正比例函数和反比例函数的区别(附图)

反比例函数的图象和性质(二)PPT课件

y
Байду номын сангаас
3
.x
y
pN
M ox
2020年10月2日
21
例5:如右图点为反比例函数上一点,若图中
阴影部分即三角形AOB的面积为4,求反比
例函数的解析式
y
oA x
B
2020年10月2日
22
练一练 7
一个反比例函数的图象在第二象限，如图，点A是图象上任意一点，AM⊥x轴于点M，O是原点，如果△AOM的面积为3，求这个反比例函数的解析式。
y
A
Mo
x
2020年10月2日
23
练习 2
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二__,四__象限，在每
个象限内，y 随 x 的增大而__增__大_ .
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，_ _91_）
2020年10月2日
6
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同
一坐标系内的图象大致是（ D）
6y
6y
4
4
2
-5
O
-2
A -4
5x
2
-5
O
-2
B -4
先假设某个函数 5 x 图象已经画好，
再确定另外的是否符合条件.
6y
4 2
6y
4 2
-5
O
5x
-5
O
5x
-2
C
-4
-2
D
-4
2020年10月2日
数缺形时少直觉，形少数时难入微．
反比例函数的图象与性质2
2020年10月2日
1

反比例函数的图像与性质.

x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是（ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的是否符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第二象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.

正比例函数与反比例函数(含图像)

1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。

正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。

图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。

具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。

（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。

它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。

正比例函数与反函数

分析正比例函数和反比例函数的区别
函数表达式
图象形状
位置
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线一三象限
y随x的增大而增大
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
双曲线一三象限每个象限内， y随
x的增大而减小
K>0
增减性
位置
二四象限
y随x的增大而减小
二四象限
K<0
增减性
由(2)得:a 2, a 3 1(舍去) 1 a的值为2,反比例函数为y= x
2.若正比例函数y k1 x(k1 0)与反比例函数 y
k2 x
(k2 0)的函数值都随x的增大而增大,
那么它们在同一直角坐标系内的大致图象是 ____ . D
y
y
O O
y O
y
x
x B
Hale Waihona Puke xxoA
C
D
每个象限内， y随
x的增大而增大
补充练习：
1. 已知函数 y a 1 减小，求a的值和表达式.
当函数为反比例函数时解:依题意得:

x
a2 a 7
，y随x的增大而
当函数为正比例函数时…… a 1 0(1) 2 a a 7 1(2) 由(1)得:a 1

正、反比例函数的图像和性质

图像形状
反比例函数的图像是两条关于原点对称的双曲线，分别位于第一、三象限和第二、四象限。
图像趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于 0；当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 趋近于无穷大。
图像与坐标轴关系
反比例函数的图像与坐标轴没有交点，即不经过任何象限的角平分线。
反比例函数性质分析
正比例函数性质分析
01
02
03
比例性
正比例函数中，$y$ 与 $x$ 成正比，即当 $x$ 增大时，$y$ 也随之增大；当 $x$ 减小时，$y$ 也随之减小。
直线性
正比例函数的图像是一条直线，因此具有直线性，即函数值的变化是均匀的。
过原点性
正比例函数的图像经过原点，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
函数的对称性
如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有对称性。例如，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称。
02
正比例函数图像与性质
正比例函数定义及表达式
定义
正比例函数是形如 $y = kx$ （ $k$ 为常数，且 $k neq 0$）的函数。
反比例函数图像
反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像是两条分别位于第一象限和第三象限的双曲线。这两条曲线关于原点对称，且随着 $x$ 的增大， $y$ 逐渐减小并趋近于 0。
性质异同点分析
相同点
正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的，即它们都是奇函数。
不同点
正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是双曲线；正比例函数的值随着 $x$ 的增大而增大，而反比例函数的值随着 $x$ 的增大而减小。

专题正反比例函数

第二部分：正比例，反比例函数一、知识点梳理：（一）正比例函数1、定义：y = kx （k ≠ 0）2、图象：过点（0，0）和（1，k ）的一条直线。

3、性质：当k ＞ 0 时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜ 0 时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小。

（二）反比例函数：1、定义：y = xk（k ≠ 0）2、图象：双曲线。

3、性质：（1）当k ＞ 0 时，图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小；（2）当k ＜ 0 时，图象在二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大。

（三）拓展：1、正比例函数y=kx 过点P （x 0, y 0）则k=0x y；2、反比例函数xk y = 过点P （x o , y o ）则k=x o y o 。

二、知识点检测：1．已知y 是x 的正比例函数，且当51=x 时，1-=y ，则y 关于x 的函数关系式是，2．函数x y 91=的图象经过第象限；当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也；3．已知函数xky 21-=在每个象限内自变量x 逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大，则k 的取值范围是；4．点P (1，4)、Q (－2，b) 是反比例函数图象上的两个点，则PQ 的长是；5．已知反比例函数图象过P (a ，b)，且a 、b 是方程x 2 －4x + 1=0的两个根，则此反比例函数的解析式为； 6．甲、乙两地相距180公里，一辆汽车以每小时40公里的速度从甲地开往乙地，已知汽车行驶t 小时后离乙地的距离是S 公里，则S 与t 的函数关系式为。

三、校正： 1．已知正比例函数图象过点A (2，－4)，则此正比例函数的解析式为； 2．已知y 是x 的反比例函数，它的图象经过点（－1，3），那么这个函数的解析式是；3．已知正比例函数y=（3k+2）x 的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围为；4．如果y = (m －2)x + (n + 3)是正比例函数，且图象经过A (1，3)，那么m + 2n = ；5．正比例函数y = kx 的图象和反比例函数y = x1-的图象有一个公共点A 的横坐标为2，这个正比例函数的解析式是；6．某车间每月固定成本是15万元，每生产一台仪器需增加成本2万元，则该车间每月的成本数y （万元）与每月生产仪器的台数x 间的函数关系式是；四、典型例题： 1．已知函数y = (m －1)22-m x+ n （m 、n 是实数）（1）当m 、n 取哪些值时，该函数是正比例函数，且函数的图象在第一、三象限？（2）当m 、n 取哪些值时，该函数是反比例函数，且函数的图象经过第二、四象限？（一）处理方法：学生思考，老师针对性的讲评。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象、一次函数的性质和图象：概念：一般地，形如y=kx+b(k , b是常数，且k z0 的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>0,则图象过___________________________ 象限②k>0,b<0,则图象过___________________________ 象限当k>0时，y随x的增大而____________________________③k<0,b>0,则图象过________________________ 象限④k<0,b<0,则图象过________________________ 象限当k v 0时,y 随x的增大而 ______________________________________三、反比例函数性质和图象：1. ______________________ 定义：形如 (k为常数，k z0的函数称为反比例函数。

其他形式________________________________________________________2. 图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

，在每个象限内y，在每个象限内y一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如______________ (k是常数，且k z0的函数，叫做正比例函数。

当k>0时，图象过 __________________ 象限；y随x的增大而__________________________________ 。

3. _________________________________________________ 性质:当k >0时双曲线的两支分别位于_______________________________________值随x值的增大而减小。

正比例函数和反比例函数的区别(附图)

正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。

正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。

二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数(自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。

反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。

正比例函数和反比例函数的区别(附图)

正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。

正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。

二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数 (自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。

反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。

《反比例函数的图象和性质》反比例函数PPT教学课件(第2课时)

x
（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数
y6 x
的图象经过点B（a，b），
∴
b
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线
y k2 x
交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
b
k2 x
的解集
是__1_＜__x_＜__5_．
探究新知
考点 3 利用函数的交点解答问题
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
解：设 y=k1x 和
S1的值
4
S2的值
4
S1与S2 的关系
S1=S2
猜想 S1，S1=S2=k S2 与 k 的关系
探究新知
若在反比例函数 y 4 中也用
x
同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
y
P Q
SS21
y 4 x
O
x
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
猜想与k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
巩固练习
反比例函数
y 12的图象与正比例函数
x
y = 3x 的图象的
交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数解析式解方程得：
解得：
x1 y1
2 6
y 12 x y 3x
x2 2
y2
6
链接中考
1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 y kx（x＞0）的图象上 S矩形OABC ＝6，则k＝ 6 ．
探究新知知识点 3
反比例函数中k的几何意义

正比例函数和反比例函数分析

第21课正比例函数和反比例函数二、【考点整合举例】正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为．如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是． 1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为．2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为．反比例函数)0(>=k xky 的性质及数形结合的能力在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k xky 的图像上的一点分别作x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。

2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是（）（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）xy 4=（D ）x y 4-=反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。

（多选题）在函数y=xk（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（）（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<图1（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x1的图像上，则下列结论中错误的是（）（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >> 例1．反比例函数y ＝xk 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝x1的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .(1) 反比例函数x2y =，当x=－2时，y 的值为（）（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝x1的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2（C ）S 1＝S 2（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－x1的图像大致是（）（A ）（B ）（C ）（D ）(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是（）（A ）m ＜21（B ）m ＞21 （C ）m ＜2 （D ）m ＞02、填充题：(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）23m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为_________．(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x1的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．1、选择题：（1）已知反比例函数y ＝xm21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是（）（A ）m ＜0（B ）m ＞0（C ）m ＜21 （D ）m ＞21 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝kx图像上一点，则此函数图像必经过点（）（A ）（2，6）（B ）（2，－6）（C ）（4，－3）（D ）（3，－4）（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－x1的图像大致是（）（A ）（B ）（C ）（D ）2、填充题：(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝xk的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是______________． (3) 设有反比例函数y ＝xk 1，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．3、解答题：(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （21，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=x'k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x3的图像都过A （m ，1）点．求：①正比例函数的解析式；②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝xk ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．考点一：y ＝2x ；y ＝3x .变式演练：1.y ＝5x 2－；2.y ＝8x.考点二：y ＝12x.变式演练：1.y=-3x+3；2.B.考点三：A 、C . 变式演练：B 、C 、D.（二）综合例题：例1：P 点的坐标为（－2，－2）例2： S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1．【双基热身反馈】 1. 选择题：（1） B ；（2）C ；（3）D ；（4）A2、填充题：（1）y ＝2x ＋2；（2）y ＝6x.；（3）－2；（4）＜【复习巩固自测】 1、选择题：（1）C ；（2）A ；（3）D2、填充题：（1）y ＝3x－.；（2）（－1，2）；（3）k ＜－13、解答题：（1）解：∵A(21,m)在y=x 21图像上，∴得m=1， A(21,1)．∵A 又在y=kx 图像上，∴得k=2．∵B （n ，4）在y=2x 图像上，∴4=2·n ，n=2，∴B(2,4)．而B 点又是y=x'k 的图像上，∴4=2'k ，k ’=8．（2）①y ＝1x 3；.②（－3，－1）（3）①解：把y ＝4x 代入y ＝x k ，得 4x 2－k ＝0, ∴ x 2＝4k ；由已知，k ≠0，且（ⅰ）当k ＞0时，有x ＝2k 或x ＝－2k；所以，两函数图像有两个交点（2k ，2k ）和（2k，－2k ）；（ⅱ）当k ＜0时，4k＜0，x 的值不存在，所以两函数图像没有交点； ②若两个图像只有一个交点，只需方程x 2＝4k 有唯一解，即仅当k ＝0时两个图像只有一个交点．但由已知函数y ＝xk可知，应有k ≠0，所以两个图像只有一个交点是不可能存在的．。

17.1.2.2反比例函数的图像和性质

增减从左到右下降性 y随x的增大而减小
在每个象限内
y随x的增大而增大
课前提问
20 一、三 1、函数 y 的图象在第________象限, x 减小在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
30 二、四 2、函数 y 的图象在第________象限, x 增大在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
函数
解析式
正比例函数
y=kx ( k≠0 )
位置
反比例函数
y = k ( k是常数,k≠0 ) x
图象形状
直线一、三象限
双曲线
y 0 x
K>0
增从左到右上升减性 y随x的增大而增大
位置
一、三 0 象限在每个象限内
y随x的增大而减小
y
x
二、四象限
y 0 x
二、四象限
y 0 x
K<0
（C） y3＜y2＜y1 （D） y1＜y3＜y2
2 3.如图,点P是反比例函数 y 图象上的一 x
点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 S△POD
1 .Leabharlann 1 = OD ·PD 21 = mn 2
y
P (m,n)
o
∵mn=2,
∴ S△POD =1
D
x
4.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
S1 S2 S3 A B C