线性代数第一章第一节

主要内容
1、矩阵 2、行列式 3、几何空间 4、n维向量空间 5、特征值与特征向量 6、二次型与二次曲面
第一章
矩阵及其初等变换
在自然科学和工程技术中有大量的问题与矩阵 这一数学概念有关,并且这些问题的研究常常反映 为对矩阵的研究. 甚至有些性质完全不同的,表面 上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是 相同的.这就使矩阵成为数学中的一个及其重要应 用广泛的工具,因而也成为代数,特别是线性代数的 一个主要研究对象,尤其是随着计算机的广泛应用, 矩阵知识已成为现代科技人员的必备的数学基础.
例 设
1 2 3 A , 3 1 2
1 B y
x 3 , 1 z
已知 A B, 求 x, y, z.
解 A B,
x 2, y 3, z 2.
加法： A 与 B 同型,定义 A B (aij bij ).
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 即 A B am1 bm1 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
其主要信息都 包括在数表中
2 3 A 4 5 2 B 4 3 5 1 0
例 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若 干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. B 四城市间的航班图情 况常用表格来表示: A C 到站
对角矩阵
a11 a22 A
一般不全为0 diag(a , a ,..., a ) 11 22 nn ann aii 称为主对角元.
2 0 如 A 0 1 diag( 2,1)
Байду номын сангаас
单位矩阵 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 记作 I n 或 I . 1 1 diag( 1,1,...,1) In 1 nn 数量矩阵 k k 全相等 kIn k n n
(i , j 1,2)
2. 矩阵的乘法 Amt Bt n C mn (cij )mn 其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j
ait btj aik bkj
k 1
t
i 1,2,m; j 1,2,, n,
A 第i 行 …….. B

a11b11 a12 b21 a13 b31 a b a b a b 21 11 22 21 23 31
其中
a11b12 a12 b22 a13 b32 a21b12 a22 b22 a23 b32
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j
2011 -2012年第一学期
《几何与代数》
教师: 周进鑫
Email: jxzhou@
教材及主要参考资料： 黄廷祝、成孝予，《线性代数与空间 解析几何》，电子科技大学应用数学 学院，高等教育出版社。
简
介
几何与代数是我校工科各专业必修的重要基 础理论课，在一般工科专业的教学中占有极重要 的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有 广泛的应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何 融为了一门课程 . 代数中的许多概念非常抽象， 几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数 为几何提供了便利的研究工具 .代数与几何的融合 能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代 数的方法处理几何问题.
单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数“1”在数的乘 法中的作用一样.
I m Amn Amn ,
Amn I n Amn
定义 上三角矩阵
对于A (aij )nn ,当i j时, aij 0( j 1,2,, n 1)
下三角矩阵
对于A (aij )nn ,当i j时, aij 0( j 2,3,, n)
例
计算下列矩阵的乘积
2 1 4 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 1 5 8 0 2 10 1 3 7 3 4 1 33 10 1 3 7 34
1 2 1 4 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 10 1 10 1 3 7 3 4 1 3 7 3 4 1 4 4
称为一个m行n列的矩阵，简称为m n矩阵，其中aij 表第i行第j列元素 .
常记为Am×n 或A=(aij)m ×n.
实矩阵 元素是实数.
复矩阵 元素是复数. 例如
1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 6 2i 2 2 2 2 2 2
注意
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
a1 a2 例 设A , B (b1 , b2 ,..., bn ). 求AB, BA. a n a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2 b1 a2 b2 a2 bn 解 AB ( b1 , b2 ,..., bn ) an anb1 anb2 anbn a1 a2 BA ( b1 , b2 ,..., bn ) b1a1 b2a2 bnan an
三、矩阵的乘法
1.引例 某地有 1 , 2两个工厂生产甲,乙,丙三种产品.矩阵 A 表示一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵 B 表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵 C 表示各工厂的总收入和总利润.
a11 A a 21
甲
c11 C c 21
a12 a22
注意： 对于同型矩阵加法才有意义.
1 0 1 1 1 0 2 1 1 例如 1 1 2 0 1 0 1 2 2
a11 a 21 负矩阵 A a m1
a12 a 22 am1
矩阵数乘满足的运算规律 设 A、B为 m n矩阵， , 为数
(1)1 A A
(2) A A;
结合律
(3) A A A; 分配律 (4) A B A B;
矩阵加法与数乘运算合起来, 统称为矩阵的 线性运算.
第
j
cij =
C
.
列
例
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
16 32 ? 16 22 8
1 2 3 1 6 8 不存在. 3 2 1 5 8 9 6 0 1
如
O22
0 0 0 , O21 . 0 0 0
二、矩阵的线性运算
同型矩阵： Amn , Bmn
14 3 1 2 8 4 例如 5 6 与 为同型矩阵. 3 9 3 7
A与B相等： A (aij ) 与 B (bij ) 同型,且 aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n 记为 A = B. 想一想: 是否所有的零矩阵都相等?
上三角矩阵
a11 形如 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 的方阵. 0 a nn 0 a 22 an2 0 0 的方阵. a nn
下三角矩阵
a11 a 21 形如 a n1
减法
称为矩阵A 的负矩阵. A B A ( B) (对应元素相减) A B A B O
a1n a2n a mn
aij


矩阵加法满足的运算规律 (1)交换律: A B B A. (2)结合律: ( A B) C A(B C). (3) AO A, 其中是A与O是同型矩阵. (4) A( A) O.
是一个 3 3 复矩阵,
1 2 4
是一个 3 1 矩阵,
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵, 4 是一个 1 1 矩阵.
1 3 A 5 7 0 2 4 6 1 1 3 5 2 0 2 4 3 1 1 3
数乘 kA ( kaij )
ka11 ka12 ka21 ka22 即 kA (kaij ) kam1 kam1
ka1n ka2 n . kamn
1 2 2 4 例 A (1) A (aij ), 2 0 1 0 2
§1. 1 矩阵及其运算 §1. 2 高斯消元法与矩阵的初等变换 §1. 3 逆矩阵 §1. 4 分块矩阵
§1.1
矩阵及其运算
一、 矩阵的概念 二、 矩阵的线性运算 三、 矩阵的乘法 四、 矩阵的转置
一、矩阵的概念
2 x1 3 x2 1
4 x1 5 x2 0
考虑方程组
2x 3 y 1 4x 5 y 0
乙
a13 1 a23 2
丙
1 2
b11 B b21 b 31
b12 甲 b22 乙 b32 丙
c12 c 22
单位 单位 价格 利润
收入=单位价格*数量 利润=单位利润*数量
总收入 总利润
c11 c12 c 21 c22
线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
2x 3 y 1 4x 5 y 0
2 3 A 4 5
称为方程组的 系数矩阵；
2 A 4
3 5
1 称为方程组的增广矩阵. 0
零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n零矩阵记作 omn 或 o.
A A 发站 B C D
其中
B
C
D
D
表示有航班,否则没有.
A A B C D
B
C
D
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
1 1
0 1
1
1
0 0 1 0
0 0 1
0 0
0
此数表清楚地反映了四城市间航班情况.
矩阵就是一个数表.
定义
由m n个数排成的m行n列的数表
a11 a21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
问题：试写出 4 5 矩阵A，其元素 aij 2i j
一些特殊的矩阵
行矩阵 只有一行的矩阵 称为行矩阵. 列矩阵 只有一列的矩阵 称为列矩阵. 方阵
A a1 , a2 ,, an ,
a1 a2 B , a n
如果一个矩阵的行数和列数相等都为n,则 称其为n阶方阵.