非平衡非线性化学动力学 侯中怀

第12章非平衡非线性化学动力学
侯中怀 hzhlj@
中国科学技术大学化学物理系合肥 230026
非线性化学动力学的研究对象，是化学体系在远离平衡条件下，由体系中非线性过程的作用，自发形成的宏观尺度上的各种复杂的时空有序结构，包括多重定态，化学振荡，图灵斑图，化学波和化学混沌等[1-3]。

这些现象都是非平衡条件下大量分子的集体行为，因此非线性化学动力学的研究，属于物理化学和非平衡统计物理的交叉领域。

随着20世纪50年代BZ化学反应体系中各类非线性化学现象的实验发现，非线性化学动力学的研究便成为物理化学研究中的一个新的生长点。

20世纪70年代，以普里高津(Prigogine)为首的比利时布鲁塞尔学派提出了著名的“耗散结构”理论[4,5]，奠定了非线性化学现象的热力学基础。

过去20年，计算机技术和非线性科学的发展，使得人们能从理论上再现实验上观测到的各种非线性现象，以深入了解非线性化学现象的动力学机制，从而进一步推动非线性化学动力学在实际体系中的应用。

近年来，随着化学研究的对象向生命和纳米等复杂体系的深入，非平衡、非线性和复杂性之间的相互作用，目前是非线性化学动力学研究的一个主要发展方向。

在生命和表面催化等体系中，实验上已发现大量的非线性动力学行为，如细胞体系内的钙振荡及钙波[6]，生理时钟振荡[7]，单晶表面催化过程中的化学振荡、螺旋波、化学混沌等[8,9]。

研究表明，这些非线性化学动力学行为，对生命体系的功能和催化过程的活性与选择性等，起着非常重要的作用；要深入理解这些作用的机制，必须考虑到实际体系中的各种复杂性因素，包括噪声和无序等随机因素，环境和体系以及体系内部的复杂相互作用等。

本章中，我们将对非线性化学动力学的基本内容和研究进展作一简单概述。

为使内容具有相对完整性，第一节主要介绍非线性化学动力学的基本概念和研究方法。

在第二节和第三节，将重点介绍近年来复杂体系非线性化学动力学的一些研究结果，主要包括环境噪声、空间和拓扑无序、介观反应体系内涨落对非线性化学动力学的调控作用等。

最后，我们进行简单地总结和展望。

§1 非线性化学动力学简介
本节中，我们将对非线性化学动力学的基本概念和理论方法进行简单概括。

首先结合表面催化和生命体系的实例，描述几种典型的非线性化学现象，增加感性认识。

在后3小节中，将对非线性化学现象的热力学基础、确定性动力学方法和随机动力学方法进行简介。

§1.1 非线性化学现象
1.化学振荡
化学振荡是最典型的非线性化学动力学行为，它指的是化学反应物质的浓度随时间呈周期变化的现象。

虽然早在1828年人们就报道了电化学体系中的振荡现象，但直到20世纪70年代，人们一致认为化学振荡现象是违反热力学第二定律的：那时人们的普遍观点是化学反应体系不可能自发形成有序结构。

当然我们现在已经知道，在远离平衡的条件下，化学振荡的自发形成是不违反热力学第二定律的。

随着20世纪50年代Belousov- Zhabotinsky (BZ)振荡反应体系的发现[10,11]，化学振荡现象逐步受到了化学和生物学科工作者的重视。

生命及表面催化体系体系中，有丰富的化学振荡行为。

在生命体系中，化学振荡作为信号传递的基本形式，扮演着十分重要的角色。

如钙离子振荡信号既调节着细胞内的生命过程，同时又在细胞间传递信息以控制细胞整体的行为[6]；生理时钟振荡的分子机制，是基因表达产物蛋白质浓度的振荡[7]；神经网络中信号的传递也是以振荡的形式进行[12]。

在非均相表面催化体系中，反应速率及产物浓度常常表现出振荡，这种振荡与催化活性及选择性都密切相关。

例如，图(1.1a)显示了合成基因振荡网络体系中，基因表达产物蛋白质浓度（用荧光强度来表征）随时间的振荡现象[13]；图(1.1b)中给出了10纳米的Pd 金属粒子表面，CO催化氧化产物CO2的浓度随时间的振荡现象[14]。

图1.2：双稳态示意图
(a) (b)
图1.1：(a)合成基因网络中的蛋白质浓度振荡；(b)纳米粒子表面催化过程中的浓度振荡
2. 多重定态
多重定态，指的是在恒定的外界条件（如温度、压力、流速等）下，因初始条件的不同，化学体系表现出不同的稳定动力学状态的现象。

最简单的多重定态是双稳态，如图(1.2)所示。

在特定的控制参量范围内()12λλλ<<，体系可能的状态有3种，其中分支1和3是稳定的，是实验上可观测到的状态；而分支2不稳定，不能直接实验观测。

双稳态的最重要效应是跃迁和滞后现象：若初始时体系处于分支1 的稳定态，随着控制参量λ的增大，在经过2λ时体系会突然跃迁到分支3所在的状态；若在此时减小λ，体系并不会立刻回到分支1，而是一直处于分支3的
状态，直到λ小于1λ。

值得强调的是，多重定态的存在与化学反
应的稳定性、灵敏性和效率密切相关。

视体系所处的状态不同，
稳定性也截然不同；在分支1的 2λ附近及分支3 的1λ附件区域，
体系对外界扰动十分敏感，微小的刺激可能导致体系状态的突然
跃迁，这有可能会导致灾难性的后果，并且滞后现象使得这种后
果并不能及时地得到补救；另外体系处于不同的状态时，也可能
具有不同的反应活性和功能。

图1.3中给出了生命和表面催化体
系中双稳态的实例。

(1.3a)显示了Pt 单晶表面上，场发射针尖小
区域内，CO 催化氧化过程中的双稳态现象[15]：随着温度的变化，可以出现高反应活性和低反应活性2种状态。

(1.3b)中给出了一种具有双稳“开关”特性的合成基因网络的示意图[16,17]：在上图中，lacI 基因的表达产物LacI 蛋白抑制tetR 基因的表达，从而后者处于低表达态，荧光强度低；下图中，tetR 基因表达生成TetR 蛋白，后者抑制lacI 基因的表达，从而tetR 基因处于高表达态，荧光强度高。

(a)
(b)
图1.3：(a)表面催化体系的双稳态；(b)具有双稳开关性质的合成基因网络
3.化学波和斑图
化学振荡是化学反应体系在远离平衡条件下形成的时间上的有序结构。

若进一步考虑到空间的扩散过程和反应的相互作用，则可产生更多更丰富的时空有序结构[18-21]：化学波和图灵斑图(Turing Pattern)。

顾名思义，前者是反应组分的浓度分布呈现“波动变化”，从而在空间和时间上都出现“结构”；而后者指的是反应组分的浓度不随时间变化，但在空间呈周期变化的现象，是一种空间有序结构。

化学波在化学和生物体系中非常普遍。

特别是在单晶表面催化体系中，德国的Ertl研究组利用PEEM（Photo Emission Electro-Microscopy）技术，从实验上观测到了Pt（110）、（100）等晶面上，高真空条件下CO的浓度分布所形成的各种化学波，包括波前(Wave front)运动、靶环波(Target wave)、脉冲波(Pulse wave)、驻波(Standing wave)、孤波(Soliton wave)、螺旋波(Spiral wave)等等[9,22]。

生命体系中最常见的化学波是钙离子波，它在细胞内和细胞间的通信过程中有重要作用，主要表现为行波、螺旋波等。

图(1.4a)是实验观察到的卵细胞中的钙螺旋波[23]。

图灵斑图的概念早在20世纪50年代就提出来了，但实验上一直没有观测到这种现象，主要原因是由于开放型的（即维持体系处于非平衡状态）反应器不容易设计；并且图灵结构的形成要求体系中2种关键组分的扩散系数相差很大，在溶液中这一点很难实现。

直到90年代初，欧阳颀等人首次设计出了克服上述困难的反应器[21,24]：反应在2片多孔透明玻璃夹住的圆盘状的凝胶介质中进行，一方面阻止了破坏斑图形成的对流运动，同时小分子等反应物可以在介质中只有扩散，从而维持体系处于非平衡。

接着，人们发现一些物质既能达到显色剂的作用，又能改变某些组分的扩散系数，为从实验上实现图灵结构创造了条件。

图(1.4b)是实验上观测到的次氯酸-碘化物-丙二酸反应体系中6角对称性的图灵斑图[24]。

(a) (b)
图1.4：(a)卵细胞中钙螺旋波；(b)具有6角对称性的图灵斑图
4.化学混沌
混沌(Chaos)是确定性系统所产生的内在“随机”行为。

1963年，气象学家Lorenz在数值研究液体热对流的一个3变量的简化模型时发现：虽然描述体系的动力学微分方程是确定性的，但是初始条件的微小差别，却会导致体系的长时间行为发生巨大改变，即表现出对初始条件的极度敏感性。

因此实际上，体系的长时间行为是“不可预测”的，这种“不可预测性”并非源于量子力学的随机性，也不是由外界的噪声所导致，而是动力系统本身的内禀性质。

现在，人们常可以听到对混沌现象的一个形象且略带夸张的描述，“蝴蝶效应”，即台湾海峡一只蝴蝶轻轻扇动翅膀，便有可能导致新奥尔良一场飓风的形成。

混沌概念一经提出，便受到了物理学家和数学家的高度重视。

有人认为，混沌是和相对论和量子力学可以相提并论的20世纪的重要物理新思想：它们都一样冲破了牛顿力学的教规。

相对论指出牛顿力学只适用于远低于光速运动的物体，量子力学指出牛顿力学不适用于微观物体，而混沌理论则指出牛顿力学并不总是能确定性地预知未来。

另外，混沌理论的发展，也为深刻理解统计物理的基石之一，“遍
历性假设”，提供了新的思路。

化学混沌[25,26]作为混沌的具体形式之一，通常是指化学反应系统中某些组分的浓度随时间的不规则变化。

当然，要确定观测到的是混沌现象，而不是复杂的振荡或噪声，需要对实验得到的时间序列进行定性甚至定量的刻画。

通常，分析混沌时间序列的常用方法有庞加莱截面，功率谱，自相关函数，李雅普诺夫指数等；还可以对时间序列进行重构，得到相空间的“奇怪吸引子”，这些在一般的非线性动力学参考书中都有详细地阐述[27]。

目前，人们在BZ 反应，电化学反应，表面催化等许多化学体系中都从实验上发现了化学混沌现象[25]；在生命体系中，钙信号传导，神经信号传递、大脑运动等过程中也都发现了混沌现象。

如图(1.5a)是Pt 单晶表面CO 催化氧化过程中，实验观测到的由螺旋波破裂引发的时空混沌[28]，又称“湍流”现象，图(1.5b)显示了神经元体系中的混沌现象，在外界刺激信号位于箭头所指区域时，神经脉冲的时间间隔t Δ没有任何周期性，信号呈现混沌特征[29]。

(a) (b)
图1.5：(a)单晶表面催化过程中的时空混沌；(b)神经元模型中的混沌
§1.2 非线性化学现象的热力学基础
1969年，普里高津在“理论物理与生物学”的国际会议上提出了“耗散结构”的新概念。

接着，他相继出版了“结构、稳定与涨落的热力学理论[30]”以及“非平衡系统中的自组织[4]”等著作，对耗散结构理论及其在物理、化学和生物学中的应用作了全面地阐述。

实际上，前面描述的几种非线性化学现象都是耗散结构的具体例子。

以普里高津为首的布鲁塞尔学派，基于“非平衡是有序之源”等基本观点，从热力学上对耗散结构的形成提供了依据。

本小节中，我们将简单地回顾布鲁塞尔学派的基本思想。

1． 布鲁塞尔学派的基本观点
概括说来，以普里高津为首的布鲁塞尔学派，对耗散结构的形成持如下基本观点：
(1) 非平衡是有序之源。

按照热力学第二定律，孤立系统中的自发过程总是导致熵的增加，因此随着时间的演化，孤立系统将最终到达熵最大的平衡态，也就是最“混乱”的状态，从而不会出现“时空有序结构”。

但在和外界有能量和物质交换的热力学开放体系中，单位时间内系统的熵变ds 由来自外界的熵流e d s 和体系内部自发过程的熵产生i d s 两部分组成：e i ds d s d s =+；虽然第二定律意味着0i d s ≥，但只要维持足够的负熵流()0e d s <，原则上体系可以处于0s d <的低熵状态，这种状态可能对应于某种时空有序结构。

从这个意义上说，非平衡是产生时空有序结构的必要条件，是“有序之源”。

又由于维持稳定的负熵流需要耗散物质和能量，普里高津将这些时空有序结构称为“耗散结构”。

(2) 非线性是必要条件。

非平衡是出现耗散结构的必要条件，但不是充分条件。

一方面，在靠近平衡态的线性非平衡区，外界的负熵流可以维持体系处于稳定的非平衡定态。

普里高津指出，这种非平衡定态是由平衡态连续变化而来，属于“热力学分支”，不会出现新的结构。

只有当体系处于远离平衡态的非线性非平衡区域时，“热力学分支”会失稳，此时发生“非平衡相变”才有可能产生的耗散结构。

另一
方面，从数学上看，体系的某种状态相当于描述体系的微分动力学方程的某种特解，而耗散结构的出现对应于某种特解的失稳，而根据微分方程的理论，只有非线性方程才会出现解的失稳现象；从物理上看，只有非线性反馈才会导致体系中不同单元的协同而形成有序的耗散结构。

(3) 通过涨落达到有序。

在形成耗散结构的宏观体系中，涨落一般是很小的，它的作用可以忽略。

但是，在热力学分支发生失稳的“非平衡相变”点附近，和平衡态相变点附近类似，系统的涨落及其相关效应可以变得反常的大。

此时，体系中可以出现各种“模式”的相互竞争，它们都是相对于热力学分支的涨落；当某些模式被放大时，热力学分支表示的定态就可能失稳，从而产生新的状态，这种新的状态的性质和被放大的涨落模式相关；若所有的涨落模式都不能被放大，则显然体系的热力学分支是稳定的，体系也处于和平衡态相近的无序状态上。

因此，模式的涨落是形成耗散结构的“种子”，当涨落模式被放大，并通过和外界的能量和物质交换达到稳定后，便形成了新的时空有序结构。

这种定性的描述，按照布鲁塞尔学派的说法，称为“通过涨落达到有序”。

2． 线性非平衡热力学和最小熵产生原理
在非平衡态开放体系中，由于体系并没有到达平衡态，因此严格说来，并不是所有的热力学状态量都有严格定义。

例如，当体系没有达到热平衡时，并不能对整个体系严格定义温度Ｔ。

因此，人们通常采取局域平衡假设：即可以把体系分为很多小的单元，每个小单元内部可以认为达到了热力学平衡，并且每个小单元内部的热力学量之间满足通常的平衡热力学关系。

如此，可以对这些小单元定义局部的热力学强度量和广延量，整个宏观体系的热力学量可以由局部热力学量得到。

例如，定义局域熵(;)s t r , 则体系的总熵为：
()();v S t s t dv =∫r (1.1)
对于处于等温等压条件下的开放化学反应系统，设体系内部进行如下的化学反应：
r i i ir X X v →+第步反应： (1.2)
ir v 为第r 个化学反应步骤中第i 种组分的计量系数变化。

考虑到通过边界的物质交换，则小单元内的局域组分浓度i c 满足如下的质量守恒方程：
i i ir r r c j v w t
∂=−∇+∂∑i (1.3) 其中i j 为通过小单元边界的扩散流，r w 为第r 步反应的速率。

由于小单元内体系处于平衡态，等温等压条件下，局域熵s 是浓度{}i c 的函数，因此：
i i i c s s t c t ⎛⎞∂∂∂⎛⎞=⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠
⎝⎠∑ (1.4) 利用局域热力学关系()i i s c T μ∂∂=，其中i μ为化学势，并经过一些数学推导，可以得到：
s s J t
σ∂=−∇+∂i (1.5) 其中i
s i i J j T μ=−∑是“局域熵流”，它来自外界的贡献；σ称为“局域熵产生”，是内部不可逆过程
的结果，表达式为:
i r i i r r a j w T T μσ⎛⎞=−∇+⎜
⎟⎝⎠∑∑， (1.6) 其中r i i ir a v μ=−∑是第r 步反应的化学亲和势。

可以将局域熵产生写成如下一般形式：
k k k J X σ=∑ (1.7)
其中k X 为某种热力学“力”，k J 为由该热力学力导致的热力学“流”。

具体地，i T μ⎛⎞∇⎜
⎟⎝⎠是组分i 的“扩散力”，i j 是“扩散流”，r a T
是第r 步反应的“反应力”，r w 是“反应流”。

对于开放的化学反应体系，热力学第二定律此时要求：
0σ≥ (1.8)
在到达平衡时，显然反应力和扩散力均为0，从而上式取等号。

对方程(1.5)进行积分，便可得到整个体系的总熵演化方程，
()e i v s s v dS d S d S J dv n J d dv dt dt dt σσ∑=−∇⋅+=⋅∑+≡+∫∫∫ (1.9) 其中‘∑’为体系的边界，n 为边界上的法向量；显然地，e d S dt
是整个体系的“总熵流”，i d S P dt ≡是体系内部的“总熵产生”。

一般地，可以认为体系中的热力学力X 导致了热力学流J ，而二者的乘积对熵产生有贡献。

在平衡态附近，可以认为力和流之间满足如下的“线性唯象”关系：
{}()k l l kl l J X L X =∑ (1.10)
其中kl L 称为唯象系数，它表征了第l 种力和第k 种流之间的相互作用。

例如，对简单的一级反应
1
2k k A B ⎯⎯→←⎯⎯ 其“反应力”为12log A B B k c a k T k c =，“反应流”为1211exp A B A B a w k c k c k c k T ⎡⎤⎛⎞=−=−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦。

显然，当B a k T ，即很接近化学平衡时，近似的有线性关系w a ∝成立。

昂萨格(Onsager)证明，由于微观过程的时间可逆性，唯象系数之间满足如下关系：
kl lk L L = (1.11)
常称为“昂萨格倒易关系(Onsager’s Reciprocity Relations)”。

另一方面，由于空间对称性的要求，标量力(流)和矢量流(力)之间一般是退耦的，因此可以认为扩散和反应之间的唯象系数为0。

在唯象关系成立的线性非平衡区，体系可以处于某种“非平衡定态”，如稳定的扩散过程。

由于此时0i c t
∂=∂，故0e i dS d S d S =+=，因此0e i d S d S =−≤；即维持非平衡定态，须有依赖于体系性质的负熵流存在。

由于非平衡定态可由平衡态连续变化而来，因此并不对应于“耗散结构”，普里高津称其为“热力学分支”。

显然，若热力学分支是稳定的，则耗散结构不可能形成。

在线性非平衡区，将唯象关系(1.10)代入熵产生的表达式（1.5），可以得到：
()'''210v ij ij i j rr rr r r P dv dv L L a a T
σμμ==∇∇+≥∑∑∫∫ (1.12) 考察熵产生的变化，利用唯象关系和倒易关系，可以证明：
220j i i ij j c dP c dv dt T c t t μ⎛⎞∂∂∂=−≤⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠
∑∫ (1.13) 注意到在非平衡定态，0i c t ∂=∂，故0dP dt
=。

方程（1.12）和（1.13）构成了线性非平衡热力学的主要结论：体系处于非平衡定态时，熵产生最小；当偏离该定态时，体系的熵产生单调减小，直至到达非平衡定态，熵产生不再变化；这就是著名的“最小熵产生原理”。

最小熵产生原理告诉我们，线性非平衡区内，非平衡定态是稳定的，因此不可能形成耗散结构。

只有在远离平衡的“非线性非平衡区”，耗散结构才有可能形成。

3． 非线性非平衡热力学和耗散结构
远离平衡时，线性唯象关系不再成立。

仍然考虑熵产生的变化，可以将其分成两部分：
k k X J k k k k dP dX dJ d P d P dv J X dt dt dt dt dt ⎡⎤=+≡+⎢⎥⎣
⎦∑∑∫， (1.14) X d P 和J d P 分别为由力和流的微小变化导致的熵产生的改变。

在线性非平衡区，二者实际上是相等的，并且都小于或等于0；在非线性区，对J d P 的符号并不能作出判断，但可以证明：
210j X i i ij j c d P c dv dt T c t t μ⎛⎞∂∂∂=−≤⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠
∑∫ (1.15) 其右端实际上是(1.13)的一半。

由于上式在线性和非线性区均成立，因此被称为“广义发展判据(Universal evolution criterion)”。

为了考察非线性区体系的稳定性，取热力学分支为参考态‘0’，考虑它受到变分扰动：
000,,i i i k k k k k k c c c X X X J J J δδδ=+=+=+，
其中k X δ称为“超力”，k J δ称为“超流”。

相应地，熵和熵产生均有偏离：
02021212
S S S S S P P P P P δδδδΔ=−=+Δ=−=+ 其中()00
1i i i i i i s S dv c dv c c T δδμδ⎛⎞∂==−⎜⎟∂⎝⎠∑∑∫∫，并由此得到：
20
10i ij i j j S dv c c T c μδδδ⎛⎞∂=−≤⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠∑∫， (1.16) 2S δ称为“超熵”。

而()00k k k k k P dv J X X J δδδ=+∑∫，可以证明：
212
k k k P dv J X δδδ=∑∫， (1.17) 式中右端是各种“超流”和“超力”的乘积之和，称为“超熵产生”，计为X P δ。

进一步可以证明，超熵和超熵产生之间满足如下关系式：
212X d S P dt δδ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
， (1.18) 即超熵的时间变化率正比于超熵产生；如果注意到熵产生即为熵的变化率，上述结果直观上是容易接受的。

从式(1.16)和(1.18)可以定性讨论参考态的稳定性。

若参考态为平衡态，则000k k X J ==，故k k J J δ=，k k X X δ=，从而0X P P δ=≥；此时有
22110,022d S S dt δδ⎛⎞≥≤⎜⎟⎝⎠
， (1.19) 即对平衡态产生偏离之后，超熵单调变化，体系又会回到平衡态，因此平衡态是稳定的。

若参考态是非平衡定态，在线性区域时，根据最小熵产生原理，定态的P 最小，故0
~0X P P P δ−≥，此时仍有(1.19)式成立，故此时非平衡定态仍是稳定的；但在非线性区域时，无任何原理保证0X P δ≥，因此若随着时间的演化X P δ变为负数，非平衡定态将失稳，体系可能演化到新的状态，后者可能是我们期待的“耗散结构”。

图（1.6a ）中描述了超熵随时间的演化和体系稳定性的关系，而(1.6b)示意了随着体系远离平衡（λ表示偏离平衡的程度），热力学分支失稳出现新的状态的分支（branching ）行为。

图1.6：(a)超熵产生随时间的变化和稳定性的关系; (b) 远离平衡时，热力学分支发生失稳
综上所述，在体系处于非线性非平衡区，超熵产生可能变负的条件下，耗散结构有可能形成。

布鲁塞尔学派基本上奠定了非线性化学现象的热力学基础。

当然，热力学方法并不能告诉我们，热力学分支失稳和各种耗散结构形成的动力学机制以及耗散结构的性质，而这些必须借助于动力学的理论和方法。

§1.3 非线性化学的确定性动力学方法
宏观反应扩散体系中的时空有序结构，主要表现为某种组分的浓度的时空分布。

对于宏观体系，可以认为浓度是时间和空间的连续函数，且在感兴趣的时间尺度上，遵循确定性的演化规律。

实际上，
对方称（1.3）中的扩散项应用Fick 扩散定律i i i j D c =−∇，并假设扩散系数i D 是常数，便可得到如下一般形式的反应-扩散方程：
{}{}()()()2
(,);,;,1,2,...,i i i i
c t f c t D c t i n t λ∂=+∇=∂x x ， (1.20) 其中i c 表示第i 种组分的浓度，它是时间和空间的函数。

方程右端第一项是反应项，和基元反应的具体细节有关，可以根据质量作用定律等动力学规律写出，f 通常是非线性函数。

{}λ表示一组控制参量，对应于实际体系中的实验条件，如温度、压强、反应流速等。

从数学上看，方程(1.20)是非线性的偏微分方程，在特定的初值条件和边界条件下，方程可以有一个或多个特解，其中稳定的特解就可能对应于实验上观测到的耗散结构。

当然，由于方程(1.20)常常十分复杂，严格解析求解很困难，因此，人们必须借助于计算机的数值计算来了解其解的性质。

另外，人们也可以借助稳定性分析和分岔理论方法对方程解的特性和稳定性进行定性的分析。

本小节中，我们对线性稳定性分析和分岔理论进行简单介绍。

1． 稳定性分析和分岔理论简介
我们称方程的某个定态解是稳定的，是指系统在受到扰动偏离该定态解后，仍然能够自动返回该状态。

因此，可以采用线性稳定性分析的方法来判断某个状态的局部稳定性。

考虑如下的双变量动力学方程（为简单起见，我们略去了扩散项）：
12112212(,),(,),dX dX f X X f X X dt dt
== (1.21) 其定态解为()12,S S X X ，满足112(,)0S S f X X =及212(,)0S S f X X =。

当系统以此为参考态并受到小的扰动时，体系状态可表示为：
()()()111222,()S S X t X x t X t X x t =+=+. (1.22)
代入(1.21)并略去()1,2x t 的高次项，可以得到如下线性化方程组：
111121221222x J J x d x J J x dt ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
， (1.23) 其中J 为雅可比矩阵，()()12,S S ij i j X X J f X =∂∂。

由微分方程理论，(1.23)的特解有如下形式：
110220,,t t x x e x x e λλ== (1.24)
代入(1.23)，根据线性方程组解的存在条件，可以得到如下本征方程：
20T λλ−+Δ=， (1.25)
其中1122T J J =+为雅可比矩阵的迹，11221221J J J J Δ=−
为其对应的行列式的值。

两个本征值为(2T λ±=，对应于方程(1.23)两组线性无关的解，而解的一般形式为二者的线性组合：
()()1122~,~t t t t x t e c e x t e c e λλλλ+−+−++。

(1.26)。