线性代数(第二版)第七节矩阵的秩

二、梯矩阵的定义
定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯
形矩阵 ( 或称梯矩阵 ): (1) 非零行(元不全为零的行)的标号小于零行
(元全为零的行)的标号;
(2) 设矩阵有 r 个非零行, 第 i 个非零行的第
一个非零元所在的列号为 ti , i = 1, 2, …, r , 则
例如
1 2 1 0
矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形的比较
我们以下面的矩阵 B 为例.
2 1 1 1 2
B
1
4 3
1 6 6
2 2 9
1 2 7
4 94
,
矩阵 B 的行阶梯形、行最简形、标准形分
别如下：
1 1 2 1 4
B1
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
0 0 0 0 0
1 0 1 0 4
B2
0 0
1 0
:
行 阶 梯 形 矩 阵 的 阶 特 梯 点
零 面 行 线 有 线
,
行的的一下
行
t1 < t2 < …< tr .
关于行阶梯形矩阵有以下结论 定理 1.8 每一个矩阵都可以经过单纯的初
等行变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作一般的证明,下面通过几个
具体的例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶 梯形矩阵.
第七节 矩阵的秩
矩阵的秩的定义 梯矩阵的定义 矩阵秩的求法
例 2 求矩阵 B 的秩，其中
3 2 1 1
B
0 3 0
3 1 3
3 2 3
0 3 2
.
3 2 1 1
B
0 3 0
3 1 3
3 2 3
0
3 2
3 解 在 B 中２阶子式 0
2 9 0,
3
它 有 16 个 三 阶 子 式 ,一 个 ４ 阶 子 式 ,分 别 计 算 如 下 :
单击这里开始
行最简形矩阵
定义 一个行阶梯矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元所在列的其
它元全为零, 则称之为行最简形矩阵. 关于行最简形矩阵有以下结论 定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变
换化为行最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变
换化为标准形矩阵. 验证
四阶子式计算区
1
2
3
4
-2
2
0
-5
3
7
9
0
=
1 -6 0
≠
1 0
1
1
清 空
从例 2 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较高时, 按定义求秩的计算量很大. 然而对于例 3 中这种形式的矩阵， 它的秩就等于非零行的行数, 一看便知，毋需计算. 因此自然想到用初等变换把 矩阵化为行阶梯形矩阵, 但两个等价矩阵的秩是否 相等呢? 下面先引进梯矩阵的概念.
A A
的 的
可以得到
定理 1.10 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是
r(A)=n.
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容单若束内请返结本若节击想请本 本容单若 若束内请 请返结本若节已击想本请本容单若回束内请返结节已击想本本容单若回束节想内请返结单节 节已想击想本本容单单若回束节想内结请返结堂单节已击想按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本内结本容单若回束击内 内结请返结结堂节已击想击按本内结本 本 本容束单若 若 若回束课击内结请 请 请返结钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂容束节已击想按本返本容 容束单若回束束课内结请返返结钮堂容束节 节 节已击想想 想按本,返本容束单单 单若回束课.内结!请返结钮堂节已击想按本,容束单回束课.已本内结!返结钮堂回节已 已击想按本本,容束单回回束课.已本内 内 内结!返结结 结钮堂回节已击击 击想按本,容束单回束课.内结!返结钮堂已击按本,结堂容束回束课.按内结 结!返结钮堂堂已击按按本,结堂容 容 容束回束 束束课.按内结!返 返返结钮堂已击按本,容束回束课.结!返钮堂束课已按本,钮容束 束回束课课.结!返钮钮堂束课已 已 已按本 本本,钮容束回 回回束课.结!返钮堂已按本,束回课.,结!钮堂.已按本,,!束回课..,结 结 结!!钮堂堂堂.已按按按本,!束回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束束束课课.课结!钮钮钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,,,束课...!!!钮,.!,.!,.!
二阶子式计算区
5
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
2
1
-2
2
1
= 6≠ 0
四阶子式计算区
1
2
3
4
-2
2
0
-5
3
7
9
0
=
1 -6 0
≠
1 0
1
1
清 空
例 3 求矩阵 C 的秩，其中
1 0 1 2 1
C
0
0 0
2 0 0
1 0 0
4 0
3 0
2 0
解 在 C 中有一个三阶子式
10 2
0 2 4 6 0 ,
0 0 3
并 且 显 然 所 有 的 四 阶 子 式 全 为 零 (因 为 有 一 个 零 行 ). 所以 r(C )=3.
330 1 2 3 6, 单 击 这 里 开 始 计 算 332
r(B ) 3. | B | 0, 所 以
求 求 秩 秩 模 模 型 型
1
2
3
4
A＝
-2 3
2 7
0
-5
9
0
1
1
1
1
请选择子式的行和列
三阶子式计算区
1
2
3
确定
-2
2
0
3
7
9
= -6 ≠ 0
结 结 论 论 ： ： r ( A ) = 4
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
根据这两个定理, 为求矩阵的秩, 只要把矩 阵用初等行变换变成行阶梯矩阵, 行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例 4 用初等变换法求矩阵 A 的秩，其中
3 1 4 2 2
A
1 11
0 2 4
1 1 13 3 3
0
4 0
解
由
定 定 理 理
1 1 . . 7 7
的 的 推 推 论 论
3 3
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
和 和 定 定 理 理
1 1 . . 9 9
等 等
推 推 论 论 价 价 标 标 准 准
3 3 形 形
n n
阶 阶
为 为
E E
. .
矩 矩
阵 阵
A A
可 可 逆 逆 的 的 充 充 分 分 必 必 要 要 条 条 件 件 是 是
定 定 理 理
1 1 . . 9 9
初 初 等 等 变 变 换 换 不 不 改 改 变 变 矩 矩 阵 阵 的 的 秩 秩 . .
1 0 1 2 1
C
0 00
2 0 0
1 0 0
4 3 0
0 02
.
求 求 秩 秩 模 模 型 型
1
2
3
4
A＝
-2 3
2 7
0
-5
9
0
1
1
1
1
请选择子式的行和列
三阶子式计算区
1
2
3
确定
-2
2
0
3
7
9
= -6 ≠ 0
结 结 论 论 ： ： r ( A ) = 4
二阶子式计算区
5
6
1
2
1
-2
2
1
= 6≠ 0
标准形矩阵
其特点是：左上角为一 单位矩阵,其它位置上的元素 全都为 0 .
三、矩阵秩的求法
由前面的讨论可知，用行初等变换可以把一个矩
阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，用初等变换 可以把它化成等价标准形矩阵. 那么它们的秩有什么 关系呢？ 可以证明下面的定理：
定理 1.9 初等变换不改变矩阵的秩.
由定理 1.8 和定理 1.9 可得到求矩阵秩的一个有 效方法：