线性变换矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换的矩阵表示
即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
线性变换的矩阵表示式
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表⽰千⾥之⾏始于⾜下，重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是⼀个相对抽象的概念，先给出相关定义定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到⾃⾝的⼀个映射，使对任意向量x ∈V ，V 中都有唯⼀的向量y 与之对应，则称T 是V 的⼀个变换或者算⼦，记Tx =y ，称y 为x 在T 下的象，⽽x 是y 的原象（象源）这个T 类似于数学分析中的函数y =f (x )，不过那⾥是数量函数，这⾥是向量函数。
如果变换T 满⾜⼀定的线性变换要求T (kx +ly )=kT (x )+lk (y )，则T 为V 的⼀个线性变换。
概念类⽐到数量函数，线性变换T 的也是很好理解的。
但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表⽰。
从定义⼊⼿的话，如果需要确定线性变换T ，则需要找到V 中所有向量在T 下的象。
事实上不需要这么⿇烦的。
V 中所有向量都可以由V 的基向量组(x 1,x 2,……,x n )线性表⽰，加上T 是V 的线性变换，则V 中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表⽰。
设T 是线性空间V n 的线性变换，x ∈V n ,且x 1,x 2,……,x n 是V n 的⼀个基，则x =a 1x 1+a 2x 2+……+a n x n Tx =a 1(Tx 1)+a 2(Tx 2)+……+a n T (x n )令Tx 1=a 11x 1+a 21x 2+……+a n 1x n Tx 2=a 12x 1+a 22x 2+……+a n 2x n ……Tx n =a 1n x 1+a 2n x 2+……+a nn x n 在处理具体问题时，采⽤矩阵乘法的形式表⽰上述公式组：T (x 1,x 2,……,x n )=(Tx 1,Tx 2,……,Tx n )=(x 1,x 2,……,x n )A 这个A 称为线性变换T 在V n 的基x 1,x 2,……,x n 下的矩阵，简称A 为T 的矩阵。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
机械原理课件-线性变换及其矩阵表示
(c) 线性变换的运算 设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们 T1 T2 x T1 x T2 x , x V . 的和为： T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换 为： (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘 变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。 注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
这是一个线性变换。来自 ( )例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换：
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间 C[a,b]上的积分变换：
J : C a , b C a , b , J f x f x dx ,
√
×
2 T f ( x ) f ( x ). 2．在 Pn[ x ] 中，
×
√ × .√
T , V 非零固定. 3．在线性空间V中，
4． 在 C
n n
nn 固定. T X AX , A C 中，
T ( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
(b) 线性变换 从集合S 到集合S的映射也称为变换。 设V为数域K上线性空间，若变换 T : V V 满足： T x y T x T y, T kx kT x , x , y V , k K , 则称T是线性空间V上的线性变换。 单位变换(恒等变换)：Te : Te x x , x V , 零变换： T0 : T0 x 0, x V , 数乘变换：K : K x kx , x V . 上述定义中的条件可以等价的写成： T kx ly kT x lT y .
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示分布图示★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则AP P B 1-=.定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.例题选讲线性变换与其矩阵的关系例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.解 ,03003002020001100000432124432134321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。
3线性变换及其矩阵表示
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1 , u2 ,u p 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1 ), T (u2 ),T (up ) 可 分别 视为 该系 统 或过程的输出信号向量。
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k 2 u2 k p u p ，则当系统的输
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
n u , u , u V 更一般地，若 1 2 ，反 p
复使用上面公式可得
T (k1u1 k2 u2 k p u p ) k1T (u1 ) k2T (u2 ) k pT (u p )
使 T1 1 , T 2 2 ,
则有 1 , 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T 2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
§3
线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不
同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够
从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。 事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种 转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通 常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够 将图像的坐பைடு நூலகம்和坐标改变尺度。根据和大于1还是小 于1，图像就能够被放大或者缩小。
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 ,, n ，如果这个基 在变换T下的象为
定义 设T是线性空间 Vn 中的线性变换，
线性变换的矩阵表示与坐标变换
线性变换的矩阵表示与坐标变换线性变换是线性代数中非常重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的向量按照一定的规则进行变换的操作。
线性变换可以通过矩阵进行表示，并且与坐标变换之间存在着紧密的联系。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指满足以下两个性质的向量空间之间的映射：1. 对于任意的两个向量u和v，线性变换T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，线性变换T(ku) = kT(u)。
线性变换具有一些重要的性质：1. 零向量的线性变换结果仍为零向量：T(0) = 0；2. 线性变换保持向量空间中向量间的线性组合关系；3. 线性变换将向量空间中所有向量的零向量映射到目标向量空间的零向量。
二、矩阵表示线性变换线性变换可以通过矩阵来表示。
假设V和W是两个向量空间，维数分别为n和m，线性变换T: V→W可以表示为一个m×n的矩阵A。
对于向量v∈V，其在基底B={b1,b2,...,bn}下的坐标表示为[v]B =[x1,x2,...,xn]^T，T(v)在基底B'={b1',b2',...,bm'}下的坐标表示为[T(v)]B'= [y1,y2,...,ym]^T，则矩阵A表示了从基底B到基底B'的坐标变换关系。
具体而言，矩阵A的第j列为T(bj)在基底B'下的坐标表示的列向量。
通过矩阵向量乘法，可以得到变换后向量的坐标表示。
即：[T(v)]B' = A[v]B三、从坐标变换到线性变换以上我们讨论了线性变换如何通过矩阵表示，现在我们来看看如何从给定的坐标变换得到对应的线性变换矩阵。
考虑二维向量空间的坐标变换示例。
假设向量空间V的基底为B={e1,e2}，向量空间W的基底为B'={e1',e2'}。
将V中的向量v表示为[v]B = [x1,x2]^T，W中的向量T(v)表示为[T(v)]B' = [y1,y2]^T。
平面向量的线性变换和矩阵表示
平面向量的线性变换和矩阵表示平面向量是二维空间中的矢量，它具有大小和方向。
在数学中，我们经常需要对向量进行操作和变换。
其中一种常见的变换方式是线性变换，它可以通过矩阵来表示和计算。
本文将介绍平面向量的线性变换以及它们在矩阵表示中的应用。
一、线性变换的定义及性质线性变换是指满足以下两个条件的向量变换：1. 对于任何两个向量u和v，线性变换保持它们的和不变：T(u + v) = T(u) + T(v)；2. 对于任何向量u和标量k，线性变换保持它们的数量积不变：T(ku) = kT(u)。
线性变换具有以下性质：1. 对于任何向量u，线性变换将零向量映射为零向量：T(0) = 0；2. 对于任何向量u和标量k，线性变换满足齐次性：T(ku) = kT(u)；3. 线性变换对向量的加法满足可加性：T(u + v) = T(u) + T(v)；4. 若线性变换T(u) = 0，则u为零向量。
二、平面向量的线性变换假设给定一个平面向量u = (x, y)，我们可以对其进行线性变换。
线性变换可以改变向量的大小和方向，从而产生新的向量。
对于平面向量的线性变换，我们可以通过一个2×2的矩阵A来表示，即：⎛ x' ⎞⎛ a b ⎞⎛ x ⎞⎜⎟ = ⎜⎟ * ⎜⎟⎝ y' ⎠⎝ c d ⎠⎝ y ⎠其中x'和y'是变换后的向量坐标，x和y是原始向量的坐标，矩阵A = (a b; c d)是用来表示线性变换的矩阵。
三、线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示可以简化计算和分析。
我们可以通过线性变换对坐标向量进行矩阵乘法，即：⎛ x' ⎞⎛ a b ⎞⎛ x ⎞⎛ ax + by ⎞⎜⎟ = ⎜⎟ * ⎜⎟ = ⎜⎟⎝ y' ⎠⎝ c d ⎠⎝ y ⎠⎝ cx + dy ⎠根据矩阵乘法的定义，我们可以得到变换后向量的坐标。
四、线性变换的性质与应用线性变换具有许多重要的性质和应用。
平面向量的线性变换与矩阵表示
平面向量的线性变换与矩阵表示平面向量在数学中起着重要作用，它们可以通过线性变换来进行转换和操作。
线性变换是一种保持向量线性组合性质的变换，而矩阵表示则是一种简洁且有效的表达方式。
本文将介绍平面向量的线性变换以及如何使用矩阵来表示这些变换。
一、平面向量的线性变换平面向量的线性变换是指通过一系列矩阵乘法、加法和乘法运算对向量进行转换的过程。
这些变换可以包括旋转、缩放、平移和倾斜等操作，每种操作都可以表示为一个特定的矩阵。
1. 旋转变换旋转变换是指将向量绕着原点或其他点进行旋转的操作。
对于平面向量，我们可以使用一个旋转矩阵来表示这种变换。
设旋转角度为θ，则旋转变换可以表示为：```[x'] = [cosθ -sinθ][x][y'] [sinθ cosθ][y]```其中，(x, y)为原来的向量，(x', y')为变换后的向量。
通过改变θ的值，我们可以实现不同角度的旋转变换。
2. 缩放变换缩放变换是指按照一定的比例对向量进行放大或缩小的操作。
对于平面向量，我们可以使用一个缩放矩阵来表示这种变换。
设放缩比例为(sx, sy)，缩放变换可以表示为：```[x'] = [sx 0][x][y'] [0 sy][y]```其中，(x, y)为原来的向量，(x', y')为变换后的向量。
通过改变sx和sy的值，我们可以实现不同程度的放大或缩小操作。
3. 平移变换平移变换是指将向量沿着某一方向进行平移的操作。
对于平面向量，我们可以使用一个平移矩阵来表示这种变换。
设平移向量为(tx, ty)，平移变换可以表示为：```[x'] = [1 0][x] + [tx][y'] [0 1][y] [ty]```其中，(x, y)为原来的向量，(x', y')为变换后的向量。
通过改变tx和ty的值，我们可以实现沿不同方向的平移操作。
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，可以用来描述向量空间中的变换关系。
而矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵的形式，便于计算和分析。
线性变换
线性变换是指保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换。
具体地，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T满足以下条件：
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
这意味着线性变换保持向量加法和数乘的运算结果不变。
矩阵表示
线性变换可以通过矩阵表示来进行计算和分析。
对于向量空间V中的一个线性变换T，选择向量空间V的一组基{e1, e2, ..., en}，对于每个向量ei，线性变换T(ei)可以表示为一个线性组合：
T(ei) = a1i * e1 + a2i * e2 + ... + ani * en
其中aij为标量。
将向量空间V的基按列组成一个矩阵A：
A = [e1, e2, ..., en]
那么对于向量空间V中的任意向量x，线性变换T(x)可以表示为：
T(x) = A * x
其中x为列向量。
通过选择合适的基和矩阵A，可以将线性变换T表示为矩阵的形式，通过矩阵乘法进行计算和分析。
总结
线性变换是保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换，矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵形式。
通过选择合适的基和矩阵，线性变换可以方便地用矩阵乘法进行计算和分析。
对于线性代数的学习和应用，理解线性变换和矩阵表示是非常重要的基础知识。
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-10】
在上一节【例5-7】的平面解析几何中，定义了将平面 绕原点O逆时针旋转θ角的线性变换Tθ.取定R2中的基 ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，则容易验证Tθ在这组基下的矩阵即为
(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根据定理52，则存在V上的一个线性变换σ，满足
σ(αi)=vi,i=1,2,…,n 由于 ［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］ =(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A 故矩阵A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.因此 φ(σ)=A.这样φ是一个满射.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-11】
在空间R3中，取定一个直角坐标系{O;e1,e2,e3}.对于R3 中的任意一个向量xe1+ye2+ze3，令 ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，显然ρ是R3的一个线性变换.又 e1,e2,e3是R3的一组基，直接验证可得ρ关于这组基的矩阵 表示为
称式（5-8）的矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
提示
σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示A是式（5-7） 右端α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置；矩阵A的第j 列(a1j,a2j,…,anj )T就是σ(α j)在基α1,α2,…,αn下 的坐标向量，j=1, 2,… ,n.
线性变换的矩阵表示 及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
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定义7及以上讨论表明，在Vn 中取定一个基以后， 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A 也可以唯一地决定一个线性变换T。
这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关
系。
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由关系式(6)可见与T ( )在基1, 2 ,
,
下
n
的
坐
标分别为:
x1
x2 xn
,
即 按 坐 标 表 示, 有
x1
T (
)
A
x2 xn
,
T ( ) A .
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例11 在P[ x]3中,取基
p1 x3 , p2 x2 , p3 x, p4 1, 求微分运算D的矩阵.
Dp1
3x2
0
p1
3
p2
0
p3
0
p4 ,
解
Dp2
2x
0
p1
0
p2
2
p3
0
p4 ,
Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1 p4 ,
,
下
n
的
矩
阵,
也
就
给
出
了
这
个
基在
变换T下
的
象.下
面根据变换T保持线性关系的特性来推导变换T必须
满足的关系式:
n
Vn中的任意元素记为 xi i , 有 i 1
T n xi i n xiT ( i )
i1
i1
x1
x1
T (1 ),T ( 2 ),
,T ( n )
x2 xn
1 , 2 ,
(2)取基为 i , j , i j k ,求T的矩阵.
解
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
即
1 T(i , j,k) (i , j,k)0
0 1
0 0.
0 0 0
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T i ,
(2)
T T
j i
,
j
,
即
1 T(i , j,k) (i , j,k)0
T
(
2
)
a12 1
a22
2
an2 n ,
T ( n ) a1n1 a2n 2 ann n ,
记T (1 , 2 , , n ) (T (1 ),T ( 2 ), ,T ( n )), 上
式可表示为
T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) A, (5)
0 1
1 1.
0 0 0
由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有 不同的矩阵。
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线性变换在不同基下的矩阵之间关系
定理3 设 线性空间Vn中取定两个基
1,2, ,n;
1, 2, , n ,
由基1 , 2 ,
,
到
n
基
1
,
2
,
,
的
n
过
渡
矩
阵
为P
,Vn
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那
Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
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所以D在这组基下的矩阵为
0 0 0 0
A
3 0 0
0 2 0
0 0 1
0 00
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例12 在R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线 性变换,即
T ( xi yj zk ) xi yj , (1)取基为i , j , k ,求T的矩阵;
么B P 1 AP.
定理表明 B 与 A 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 P 就是相似变换矩阵。
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证
于是
按 定 理 的 假 设, 有
(1, 2 , , n ) (1 , 2 , , n )P, P可逆; T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n )A, T(1, 2, , n ) (1, 2, , n )B,
总之, Rn中任何线性变换T ,都能用关系式 T ( x) Ax( x Rn )
表示, 其中A (T (e1 ), ,T (en )).
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定义7 设T是线性空间Vn 中的线性变换, 在
Vn中取定一个基1 , 2 , , n , 如果这个基在变换
T下的象(用这个基线性表示)为
T (1 ) a111 a21 2 an1 n ,
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反之, 如果一个线性变换T使T (ei ) ai (i 1, 2, , n), 那么T必满足关系式
T ( x) T[(e1 , , en ) x] T ( x1e1 xnen ) x1T (e1 ) xnT (en ) (T (e1 ), , xnT (en )) x (a1 , , an ) x Ax.
, n A
x2 xn
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即T 1 , 2 ,
, n
x1 x2
xn
1 , 2 ,
, n A
x1
x2 xn
,
(6)
这个关系式唯一地确定一个变换 T ，可以验证所确定
的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换，总之，以 A 为
矩阵的线性变换 T 由关系式(6) 唯一确定。
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其中
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
那么,
A就称为线性变换T在基1 , 2 ,
,
下
n
的
矩阵.
显然, 矩阵A由基的象T (1 ),T (2 ), ,T (n )
唯一决定.
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如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基1 , 2 ,
性
变
换
在
基
1
,
下
2
的
矩
阵
为
A
a11 a21
a12 a22
,
求T在
基
2
,
1下的矩阵.
解
(
2
,
1
)
(
1
,
2
)
0 1
(1, 2, , n )B T(1, 2, , n ) T[(1,2 , ,n )P] [T (1,2 , ,n )]P (1,2 , ,n )AP (1, 2 , , n )P 1 AP,
因为1 , 2 ,
,
线
n
性
无
关,
所以
B P 1 AP.
证毕.
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例13
设V2中
的
线
Rn中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为此, 考虑到a1 Ae1 , a2 Ae2 , , an Aen (e1 , e2 , , en为单位坐标向量),即
ai T (ei ) (i 1,2, , n) 可见如果线性变换T有关系T ( x) Ax, 那么矩阵A应以
T (ei )为列向量.
§5 线性变换的矩阵表示
★线性变换的矩阵 ★线性变换在不同基下的
矩阵之间的关系 ★线性变换的秩
为了将线性变换的讨论转化为矩阵的讨论， 我们必须建立线性变换与矩阵之间的联系。
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线性变换的矩阵
上 节 例10中, 关 系 式
T( x) Ax ( x Rn )
简单明了地表示出Rn中的一个线性变换.我们自然希望