刚体转动世界里，有个很重要的东西叫力矩。
力矩是啥呢？就好比是推动刚体转动的力量。
我当时就想，这和我推东西有啥区别呢？老师就说：“你推一个小盒子在地上走，是让它平动。
可是力矩呢，是让刚体绕着轴转起来的特殊力量。
”我还是有点迷糊，我就拉着我的好朋友小明一起讨论。
我跟小明说：“这个刚体绕定轴转动的转动定律，就像一场神秘的魔法。
”小明说：“啥魔法呀？我都快被这个搞晕了。
”我就学着老师的样子说：“你看啊，力矩就像魔法棒，它越大，刚体转动得就越快，就像魔法棒的力量越大，变出来的魔法就越厉害一样。
”小明眼睛眨巴眨巴的，好像有点懂了。
那这个转动定律到底是怎么回事呢？其实呀，转动定律说的是，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量和角加速度的乘积。
这时候我又迷糊了，转动惯量又是啥呢？老师说：“转动惯量就像是刚体自己的一种特性，它决定了刚体有多难被转动起来。
就好比是一个大胖子和一个小瘦子，要让大胖子转起来肯定比小瘦子难，这个大胖子就有更大的转动惯量。
”我和小明就开始做一些小实验。
我们找了一些小物件，试着让它们绕着一个小棍转动。
我们发现，那些重的东西，而且离转动轴远的，真的很难转动起来。
我就说：“哎呀，这个就像大货车的轮子，又大又重，要让它转起来得多费劲呀。
工程力学—刚体定轴转动微分方程
例2 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对 轴O的转动惯量。
O
解： I O IOA I AB
l
2l
A
B
2l
1 ml2 1 (2m)(2l)2 (2m)( 2l)2 3 12
5ml2
举例如下:
例3 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为I，带动滑轮
的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度 。
y
miri ri MZ (Fi ) MZ (Fi'
miri ri MZ (Fi ) MZ (Fi'
Fy2 x Fx2
miri2 MZ (Fi ) 令 Iz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转 动惯量, 于是得
IZ MZ (Fi )
或
d
Iz dt Mz (F)
d2
因此在谈及转动惯量时必须指明它是对哪一轴的转动惯92刚体对轴的转动惯量921简单形状物体的转动惯量板分为无数同心的薄圆环任一圆环的质量为dmr2prdr在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量其定义为回转半径的几何意义是
9 刚体绕定轴转动的微分方程
• 刚体绕定轴转动的微分方程 • 刚体对轴的转动惯量
dt
dt
即
I d k d
将上式求定积分，得
0
2 I d k d
0
0
转过的角度为
0
I 2k
0
因此转过的转数
n 0 I0 2p 4p k
例6 如图所示，啮合齿轮各绕定轴
O1、O2转动，其半径分别为r1、r2， M 质量分别为m1、m2，转动惯量分别
O1r1
r2 O2
为I1、I2，今在轮O1上作用一力矩M，
9.2 刚体对轴的转动惯量
欧拉转动定理解释欧拉盘
欧拉转动定理解释欧拉盘
欧拉转动定理是一个当今物理学科中广泛使用的定理，该定理与
欧拉盘有着密切的关系。
在本篇文章中，我将分步骤详细介绍欧拉转
动定理，并解释欧拉盘的工作原理是如何基于此定理实现的。
首先，欧拉转动定理是描述一个刚体绕固定点转动时角动量守恒
的定理。
这个定理的数学公式为：
L = Iω
其中L代表角动量，I代表刚体的惯性矩，ω代表角速度。
这个
方程表明，在一个刚体绕一个固定点转动时，其角动量始终保持不变。
接下来，我们来看看欧拉盘的工作原理。
欧拉盘是一种经典的物
理实验仪器，用于研究刚体的运动学和动力学。
基本的欧拉盘由一个
旋转平台和几个附在平台上的轴组成。
在实验中，人们可以控制平台
和轴的角速度和角加速度，并观察刚体的运动。
欧拉盘的工作原理基于欧拉转动定理。
在欧拉盘中，旋转平台代
表着一个固定点。
刚体附在平台上的轴代表着刚体的运动，当刚体绕
轴旋转时，其角动量始终保持不变。
另外，由于欧拉盘可以控制平台
和轴的运动，人们可以通过实验探究刚体的运动规律和物理特性。
总的来说，欧拉转动定理是解释欧拉盘工作原理的基础，而欧拉
盘则是一个用于研究刚体运动学和动力学的物理实验仪器。
欧拉盘不
仅让我们更深入地理解了欧拉转动定理，而且在物理实验教学中也起
到了重要的作用。
希望本文能够让读者更好地理解和掌握这一重要的
定理和实验。
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
第二节 刚体定轴转动的动力学方程
F//
1. 力矩
F
力F 对z 轴的力矩 力F 在垂直于轴的平面内
M z Fd F r sin Fτr
力不在垂直于轴的平面内
dr
θ
F
P Fn
FF
M z Fd Frsin Fτr
若力 F F 也作用在P点上．
则力矩大小相等，效果不同．
力对定轴 力矩的矢量形式 M Z r F
GC F’T2 FT2
求 两物体的线加速度和水平、竖直两段绳索的张力
mB B
解 以mA ， mB ， m C为研究对象, 受力分析
物体 mA： FT1 mAaA
物体 mB ：mB g FT 2 mBaB
滑轮
mC
：FT2R
FT1R
J
1 2
mC R2
aA aB a
FT1 FT1 FT 2 FT2
J dJ R 1(r2 dx) r2 02
R R2 x2 2 dx 2 mR2
2 R
5
x
r
dx x o
R
dJ 1 dm r2 2
转动定律的应用举例
基本方法和步骤
分析力，确 定外力矩
列出转动定律和牛 顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
a R
GB
a mBg
mA
mB
1 2
mC
FT1
mA
mAmB g
mB
1 2
mC
FT
2
mA
mA
1 2
mC
mB
mB g
第七章欧拉方程
I1x ( I 2 I 3 ) y z M x I 2 y ( I 3 I1 )z x M y I ( I I ) M 3 z 1 2 y x z
欧拉动力学方程
I1x I 2 I3 yz M x I3z I1 I 2 xy M z
I 2y I3 I1 zx M y
机械能守恒
1 2 2 2 I1 x I 2 y I 3 z V E 2
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
M
R
P
r
O
2.加速度
dv d a r r dt dt
转动加 速度 向轴加 速度
d a r r 2 r dt d a aA r r 2 r dt
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ M dt
将坐标系固联于刚体，则
J J xi J y j J z k
但
dJ J xi J y j J z k J dt
为什么？
取惯量主轴为坐标轴，有
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力 学方程。
简述刚体转动定律
简述刚体转动定律刚体转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理定律。
在刚体转动过程中，有三个关键定律对于描述和解释刚体的转动运动非常重要，它们是转动惯量定理、角动量定理以及角动量守恒定律。
1.转动惯量定理：转动惯量（或称为转动惯性）是描述刚体绕轴旋转惯性的物理量，用字母I表示。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量定理指出，刚体绕一个固定轴的转动惯量等于质量分布关于轴线的积分：I = ∫r^2 dm其中，r是质量元素dm到轴线的距离。
对于均匀杆的转动惯量，可以使用以下公式计算：I = 1/12 * mL^2其中，m为杆的质量，L为杆的长度。
2.角动量定理：角动量是描述刚体转动状态的物理量，用字母L表示，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
L = I * ω其中，ω为角速度，即刚体绕轴旋转的每秒角度变化量。
角动量定理指出，当刚体受到外力矩作用时，角动量的变化率等于外力矩的大小和作用时间的乘积：τ = dL/dt其中，τ为外力矩，即力矩的角动量。
3.角动量守恒定律：角动量守恒定律是指刚体绕固定轴转动时，如果物体不受到外力矩的作用，则角动量保持不变，即角动量守恒。
L1 = L2其中，L1和L2分别是刚体在转动过程中的初态和末态的角动量。
根据以上三个定律，可以得到一些关于刚体转动的重要结论：1.转动惯量与物体的质量分布有关，质量分布越集中，转动惯量越小；质量分布越分散，转动惯量越大。
2.角动量与转动惯量和角速度的乘积成正比，如果转动惯量越大，角速度越小，那么角动量也会越小。
3.当物体受到一个外力矩的作用时，物体的角动量会发生变化，且变化的速率与作用力矩的大小和作用时间的长度有关。
4.如果刚体不受外力矩作用，则刚体的角动量守恒，即刚体的角动量保持不变。
5.刚体转动的动能与转动惯量和角速度的平方成正比，转动惯量越大，角速度越小，刚体的转动动能也会越小。
以上是关于刚体转动定律的简要说明。
刚体转动定律在物理学中具有重要的意义，能够帮助我们理解刚体绕轴旋转的运动规律，并应用于工程、天文和机械等领域。
38刚体绕固定点的转动汇总
也可得到同样的结果。
8
3.8.1 定点转动运动学
例题 解法二
解法二：视碾轮做一般运动，选择轮心A为基点
vP ? vA ? Ω ? AP 注意：仍是总角速度
aP
?
dvP dt
?
aA
?
dΩ dt
?
AP ?
Ω?
d AP dt
? aA ? (ω1 ? Ω) ? AP ? Ω ? (Ω ? AP )
其中
aA
?
dvA dt
?
?? ce?x ?
??
2 ce y
9
3.8.2 欧拉动力学方程
对转动定点O的动量矩定理 dJ ? M
(1)
dt
以定点O为原点建立主轴坐标系
M ? M zez ? M zez ? M zez
(2)
J ? I1? xex ? I 2? ye y ? I3? zez
dJ dt
?
I1??xex ? I2??yey ?
求轮缘上任一点的速度和加速度.
ω1
O
c
b
B
A ω2
分析：碾轮连同其水平轴OA, 整体在做定点转动，
转动定点为O. 公转角速度 和ω自1 转角速度 的ω2
方向交于定点O，可合成为总角速度。
4
3.8.1 定点转动运动学
例题 分析
Ω
ω1
O
c
ω2
b
A
B
D
已知碾轮做纯滚动，故与地面接触点D的速度 为零，于是DO连线方向即转动瞬轴方向，也
3.8 刚体绕固定点的转动
3.8.1 定点转动运动学
质点P的速度 v ? dr ? ω ? r ， r ? OP
刚体转动欧拉方程
刚体转动欧拉方程刚体的转动运动可以由欧拉方程来描述。
欧拉方程描述了刚体绕固定点的转动运动，其中包括刚体的转动惯量、角速度和力矩等因素。
欧拉方程的表示形式可以根据不同的坐标系和转动类型而有所不同，下面我将分别介绍三种常见的欧拉方程。
惯性主轴系的欧拉方程：在惯性主轴系中，刚体的转动惯量对角度的影响被消除，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 -(I_2 -I_3) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 -(I_3 -I_1) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 -(I_1 -I_2) \omega_1 \omega_2 = M_3] 其中，(I_1, I_2, I_3) 分别为刚体绕三个坐标轴的转动惯量，(\omega_1, \omega_2, \omega_3) 分别为刚体绕三个坐标轴的角速度，(M_1, M_2, M_3) 分别为绕三个坐标轴的力矩，(\dot{\omega}_1, \dot{\omega}_2, \dot{\omega}_3) 分别为角速度的时间导数。
本体固定坐标系的欧拉方程：在本体固定坐标系中，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 -I_2) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 -I_3) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_1 \omega_2 = M_3]空间固定坐标系的欧拉方程：在空间固定坐标系中，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 -(I_2 -I_3) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 -(I_3 -I_1) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 - (I_1 - I_2) \omega_1 \omega_2 = M_3]这些欧拉方程描述了刚体转动运动中角速度、转动惯量和力矩之间的关系，对于研究刚体的转动运动具有重要的理论意义。
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
3-2 刚体的定轴转动定理
一个质量为M、半径为R的定滑轮 例１、一个质量为 、半径为 的定滑轮 （当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 的 定轴 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度 时的速度和此时滑轮的角速度。 止下落高度 时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
R
角加速度为常量，且与 的方向相反， 角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
ω = ω 0 + αt
当圆盘停止转动时， 当圆盘停止转动时，ω=0，则得 ，
t=
− ω0
α
3 Rω 0 = 4 µg
二、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型 1.已知转动惯量和力矩，求角加速度； 已知转动惯量和力矩， 已知转动惯量和力矩 求角加速度； 2.已知转动惯量和角加速度，求力矩； 已知转动惯量和角加速度， 已知转动惯量和角加速度 求力矩； 3.已知力矩和角加速度，求转动惯量。 已知力矩和角加速度， 已知力矩和角加速度 求转动惯量。 解题步骤 1.确定研究对象； 确定研究对象； 确定研究对象 2.受力分析； 受力分析； 受力分析 3.选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系 4.列运动方程； 列运动方程； 列运动方程 5.解方程； 解方程； 解方程 6.必要时进行讨论。 必要时进行讨论。 必要时进行讨论
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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但 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡.
3. 能量守恒
1 1 1 2 2 2 E T J ( I 1 x I 2 y I 3 z ) c2 2 2 2
另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 （1）对称刚体
地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力）
定性解释:
z
y
M
z
J
y
x
Jz
x
J
Jy
Jy 进动
x
重力作用
J 守恒
三. 回转效应 ( 快速陀螺 ) 特点: 绕刚体对称轴高速旋转(自转), 受到外力矩(如 重力) 会进动 (章动很小) .
1. 炮弹的旋进: 斗 空气阻力矩使炮 弹 进动.而不是“翻筋 ” .
2. 回转力矩：
dk k , k 是常模矢量）， 而： dt M l F sin(l ,F ) 1 lF . 即: F I 3 I 3 l
说明： 1.
在xoy 平面上的投影在运动过程中大小不变,始终为 0 2 2 W 0 , 绕对称轴 z 转动.
在 xoy 平面以
2
0
为半径画出一个圆.
I 3 I1 W 2. 绕对称 z 轴的角速率为: n I1
轴是地球自转的转动瞬轴（称为 天文地轴 ）.
x tan ctg( nt ) y ( nt )
I 1 I3 n W I1 2
讨论:
1.
在 z 轴方向（地球对称轴 地理地轴方向）.
地球的自转速率:
cos ; z W
2. 在 轴方向（ J 方向）. 规则进动 方向. 瞬轴方向, 绕 z 轴的角速率为: n 3.
(1) (2) (3)
W J cos 常量 ( 0) Jz I3 z I3 0
2 x
2 2 2 2 sin y 0 常量（进动）
cos 常量（自转） z
再由(1）、(2）式：
（地球自转轴 天文地轴方向）
4. 在静系看，z 轴 绕 轴进动，角速率为
.
J x I 1 x I 1 0 cos( nt ) J y I 2 y I 1 0 sin( nt ) J J cos (常 量) z I3 z
dJ dJ dk M , I 3 dt dt dt
J I 3 k
故: 轮船不宜急转弯（ 很大）,以免附加压力过大, 损坏 涡轮机轴承.
3. 回转罗盘:
§3.9 重刚体绕固定点转动的解
目前只有三种情况可解. 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用. 一. 欧勒—潘索情况 （刚体的自由转动）无外力矩的定点转动 特征:
1.固定点为重心. M 0. 如回转仪，地球自转，分子转动.
2. 角动量守恒. J 恒矢量 （即进动轴方向始终不变）
2 2 2 2 2 2 J 2 J J I1 x I 2 y I 3 z c1 (常量)
p
对 轴的力矩为零:
1、2、3 + 欧勒运动学方程可解出：
2 2 ( sin ) s I1 I 3 2( E mgl cos ) 2 I 1 sin I 3 s cos 2 2
cos s
特征： 刚体的惯量椭球是旋转椭球（ I 1 I 2 且重心在转轴上（即对称轴为转轴）
I3 ）
o 系. K // 静系： 力矩 (动系): i j M lk ( mgK ) mgl 0 0
k
动系：固定在刚体的主轴坐标系（ o
xyz 系）
动系， I 1 I2 I 3 z W 常量
对称轴必是惯量主轴 ，取为 z 轴，则与 是惯量主轴（因 I1 = I2 ）.ຫໍສະໝຸດ .z 的任意直线都
由欧勒动力学方程（P.210 ), 得:
x ( I 2 I 3) y z 0 I1 y ( I 3 I 1) z x 0 I 2
相应地天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象.
I1 地 球： 300 W 2 / 天 T 300天 I 3 I1 实际观测值： T 425 ~ 440天
差别原因：1、地球是非刚体; 2、地球引力不过地心; 3、太阳、月球引力不可忽略.
J
J
z
x
I1 I 3 情况
d
O' , P点重合, J // , 为常量. 当绕对称轴转动时，
.
为常矢量, 本体极迹和空间极迹缩为一点,刚体动平衡. 2.
3. 重刚体绕质心的运动（自由转动），等于中心惯 量椭球在不变平面上的纯滚动. . 4. 动平衡的稳定性： 最大或最小的惯量主轴是稳定转动轴.
二. 拉格朗日 — 泊松情况（回转仪，陀螺）
2 2 J x J y I1 0 2 2
说明:
J 在 xoy 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看，
J 绕对称 z 轴以角速度 n 旋转.
( 2 ）非对称刚体
I1 I 2 I 3 ,
一般情况：用潘索几何法分析.
取惯量主轴为动坐标系. 定 点O为惯量主轴交点(中心)
2 有：I 1 x I 2 y I 3 z 1 2 2
o
J守 恒
OP 为转动瞬轴方向,
为P 点（极）的切面. 可证明： J 不变平面，且 OO' = d 常量. P点速度为零，OP 为转动瞬轴.
OP 在和椭球相连的刚体上画出本体极面，
在平面上画出空间极面.
结论： 1.
J 2T 2T J （常量）， OO d J J J J J I 2 2T J
2. 随
I 3 s , x cos
x
I 1 (1 x )
2
,
I3
x
讨论： 1. 如果 x cos ( t ) 的关系确定.则 ( t ) , ( t ) 确定.
t 的改变
进动.（z 轴绕 轴转）
3. 为章动，在 1 ( x x1 )与 2 ( x x2 ) 之间来回摆动.
y
I1 I 3 情况
本体极锥在空间极锥外无滑动滚动
静系，因
J
= 恒矢量，故取
J
方向为
方向.质心为原点
的固定坐标系.
cos x sin sin sin sin cos 由 : y cos z
很大时，
很小.称 赝规则进动.
4. 地球: 进动周期: 25800年.章动周期: 19年.
▲地球转轴的旋进：非球效应，进动周期 25800 年，岁差 （地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 20分33秒（即 地轴进动角: 50.2角秒 / 年）
: 50.2角秒 / 年） 岁差: 20分33秒（即 地轴进动角 z
x n y I 3 I1 , (n W) I1 y n x z 0 z W (常 量) I 3
z W
即：角速度在对称轴的 上投影守恒
2 x 0 cos( nt ) x n x 0 2 sin ( nt ) n 0 y 0 y y
1. I 1
z 0 z cos s I 2 , M z 0 I 3
JK J K
常量
常量 1 2 2 2 ( I 1 x I 2 y I 3 z ) mgl cos E 2. 能量守恒: 2 3.
k 1
z
G
mgl ( K y i K x j ) , M z 0
Kx K y Kz
o
mgk k
而: K sin sin i sin cos j cos k M mgl ( sin cos i sin sin j )
因
即：天文地轴（
I3>I1 时，n 与
k 同向.
轴要以 n 的角速率绕 z 轴旋转.
纬度由 轴而定，而
轴）绕地理地轴 ( 对称 z 轴) 旋转（进动）
轴又在地球上变动, 故纬度亦要变化.
2 2 I 1 变化周期： n W ( I 3 I 1)