第三章 力系的平衡

第三章 力系的平衡

力系的平衡条件及其应用是刚体静力学研究的重点内容，在工程实践中有广泛的应用。本章首先介绍各种力系的平衡方程，然后应用平衡方程研究物体及物体系统的平衡问题。

3.1 力系的平衡方程

● 空间力系的平衡方程

根据1.4中力系的简化结果分析，空间任意力系n F F F ,,21平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对于任意简化点的主矩均等于零矢量。即

01

=∑=n

i i

F

，0)(1

=∑=n

i i O F M (3–1)

以任意简化中心为原点建立直角坐标系Oxyz ，并将以上二式分别投影到各个坐标轴上，得到空间任意力系平衡条件的解析表达式。

)(0

)(0

)(0

1

1

1111======∑∑∑∑∑∑======n

i i z

n

i i y

n

i i x

n

i ix

n

i ix

n

i ix

F M

F M

F M

F

F

F (3–2)

式(3–2)称为空间任意力系的平衡方程。一般情况下共有6个独立方程。对于空间特殊力系，式(3–2)中的某些方程将变成恒等式，独立方程的个数相应减少。

例3–1：如图3–1(a)，镗刀杆在根部被夹具固定，刀头在镗削工件时受到切向力z P 、径向力y P 和轴向力x P 作用，其

大小分别为N 5000

、N 1500和N 750，方向如图。刀尖B 位于Axy 平面内。试求刀杆根部约

束力的各个分量(图中

尺寸单位为mm )。

解：如图3–1建立坐标系。夹具对镗刀杆构成空间固定端约束，镗刀杆受力如图3–1(b)所示。现在镗刀杆受空间任意力系作用，根据平衡方程(3–2)，故有

00=-=∑x Ax x P N F

00=-=∑y Ay y

P N F

(a) (b) 图3–1 例3–1图

00=-=∑z Az z P N F 0075.00=-=∑z Ax x P M M 02.00=+=∑z Ay y P M M

02.0075.00

=-+=∑y x Az z

P P M M

由这些方程逐一解得

N 5000N 1500N 750===Az Ay Ax N N N

m N 8.243m N 1000m N 375⋅=⋅-=⋅=Az Ay Ax N M M

在画受力图时，未知的约束力分量通常假定沿坐标轴正向，若得出某约束力分量为负值，如本例中的Ay M ，则说明该分量实际方向与假定方向相反。 ● 空间特殊力系的平衡方程

1.空间汇交力系

设力系交汇于点O ，则力系对点O 主矩为零。由此可知，当汇交力系的主矢为零时，力系对任意点的主矩恒为零，即式(3–2)的后3个方程变成恒等式。因此汇交力系独立的平衡方程为

00

1

1

1

===∑∑∑===n

i iz

n

i iy

n

i ix

F

F

F

(3–3)

2.空间平行力系

如力系平行于z 轴，则各力在x 轴和y 轴的投影以及对z 轴之矩恒等于零，所以独立的平衡方程为

0)(0

)(0

1

1

1

===∑∑∑===n

i i y

n

i i x

n

i iz

M

M

F

F F (3–4)

3.空间力偶系

因为力偶的主矢量恒等于零，故(3.1)式中前3个方程变成恒等式，因此空间力偶系的平衡方程为

00

1

1

1

===∑∑∑===n

i iz

n

i iy

n

i ix

M

M

M

(3–5)

例3–2：如图3–2，正方形基础上四

根柱子分别受kN 5401=W 、

kN 3602=W 、kN 8003=W 和kN 1700

4=W 载荷作用。问在角点A 、B 处需附加多大垂直载荷A W 和B W ，才能使地基对基础底部约束力的合力N F 通过基础的中心C 。

解：以基础为研究对象，如图3–2建立坐标系，各垂直载荷和约束力组成空间平行力系。若约束力合力N F 通过基

图3–2 例3–2图

础的中心C ，则根据平衡方程(3–4)

004321N =------=∑W W W W W W F F B A z

0)(32.135.10321N =+---=∑W W W W F M B x

05.1)(35.1021N =-++-=∑W W W W F M

B A y

消去N F 后，解出

kN

13045.06.0kN

6565.06.0424321=+--==++-=W W W W W W W W B A

由以上算例可知，静力学解题大致分为四个步骤：(1)确定研究对象；(2)画受力图；(3)建立坐标系，选择合适的平衡方程；(4)求解方程并校核所得结果。 ● 平面力系的平衡方程

工程中大量结构与机构所受外力(约束力和载荷)都可简化为平面力系；另一方面，平面力系也是空间任意力系的特殊情况。因此研究平面力系的平衡问题具有重要应用价值。今后如无特别说明，我们只讨论平面力系的平衡问题。

设力系所在平面为Oxy 平面，力系中各力沿z 轴的投影以及对x 轴和y 轴之矩恒等于零；且力系对z 轴之矩，转化为力系对平面内O 点之矩。由此，平面任意力系的独立的平衡方程变为

0)(0

1

1

1

===∑∑∑===n

i i O

n

i y

n

i x

M

F

F

F (3–6)

即平面力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在该平面内任意轴上投影的代数和以及对通过平面内任意点之矩的代数和分别等于零。

例3–3：如图3–3(a)，T 形刚架ABD 自重为kN 100=P F ，在铅垂平面内受力偶M 、三角形分布载荷和集中力F 的作用。其中m kN 20⋅=M ，m kN 20=q ，kN 400=F ，m 1=l 。求固定端A 处的约束力。

解：如图3–3(b)，取T 形刚架为研究对象并建立坐标系Axy 。刚架除受主动力以

外，还在固定端A 处受Ax F 、

Ax F 和约束力偶A M 的作用。

在计算中，可将三角形分布载荷用其合力1F 来代替，其大小kN 305.021==ql F ，作用线距A 为l 。根据平衡方程(3–6)，

060sin 01

=-+=∑

F F F F Ax x 图3–3 例3–3图