线性代数 矩阵的对角化

故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ1 λ2 即 A( p1 , p2 ,⋯, pn ) = ( p1 , p2 ,⋯, pn ) ⋱ λn
由P -1 AP = Λ , 得AP = P Λ ,
可见 λ i 是 A 的特征值 , 而 P 的列向量 pi 就是 A 的对应于特征值 λ i的特征向量 .
因对于对角阵
Ak 的简单方法呢？ 的简单方法呢？回答是肯定的， 回答是肯定的，事实上， 事实上，若A
可对角化， 可对角化，则可建立起分解式( 则可建立起分解式(6-7)，有
λ1k Λk = diag k (λ1 ,⋯ , λn ) =
(6(6-11)
λ2k
⋱ k λn
6.2.2 * 应用示例 6.2.2.1 矩阵的高次幂
实际问题， 实际问题，有时会将问题归结为计算一个矩阵A 的高次幂Ak, 以前的方法来计算矩阵幂是很麻烦的。 以前的方法来计算矩阵幂是很麻烦的。 自然会想到， 自然会想到，当A可对角化时， 可对角化时，能否找到一个计算
若 则
A=PΛP-1 Ak =(PΛP-1)… (PΛP-1) =PΛ(P-1 P) Λ … (P-1 P )ΛP-1 = PΛkP-1
1 0 , p = −2 p2 = 2 3 0 1
即 得
2 x1 − x 2 − 2 x3 = 0
x1 = x1
x 2 = 2 x1 − 2 x3
x3 = x3
或
这样已求得A的三个线性无关的特征向量
1 1 0 p1 = 1 , p2 = 2 , p3 = −2 1 0 1
Fra Baidu bibliotek
∴ A( p1 , p2 ,⋯ , pn ) = ( Ap1 , Ap2 ,⋯ , Apn ) = (λ1 p1 , λ2 p2 ,⋯ , λn pn )
于是有
Api = λi pi
( i = 1, 2,⋯ , n ) .
由AP = P Λ , 两边左乘P −1 , 得P -1 AP = Λ.
命题得证.
λ 证明 λ
推论 若n阶矩阵A具有n个互不相等的特征 个互不相等的特征 值,即特征方程只有单根时, 即特征方程只有单根时,矩阵A必可对角化.
注意到特征方程只有单根是A可对角化的充分 条件,特征方程有重根时, 特征方程有重根时,矩阵A也有可能是可以对角 化. 如例3中的λ=1是特征方程的2重根,但由于此时 的N(A- λI)也是2维的,故对应于λ=1有两个线性无 关的特征向量,这样就满足了定理2充分必要条件, 所以那里的矩阵A还是可对角化的.
在由线性无关特征向量构作满秩矩阵P时, 各特 征向量的排列次序可任意安置, 但在写对角阵Λ时, 需注意将各对角线元即特征值要作保持序号一致的 安排.
A = PΛ P −1
定理３ 定理３ 若λ1 、… 、λn是n阶矩阵A的互不相 等的特征值,则其对应的特征向量x1 、… 、xn线性 无关.
：设 λ
今后,常称分解式(6(6-7)中的对角阵Λ为A可对 对角化矩阵A的相似标准形， 相似标准形，并可称 (6(6-7)为可对 角化矩阵A的相似标准形分解.显然,若不计其主 对角线元的顺序 对角线元的顺序, 则Λ是惟一确定的.
( 2)对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
( 3)传递性
若 A 与 B 相似 , B 与 C 相似 , 则 A 与 C 相似 .
2. 相似矩阵有相同的秩 .
5*. 相似矩阵或都可逆, 或都不可逆. 当 它 们 可 逆 时 , 他 们 的 逆 矩 阵 也 相 似. 证: 因为相似矩阵的行列式相等,所以它们同时 可逆或不可逆. 设A~B, 且A, B都可逆. 则存在可逆矩阵P, 使P-1AP =B. 两边求逆得 (P-1AP)-1 =B-1,
3 − 1 − 2 x1 0 2 0 − 2 x = 0 2 x3 0 2 − 1 − 1
3−λ 1 2 1− λ 1 2 = 2 λ 2 = (λ − 1) 0 λ 2 = −λ (λ − 1) 2 0 0 1 λ −1 0 λ −1
解
将λ1 = λ2 = 1代入 (λI − A) x = 0 得方程组
− 3 x1 − 6 x2 + 0 x 3 = 0 3 x1 + 6 x 2 + 0 x 3 = 0 3x + 6x + 0x = 0 1 2 3
同解方程组为 x1 + 2 x2 + 0 x3 = 0
解之得基础解系
定义3 对于一个矩阵A的特征值λ称其作为A 的特征方程根的重数为特征值λ的代数重数,记作
mλ ; 而把对应于λ的线性无关特征向量的个数,即
N(A- λI)的维数称为 的维数称为λ的几何重数,记作
ρλ .
定理５ 定理５ 矩阵A可对角化的充分必要条件是对每 个特征值λ的代数重数都等于它的几何重数. 的代数重数都等于它的几何重数.即
并令
0 0 0 Λ = diag(λ1 , λ2 , λ3 ) = 0 1 0 0 0 1
就有
或
AP = PΛ,
若记
P = [ p1 p2
P −1 AP = Λ
（把A相似对角化） 相似对角化）
1 1 0 p3 ] = 1 2 −2 1 0 1
ξ 3 = 1 .
1 − 1
注意
若令P = (ξ 3 ,ξ 1 ,ξ 2 ) =
由于 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性无关 . 所以 A 可对角化. 令
− 2 0 − 1 P = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) = 1 0 1 0 1 1
=0
即
(1 − λ ) 2 = 0
故λ=1是一个代数2重的特征值. 重的特征值. 解齐次方程组
这样，对λ=1有 ρ λ < mλ . 故A不能对角化. 亦即 ρ λ = 1 . 这样，
1 − 1 1 x1 0 0 1 − 1 x = 0 2
6 0 4 设 A = − 3 − 5 0 例6（补充） 补充） − 3 − 6 1 A能否对角化？ 能否对角化？若能对角 化 , 则求出可逆矩阵 P , 使 P − 1 AP 为对角阵 .
= det P ⋅ det( B − λ I ) ⋅ det P
−1
= det( B − λ I )
即相似矩阵必有相同的特征多项式,从而必有相同 的特征值. 7. 若 n 阶矩阵A与对角阵
λ1 λ2 Λ= ⋱ λn
相似, 则λ1 , λ2 , ⋯ , λ n即是 A的n个特征值 .
6.2.1 相似矩阵和矩阵的对角化问题
第二节 矩阵对角化
相似矩阵和矩阵的对角化问题 应用示例*
定义2 对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P, 使成立
B = P −1 AP
则称A与B相似或称 相似或称A相似于B. 1.由定义可见,矩阵相似关系是一种等价关系 相似关系是一种等价关系.
(1)反身性
A与A本身相似.
−1
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P AP = Λ为对角阵, 这就称为把方阵A对角化 .
称可与对角阵相似的矩阵为可对角化矩阵 称可与对角阵相似的矩阵为可对角化矩阵,则有 定理2 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A 具有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P , 使P -1 AP = Λ为对角阵, 把 P 用其列向量表示为 P = ( p1 , p2 ,⋯ , pn ) .
1 0 0 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． ． 要相互对应
可解得对应的特征向量
1 p1 = 1 1
对于λ2= λ3=1, (6(6-1′)
为
− 2 x1 0 3 − 1 − 1 2 0 −1 − 2 x 2 = 0 2 − 1 − 1 − 1 x3 0
x1 1 1 x = t 2 + t − 2 2 1 2 x3 0 1
故对不全为零的t1, t2,上式表出属于λ=1的全部特征 向量, 向量,特别, 特别,可取对应于特征值λ=1的特征向量x2 及x3为
例3 试将矩阵
解 特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程 有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
又由于 P 可逆 , 所以 p1 , p2 ,⋯ , pn线性无关 .
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求 得n个特征向量(线性无关), 这n个特征向量即可 构成矩阵P , 使AP = P Λ. 又由于 p1 , p 2 , ⋯ , p n 线性无关 , 所以 P 可逆 .
= (λ1 p1 , λ 2 p2 ,⋯ , λ n pn ).
也可得分解式（ 也可得分解式（A的相似标准形分解） 相似标准形分解） 具体写出,为
A = P Λ P −1
则可求得
−2 1 2 P −1 = 3 −1 −2 2 − 1 − 1
2 3 − 1 − 2 1 1 0 0 0 0 − 2 1 2 0 − 2 = 1 2 − 2 0 1 0 3 − 1 − 2 2 − 1 − 1 1 0 1 0 0 1 2 − 1 − 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 即有 P A (P ) =P A P=B ,
3. 相似矩阵有相同的行列 式 .
4 *. 若A与B相似 相似, 则A 与B 相似 相似 ( m 为正整数 ) .
m m
所以A-1与B-1相似.
6.相似矩阵A与B必有相同的特征值,这是因为
det( A − λ I ) = det( PBP −1 − λ PIP −1 )
ρλ = mλ
（证略） 证略）
例５ 考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的 系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的， 维的， 即
dim N ( A − λ I ) = 2 − 1 = 1
解 特征方程为
1− λ 0
1 1− λ
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础 解系