数学建模动态规划库存问题

随机库存的分配

摘要

卖方管理库存（VMI，Vendor-Managed Inventory）是现代物流中一个比较新的管理思想，它是指货物的提供者根据所有客户的当前库存量决定在一定时间内对他们的货物分配量。基于VMI思想，设计出当供货方的供应能力有限、客户需求随机情况下的分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中，具有实际意义。

针对此问题，在客户需求量服从同一指数分布的前提条件下，首先通过MATLAB软件编写程序，得到50个客户的随机需求量和初始库存量，然后从车辆配载能力出发，以客户的库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，建立非线性随机规划模型，通过lingo软件求解模型，得到所有客户库存费用最小时的分配方案，同时得到最小库存费用为699.5543。

关键词：随即需求库存分配随机规划

一、问题重述

考虑由一个供货方和n个客户组成的配送网络，配送活动的组织基于VMI 思想。假设供货方的供应能力有限(意味着某些客户可能得不到供应)，可供应的货物总量为A；拥有车辆数为K，车辆k的载重量为b k(k∈K)。每个客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，周期初的初始库存为βi，h+i为单位货物的保管费，h-i为单位货物的缺货损失费。令q i(w i)表示客户i在得到配送量w

时的库存费用函数。令y ik表示车辆k是否服务客户i，是取1，否取0。

i

当y ik(i=1，…，n；k=0，…，K)的取值确定后，也就意味着确定了对所有客户的一个划分，如令Y k表示车辆k服务的客户集合，其应满足Y k={i∶y ik=1}。

请写出库存分配问题的模型，并带入适当规模的数据进行计算，分析其计算结果，得出结论。

二、问题分析

本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配

问题。客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，在处理问题时，可以将需求量当作服从相同参数的同一指数分布，通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量，要使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。

三、模型假设

1.假设客户的随即需求量服从参数为0.5的指数分布；

2.假设每个客户的初始库存量在0.1~1.5吨之间随即取值；

3.假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同；

4.假设供货方的总供应量为所有客户随即需求量之和的0.8倍；

5.假设不考虑运货车辆的运费。

四、符号说明

五、 对问题的分析和处理

5.1 问题分析

本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。为了得到具体的分配方案，使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo 软件求解得到具体的配送方案。由于客户的需求量是随机的，假设每个客户的需求量均服从参数为0.5的指数分布，于是可以通过MATLAB 软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量。

首先分析单个客户的库存费用，具体由货物的保管费和货物的缺货损失费两部分组成，分配给客户的配送量为i w ，客户的初始库存为

i β，客户的需求量为服从参数为0.5的指数分布，记指数分布函数

i F 中的自变量为x ，则客户需求量为x ，当配送量

i w 小于客户需求量ε与客户的初始库存为i β时，会产生缺货损失费，[2]中给出的具体表达式为： 当配送量i w 大于客户需求量ε与客户的初始库存为i β时，会产生货物保管费，

具体表达式为：

于是得到客户的库存费用函数为：

由此得到目标函数为：

同一辆车可以一次给若干个客户送货，用

ik y 表示车辆k 是否服务客户i ，是取1，否取0，车辆k 服务的客户集合为k Y ，由于每辆车一次的运货量不能超过其承载能力，于是有

对于供货方来说，给所有客户配送量之和不能超过总供货量A ，于是有 由此得到约束条件为

5.2 模型建立

由以上分析，建立以下模型：

S.t. 其中，(w )(w )1(w )[

][w ]i i i i i i i i i i e e q h h λβλββλλλ-+-+-+=++-+。 5.3 模型求解

首先确定(w )i i q 的具体表达式，假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同，均为10，即

假设客户总量为50，客户需求量服从参数为0.5的指数分布，即

编写MATLAB 程序，产生服从该指数分布的50个随机数，即得到每个客户的需求量（见附录3），求其总和sum ，将供货方的总供货量定为总和sum 的0.8倍，即A=0.8sum 。程序得到的结果为：A=17.5334吨。