第5章 单位根检验和协整1

i 2
p
ADF检验


差分项的系数收敛于t-分布，从而联合分布收 敛于F分布。所以，差分项系数可以使用传统 的统计检验和推断。 ADF检验滞后期的选择很重要，可以信息准则 选择。
ADF检验的EVIEWS界面
例5.2续

对1978年－2002年中国农村居民家庭人 均纯收入对数差分后序列 ln xt 和生活消 费支出对数差分后序列 ln yt 进行检验

检验步骤

例5.2续

对1978年－2002年中国农村居民家庭人 均纯收入对数序列 ln{xt }和生活消费支出 对数序列 ln{yt }进行EG检验。
构造回归模型

拟合模型

一元线性模型 最小二乘估计

估计方法


拟合模型口径
ln yt 0.96832ln xt t
残差序列单位根检验
例5.2 ln x 序列的ADF检验
t
例5.2 ln y 序列的ADF检验
t
PP检验



ADF检验主要适用于方差齐性场合，它对 于异方差序列的平稳性检验效果不佳 Phillips和 Perron于1988年对ADF检验进 行了非参数修正，提出了PP检验统计量。 PP检验统计量适用于异方差场合的平稳 性检验，且服从相应的ADF检验统计量的 极限分布
DF统计量

1 1 时
ˆ 渐近 1 1 t (1 ) N (0,1) ˆ) S ( 1
ˆ 1 1
1 1

1 1 时
W (r )dW (r ) ˆ) S ( W (r ) dr
极限 0 1 2 0
DF检验的等价表达

常将前面的AR(1)模型写成如下形式

待检验AR(p)模型
xt c 1xt 1 ... p xt p t

等价写成
p i 2
xt c xt 1 i xt (i 1) t
其中： (i ) 1, i j
i 1 j i p p
ADF检验

i 1 k
假定回归残差序列 t 平稳，我们称响应 序列 { yt }与自变量序列 {x1},,{xk } 之间具有 协整关系。
协整的概念
所谓协整，是指多个非平稳变量的某种线性组合 是平稳的。 例如，收入与消费，工资与价格，政府支出与税 收，出口与进口等，这些经济时间序列一般是非 平稳序列，但它们之间却往往存在长期均衡关系。 下面给出协整的严格定义： 对于两个序列 X 和Y如果 yt I(1), xt I(1) ， 、 2 ，使得 而且存在一组非零常数 1 1 xt 2 yt ~ I(0) 则称 X 和Y 之间是协整的。
一般的 ，设有 k ( 2)个序列 y1t , y2t ,, ykt , 用 Yt ( y1t , y2t ,, ykt ) 表示由此 k 个序列构成 的 k 维向量序列， 如果：
(1)每一个序列 y1t , y2t , , ykt 都是 d 阶单整 序列，即 y jt I(d ) ;
xt xt 1 t
其中： 1 1
DF检验的等价表达

等价假设
H 0： 0 H1： 0

检验统计量
ˆ ˆ) S (
DF检验的三种类型

第一种类型
xt 1xt 1 t

第二种类型
xt 1xt 1 t

第三种类型

第三种类型
xt t 1xt 1 pxt p t
ADF检验的等价类型

在均值不变的条件下，ADF检验的等价形式如 下
xt c xt 1 i xt (i 1) t
i 2
p
xt c t xt 1 i xt (i 1) t
短期影响因素分析

响应序列的当期波动 y t主要会受到三方 面短期波动的影响



输入序列的当期波动 xt 上一期的误差 ECMt 1 纯随机波动 t
yt yt 1 xt xt 1 t 1 t yt xt ECMt 1 t
误差修正模型
阶协整的，记为 Yt CI(d , b) ，
向量
(1,2 ,,k ) 称为协整向量。
特别地，若 d b 1 ，则 Yt CI(1,1) ，说明尽管 各个分量序列是非平稳的一阶单整序列，但它们 的某种线性组合却是平稳的。这种（1，1）阶协
整关系在经济计量分析中较为常见。例如，假设 变量 y1t 与变量 yit (i 2,, m) 之间为（1，1）
(2)存在非零向量 (1 , 2 ,, k ) ，使得
Yt a1 y1t a2 y2t ak ykt 为( d b )阶单整序列， 即 Yt I(d - b) , 0 b d 。 则称向量序列 Yt ( y1t , y2t ,, ykt ) 的分量间是 d 、b
例5.2 ln x 序列的pp检验
t
例5.2 ln y 序列的PP检验
t
例5.2 二阶差分后序列的PP检验
5.3 协整

单整的概念



如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这 时称序列为零阶单整序列，简记为 xt ~ I (0) 假如原序列一阶差分后平稳，说明序列存在 一个单位根，这时称序列为一阶单整序列， 简记为 xt ~ I (1) 假如原序列至少需要进行d阶差分才能实现 平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称 原序列为d阶单整序列，简记为 xt ~ I (d )
等价假设
H 0： 0 H1： 0 其中： 1 2 p 1

检验统计量
ˆ ˆ) S (
ADF检验的三种类型

第一种类型
xt 1xt 1 pxt p t

第二种类型
xt 1xt 1 pxt p t
伪回归模拟案例
伪回归的概念


两个序列是相互独立的序列，但回归结果 却显示，模型中系数都具有统计显著性。 这是伪回归现象。 所谓伪回归，就是指变量之间本来不存在 真正的关系，而是由于变量都是非平稳序 列造成的虚假显著性关系。
伪回归的特征

非常高的R2
较低的DW统计量
系数表现出很强的显著性
单整的性质

若xt ~ I (0) ，对任意非零实数a，b，有
a bxt ~ I (0)

若xt ~ I (d ) ，对任意非零实数a，b，有 a bxt ~ I (d )
yt ~ I (0) 对任意非零实数a，b，有 若xt ~ I (0) ，

zt axt byt ~ I (0)
（3）具有协整关系的非平稳变量可以用来建立 误差修正模型。由于误差修正模型把长期关系和 短期动态特征结合在一个模型中，因此既可以克 服传统计量经济模型忽视伪回归的问题，又可以 克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱点。
协来自百度文库检验

假设条件


原假设：多元非平稳序列之间不存在协整关 系 H 0 : t ~ I (k ), k 1 备择假设：多元非平稳序列之间存在协整关 H1 : t ~ I (0) 系 建立响应序列与输入序列之间的回归模型 对回归残差序列进行平稳性检验
PP检验统计量
ˆ ˆ ) (1 2)( ˆ ˆ )T ˆ Z ( ) (
2 2 Sl 2 Sl 2 2 Sl 2 ( x x ) t 1 T 1 t 2 T

其中：
ˆ T (1)
2 1 2 ˆ t t 1
T
T
ˆ T (2)
2 Sl
例5.2 时序图
例5.2 输入序列的DF检验
例5.2 输出序列的DF检验
ADF检验

DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检 验 。为了使检验能适用于AR(p)过程的 平稳性检验，人们对检验进行了一定的 修正，得到增广检验（Augmented Dickey－Fuller），简记为ADF检验
ADF检验
第五章
单位根检验和协整
本章结构

伪回归 单位根检验 协整 误差修正模型
5.1 伪回归

一个模拟案例 利用软件模拟以下两个序列
yt 1.5 yt 1 ut , ut NID(0,1) xt 1.2 xt 1 vt , vt NID(0,1)
做两个序列的简单线性回归模型。

若xt ~ I (d ) ，yt ~ I (c) 对任意非零实数a，b，有
zt axt byt ~ I (k )
k max[d , c]
协整的概念

假定自变量序列为 {x1},,{xk } ，响应变量 序列为 { yt }，构造回归模型
yt 0 i xit t
xt t 1xt 1 t
DF检验的三种等价类型

第一种类型
xt xt 1 t

第二种类型
xt xt 1 t

第三种类型
xt t xt 1 t
DF检验的EVIEWS界面
例5.2

对1978年－2002年中国农村居民家庭人 均纯收入对数序列{ln xt }和生活消费支出 对数序列{ln yt } 进行检验
1
ˆ
t 1
2 t
2T
1
w (l ) ˆ ˆ
j 1 j t j 1
l
T
t t j
1 T 1 (3) xT 1 xt T 1 t 1
PP检验的EVIEWS界面
例5.2续

对1978年－2002年中国农村居民家庭人 均纯收入对数差分后序列 ln xt 和生活 消费支出对数差分后序列 ln yt 进行PP 检验
我们可以以 91.55%（1－0.0845）的把握断定残差 序列平稳且具有一阶自相关性 t 1 t 1 t
最终拟合模型
ln yt 0.96821 ln xt
i .i .d
t
1 0.83713 B
vt ~ N (0,0.000893 )
误差修正模型


误差修正模型（Error Correction Model） 简称为ECM，最初由Hendry和Anderson 于1977年提出，它常常作为协整回归模 型的补充模型出现 协整模型度量序列之间的长期均衡关系， 而ECM模型则解释序列的短期波动关系

ˆ 该特征的原因是，检验统计量 t 1 ˆ) s( 1 将不再服从t分布，t统计量的方差远远大于t分布的方差，若
仍用t分布临界值进行检验，拒绝原假设的概率会大大增加。
伪回归的启示

多变量的时间序列回归建模必须要进行 序列的平稳性检验。
对于平稳的多元时间序列可以进行回归 建模。对于非平稳的序列还要进行进一 步的检验，再做处理。
阶协整关系，协整向量为 (1, - ,,- )， 2 m 则这种协整关系可表示为：
y1t 2 y2t m ymt ut
组合变量 就为I(0)过程。
协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量 模型，以检验这些变量之间的长期均衡关系非常 重要。 （1）如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变 量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列就可以 用来描述原变量之间的均衡关系。 （2）当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时， 由这些变量建立的回归模型才有意义。所以协整 性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。
yt 0xt 1 ECM t 1 t

5.2 单位根检验

定义

通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上 （外），来检验序列的平稳性 DF检验 ADF检验 PP检验

方法

DF检验

以AR(1)模型为例
xt 1 xt 1 t

假设条件

1 1 原假设：序列非平稳 H 0： 备择假设：序列平稳 H0：1 1