2021届高三数学一轮复习-第三章 第1讲 弧度制与任意角的三角函数(共43张PPT)

α，即
tan
y α＝___x___.
6.三角函数值在各象限的符号
7.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与 单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M，则点 M 是 点 P 在 x 轴上的正射影.
三角 函数线
余弦线 正弦线 正切线
O→M M→P A→T
3.弧度制 (1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧
l 度数为零.角α的弧度数的绝对值|α|＝___r___(其中 l 是以角α作为
圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径). (4)弧度与角度的换算：180°＝π rad；
答案：A
考点 4 弧度制的应用 例 4：(1)如图 3-1-3，一扇形的半径为 r，扇形的周长为 4. 当圆心角α为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？ (2)若一扇形面积为 4，则当它的中心角为何值时，扇形周 长 C 最小？
图 3-1-3
解：(1)设 AB的长度为 l，由已知，得 2r＋l＝4，扇形的面
(2)给出下列四个命题： ①－34π是第二象限角；②43π是第三象限角；③－400°是第
四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：－34π是第三象限角，故①错误.43π＝π＋π3，故43π是第 三象限角，故②正确.－400°＝－360°－40°，故③正确.－315° ＝－360°＋45°，从而④正确.故选 C.
考点 2 三角函数的概念 例 2：(1)已知角α终边经过点 P(3t,4t)，t≠0，求角α的正弦、 余弦和正切. 解：由 x＝3t，y＝4t，得 r＝ 3t2＋4t2＝5|t|. 当 t＞0 时，r＝5t. 因此 sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43. 当 t＜0 时，r＝－5t. 因此 sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.
tan 4＞0.∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选 A.
3.(2016 年江西模拟)下列说法中，正确的是( ) A.小于π2的角是锐角 B.第一象限的角不可能是负角 C.终边相同的两个角的差是 360°的整数倍 D.若α是第一象限角，则 2α是第二象限角
解析：锐角的范围是0，π2，小于π2的角还有 0 度角和负角， 它们都不是锐角，A 选项错误；－300°角的终边就落在第一象 限，B 选项错误；与角 α 终边相同的角都可以写成 α＋k·360° (k∈Z)的形式，其差显然是 360°的整数倍，C 选项正确；若 α 是第一象限角，则 k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，∴2k·360°<2α< 2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2a 是第一象限或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上的角，D 选项错误.故选 C.
即当圆心角 α＝2 rad 时，扇形的面积最大.
(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α(α>0). 由 S＝12l·r，得 l＝2rS＝8r. 扇形周长 C＝2r＋l＝2r＋8r≥2 2r×8r＝8， 当且仅当 2r＝8r，即 r＝2 时，等号成立， 即周长 C 有最小值 8. 此时 l＝8r＝4，α＝rl＝42＝2 rad. 即当 α＝2 rad 时，扇形周长 C 最小，且最小值为 8.
【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函 数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形 的面积公式 S＝12rl，其中 l 表示扇形的弧长.
(2)(2019 年浙江温州模拟)若角 α 的终边过点 P(2sin 30°，
－2cos 30°)，则 sin α 的值为( )
1 A.2
B.－12
C.－
3 2
D.－
3 3
解析：∵x＝2sin 30°＝1，y＝－2cos 30°＝－ 3，∴r＝|OP|
＝
x2＋y2＝2.∴sin
α＝yr＝－
3 2.
第三章 三角函数与解三角形
第1讲 弧度制与任意角的三角函数
课标要求
1.了解任意角的概念和弧度制， 能进行弧度与角度的互化. 2.借助单位圆理解任意角三角 函数(正弦、余弦、正切)的定义
考情风向标 从近几年的高考试题看，三角 函数定义及符号判定是高考的 热点.这部分的高考试题大多 为教材例题，习题的变形与创 新，因此学习中要立足基础， 抓好对教材知识的学习
积 S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1.
由已知，得lr>>00，，
即4－2r>0， r>0.
解得 0<r<2.
∴S＝－(r－1)2＋1，其定义域为(0,2).
当 r＝1 时，二次函数 S＝－r2＋2r 取得最大值 1，
此时，l＝4－2＝2，圆心角 α＝rl＝2 rad.
图 3-1-1 ③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为 所求.
(3)由 α 所在象限，确定α3所在象限，也可用如下方法判断： ①画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到 12 个区域； ②标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一， 二，三，四(如图 3-1-2)：
图 3-1-2 ③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所 求.
sin 275°＜0.选项 B，∵tan 100°＜0，cos 301°＞0，∴ctaons 130100°°＜
0.选项 C，∵sin
76π<0，cos
35π<0，tan
54π>0，∴sin
7π 6 cos
3π 5π 5 tan 4
＞0.选项 D，∵sin 65π<0，tan 116π<0，cos－23π<0， 6π 11π
答案：－39
【规律方法】任意角的三角函数值，只与角的终边位置有 关，而与角的终边上点的位置无关.当角α的终边上的点的坐标 以参数形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论 的思想，将t 分为t＞0 和t＜0 两种情况，这是解决本题的关键.
考点 3 三角函数的符号 例 3：若 α 是第二象限角，试分别确定 2α，α2，α3的终边所 在位置. 解：∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z). ①∵180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)， 故 2α是第三或第四象限角，或 2α的终边在 y 轴的非正半 轴上.
1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形.正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是 按_顺__时__针___方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们 称它为零角. 2.终边相同的角 终边与角α相同的角，可写成 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
答案：C
4.若角 α 的终边过点 P(2cos 120°， 2sin 225°)，则 cos α＝
( D)
A.－
3 2
B.－12
2 C. 2
D.－
2 2
解析：P(－1，－1)，∴r＝|OP|＝ 2，∴cos α＝－21＝－ 22，
故选 D.
考点 1 角的概念 例 1：(1)①写出与－1840°终边相同的角的集合 M； ②把－1840°的角写成 k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式； ③若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.
【跟踪训练】 1.(多选)下列各式中，计算结果为负数的是( )
A.tan 188°sin 275° 7π 3π 5π
C.sin 6 cos 5 tan 4
tan 100° B.cos 301°
6π 11π sin 5 tan 6 D. cos－23π
解析：选项 A，tan 188°＞0，sin 275°＜0，∴tan 188°×
【规律方法】已知 α 所在象限，求αn(n≥2，n∈N)所在象限： (1)由 α 所在象限，确定αn所在象限的方法. ①由 α 的范围，求出αn的范围； ②通过分类讨论把角写成 θ＋k·360°的形式，然后判断αn所 在象限.
(2)由 α 所在象限，确定α2所在象限，也可用如下方法判断： ①画出区域：将坐标系每个象限二等分，得 8 个区域； ②标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一， 二，三，四(如图 3-1-1)；
答案：C
【规律方法】在0°到360°范围内找与任意一个角终边相 同的角时，可根据实数的带余除法进行.因为任意一个角α均可写
成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°，k∈Z)的形式，所以与角α终边相 同的角的集合也可写成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}.如本例(1)③ 中M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}.由此确定[－360°，360°]范 围内的角时，只需令k＝－1和0即可.
答案：C
(3)(2018年东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点 P(4a,3a)(a<0)，则 25sin α－7tan 2α的值为________.
解析：由题意知 tan α＝34aa＝34，sin α＝53|aa|＝－35. ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×34342＝274. ∴25sin α－7tan 2α＝25×－35－7×274＝－39.
②∵45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)， 当 k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°(n∈Z)； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，225 ∴α2是第一或第三象限角.
③∵30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)， 当 k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n·360°(n∈Z)； 当 k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360° (n∈Z)； 当 k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α3＜300°＋n·360° (n∈Z). ∴α3是第一或第二或第四象限角.
5.任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点 P(x，y)，它与原 点的距离是 r(r＞0)，那么
(1)比值yr叫做 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝yr；
(2)比值xr叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝xr；
(3)比值yx叫做
α
的正切，记作
tan
∴sincos5－tan23π6 ＜0.故选 ABD.
答案：ABD
2.若角 α 是第一象限角，则α3是( ) A.第一或第二或第三象限角 B.第一或第三或第四象限角 C.第二或第三或第四象限角 D.第一或第二或第四象限角
解析：∵α 是第一象限角，∴2kπ＜α＜π2＋2kπ，k∈Z. ∴23kπ＜α3＜π6＋23kπ，k∈Z.当 k＝3n(n∈Z)时，α3是第一象限角； 当 k＝3n＋1(n∈Z)时，α3是第二象限角；当 k＝3n＋2(n∈Z)时， α3是第三象限角.故选 A.
1.下列各命题正确的是( C ) A.终边相同的角一定相等 B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于 90 度的角都是锐角
2.sin 2·cos 3·tan 4 的值( A )
A.小于 0
B.大于 0
C.等于 0
D.不存在
解析：∵π2＜2＜3＜π＜4＜32π，∴sin 2＞0，cos 3＜0，
解：①M＝{α|α＝k·360°－1840°，k∈Z}. ②－1840°＝－6×360°＋320°. ③由(1)(2)，得 M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}. ∵α∈M，且－360°≤α≤360°， ∴－360°≤k·360°＋320°≤360°(k∈Z). ∴－680°≤k·360°≤40°(k∈Z)，－197≤k≤19(k∈Z). ∵k∈Z，∴k＝－1 或 k＝0. 故 α＝－40°或 α＝320°.
1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝1π80°≈57.30°＝57°18′.
4.弧长公式和扇形面积公式
(1)在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l＝|α|·r；
S＝12l·r.
(2)在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l＝1n8π0r； nπr2
S＝____3_6_0____.