线性方程组的消元解法
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§3.3 线性方程组的解
一、线性方程组的矩阵表示 二、线性方程组解的情况判定
.
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
Q R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3,
x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
行阶梯形矩阵； 第二步，根据定理3判断方程组是否有解； 第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程。
解：
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
.
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定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零 行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其它元全为0。
则称A为行最简形矩阵。 （见教材P47）
例如： 1 0 0 0 7
0 1 0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 0
-2 0
.
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例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
。
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n 元非齐次线性方程组。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
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r1 + 2 r2 1 0 8 9 r1 - 8 r3 1 0 0 - 7
0 0
1 0
2 1
3 2
r2 - 2 r3
0 0
1 0
0 1
-1 2
故方程组的解为
x1 x2
= =
-7 -1.
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
.
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求解过程与矩阵的初等行变换：
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
a11 a12 a1n
x1
b1
A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
， b=
b2
。
am1 am2 amn
xn
bm
A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、
常数项列向量。 .
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。 .
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一、线性方程组的矩阵表示：
x 3 = 2
1 -2 4 3
0123
0012
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线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解 R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n; （3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 00000
00000
10499 0 1 -1 -2 -2 ，
00000 00000
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
.
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
一、线性方程组的矩阵表示 二、线性方程组解的情况判定
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
Q R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3,
x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
行阶梯形矩阵； 第二步，根据定理3判断方程组是否有解； 第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程。
解：
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
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定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零 行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其它元全为0。
则称A为行最简形矩阵。 （见教材P47）
例如： 1 0 0 0 7
0 1 0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 0
-2 0
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例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
。
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n 元非齐次线性方程组。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
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r1 + 2 r2 1 0 8 9 r1 - 8 r3 1 0 0 - 7
0 0
1 0
2 1
3 2
r2 - 2 r3
0 0
1 0
0 1
-1 2
故方程组的解为
x1 x2
= =
-7 -1.
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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求解过程与矩阵的初等行变换：
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
a11 a12 a1n
x1
b1
A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
， b=
b2
。
am1 am2 amn
xn
bm
A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、
常数项列向量。 .
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。 .
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一、线性方程组的矩阵表示：
x 3 = 2
1 -2 4 3
0123
0012
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线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解 R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n; （3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 00000
00000
10499 0 1 -1 -2 -2 ，
00000 00000
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1