3立体几何教师版.docx

(18)如图，四棱锥 E-ABCD 中，AD//BC , AD = AB = AE = -BC = 1,且 BC 丄平 2 面ABE, M 为棱CE 的中点.

(I )求证：DM H 平面ABE, (II)求证：平面CDE 丄平面CBE ；

(III)当四面体D-ABE 的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由.

(I )证明：取线段的中点"，连接MN,AN.

MN = -BC

因为M 为棱CE 的中点，所以在\CBE 申MN MBC , 2 .

又AD//BC f AD 尹[所以MN//AD,MN= AD.所以四边形DMNA 是平行四边 形所以DM//AN .

又DM @平面ABE f AN U 平面ABE y 所以DM//平面A3E. (II)因为AE = AB f N 为EB 中点，所以AN 丄BE.

又BC 丄平面ABE, AN u 平面ABE,所以BC 丄如V 又BC BE = B 所以AN 丄平面BCE. 又DM //AN ,所以DM 丄平面BCE 因为DM u 平面CDE,所以平面CDE 丄平面CBE (jj[) AE 丄 CD 设乙EAB = B, V=-x-AE-AB sin0-AD =-sin 0 则四面

体D-ABE 的体积 3 2 6 当0 = 90。，即丄AB 时体积最大.

又3C 丄平面ABE, AEu 平面ABE,所以AE 丄BC 因为BC AB = B 所以AE 丄平面ABC 因为CDu 平面ABCD,所以AE 丄CD.

(18 )如图，四边形ABCD 为菱形，ZDAB = 60° , ED = AD = 2EF = 2, EF // AB 9 M 为 BC 屮点.

(I ) EQ 丄平面ABC., (Ill)

求证：FM 〃平面BDE ； (II)求证：AC 丄BE ；

若G 为线段BE 上的点，沪棱锥G-BCD 的体积为竽时，求竺的值. BE

(18) 解：(I )设 ACI BD = 连结

因为MQ 分别是BUBD 的中点, 因为 EF — REF=-AB,

2

因为OM //AB ,且OM=-AB 9

2

所以四边形EOMF 为平行四边形. 又因为EOu 平面BDE , FM 平南BDE ,所以FM 〃平面BDE . (II) 因为ABCD 为菱形，所以AC 丄3D. 因为ED 丄平面ABCD,所以丄AC.因为BDI ED = D,所以AC 丄平面BDE . 又因为BEu 平而BDE ,所以AC 丄BE. (III) 过G 作的平行线交BQ 于H .由已知ED 丄平面ABCD f 所以GH 丄平面ABCD.所以GH 为三棱锥G-BCD 的高. 因为三棱锥G-BCD 的体积为台3,所以三棱锥G — BCD 的体积

9

y =l x l.BD BC-sin60o G//= —・所以6/7=-.

3 2 9

3

所以 EF //OM ,且 EF=OM.

E

M

A

E

M

帀B A

E 0

、、

所以 FM // EO .

G

Z I

M

B

2

GH BG ) \ rrhI BG 1 肪以 =——肋•以——=- ED BE 2 3 BE 3

18.如图1,在HABC 中，D, E 分别为初，AC 的中点，0为加的中点，AB = AC = 2 & BC = 4.将△ADE 沿 DE 折起到AADE 的位置，使得平面4DE 丄平面BCED , F 为人(7的中点，如图2. (I )求证：EF 〃平面4BD;

(II)求证：平面408丄平面4OC ；

(III)线段OC 上是否存在点G ,使得OC 丄平面EFG?说明理由.

[1分] 因为在△A3C4J

, D, E 分别为A3, AC 的屮点，所以DEH BC , DE 」BC ・

2

因为H , F 分别为43, A]C 的屮点，所以HF//BC f HF^BC,所以HF//DE, HF=DE , 所以四边形DE 阳为平行四边形，所以EF//HD.

因为 EF ①平面A 、BD , HDu 平面A 、BD ,所以 EF//平面A }BD .

(II)因为在'ABC 中，D, £■分别为AB, 4C 的中点，所以AD=AE ・所以A ]D = A ]E f 又O 为的中点, 所以丄DE .因为平面4DE 丄平面BCED ,且平面A.DE f 所以丄平面BCED , 所以CO 丄人0・

在ZXOBC 中，BC = 4,易知OB = OC = 2近,所以CO 丄B0 , 所以CO 丄平面所以 平面4OB 丄平面\oc.

(Ill)线段OC 上不存在点G ,使得OC 丄平面EFG •否则，假设线段OC 上存在点G ,使得OC 丄平面EFG , 连接 GE , GF ,则必有0C 丄GF ,且.0C 丄GE .

在Rt A AOC 中，由F 为的中点，0C 丄GF ,得G 为0C 的中点. 在/XEOC 中，因为0C 丄GE ,

所以EO = EC,这显然与EO = 1, = 矛盾！

所以线段OC 上不存在点G,使得OC 丄平面EFG ・

因为AD//BC , 所以BC 丄4B . 又因为ZABP = 90°, 所以PB 丄AB . 因为PBI BC= B 所以AS 丄平面PBC 所以丄PC . (III) 解：过E 作EF//A D 交PA 于F,连接

因为AD//BC,所以EF//BC .所以E, F, B, C 四点共面.

又因为CE 〃平面PAB,且CEu 平面BCEF , 且平面BCEF 1平面PAB = BF ,所以CE//BF , 所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以EF = BC.

在△PAQ 中，因为EF//AD, 缶山 PE EF BC 1 力以 PD~ AD~ AD~ 2，

PE 而

(17)如图所示，在四棱锥 P- ABCD 屮，平面 PAB 丄平面 ABCD, ADH BC , AD = 2BC , ZDAB = ZABP = 90°

・ (I )

(II) 求证：AD 丄平面PAB ； 求证：AB 丄

PC ； (III)

PE 若点E 在棱PD 上，且CE 〃平PAB ,求扇的值. 证明：因为ZDAB = 90° ,所以AD 丄AB .

且平面PABI 平面ABCD = (I ) 因为平面PAB 丄平面ABCD, 所以AD 丄平面PAB.

(II) 证明：由己知得AD 丄C

解：(I )取线段A"的屮点连接HD, HF.

D