凝固原理-1凝固过程传热
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一热、二迁、三传 “三传” ——动量传输、质量传输和热量传输
微观 三传 宏观 三传 三 维 传输 涉及 质 量 守恒 能 量 守恒 物质守恒 动量 守恒 质 量 守恒方程 能 量 守恒方程 物质守恒方程 Novier-Stokes方程
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法
直接从传热微分方程出发，在给定的定解条件下，求出 温度场的解析解，实际条件下很少、只有引入许多假设 的 条件下。 大平 板铸件：
2013/11/29
第一章 凝固过程的传热
凝固原理
第一章 凝固过程的传热
1.1 凝固过程的传热特点
一热、二迁、三传 “一热” ——凝固过程中热量的
传输是第一主要的，决定凝固过 程的进行驱动力。 凝固过程是一个有热源的非稳态传热过程。
李元东
0931-2976795 liyd_sim@163.com
凝固过程中热量的传递方式
n
温度场基本概念
导热、对流、辐射、换热
v 等温面：空间具有相同温度点的组合面。 v 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交 线。 v 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或
v不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，
并且也随时间变化的温度场：
T = f (x , y , z , t )
稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度
ρc p
式中 : ρ－ 密 度 cp－ 定 压比热容 T － 温度 λ －导热系数
对流换热:
液 态金属与铸型内壁,铸型外壁 与 周围空气,以及 液 态金属内部都有对流换热过程.对流换热用Newton 冷却 定理描述.
∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T = (λ ) + (λ ) + (λ ) + Q ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
•
q = a (Tw − T f )
α－对流换热系数; Tw, Tf－界面两侧金属和铸型温度
Q
•
－ 源 项 （ 潜热）
t －时 间
Ø 均质、各向同性体的热传导微分方程，反映了热传导过程的热量守恒 原理 Ø 方程右端是单位体积上的热流目的的增量，左端是单位体积的物体在 单位时间内增加的内能 Ø 通过热传导增加的热量加上本身释放的能量等于内能的增加
两 个 界面随着凝固进行而发生动态迁移 金属 /铸型存在接触热阻或界面热阻：
q = εσ 0Ts4
－表面的绝对温度; －比辐射率; － Stefen-Boltzman 常数.
qwc = h i (Tis − Tim )
hi：换热系数，不表示物性，是一个 宏观 的平均参数,单位:J/(m2·s·c)
第一章 凝固过程的传热 1.1 凝固过程的传热特点
T w = f (t )
第二 类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随时间的变 化关系
λ ∂T = q (x , y , z , t ) ∂n
v初始条件：
初始 条件是指物体开始导热时（即 t = 0
时 ）的瞬时温度分布。
v边界条件：
热交换情况。
边 界条件是指导热体表面与周围介质间的
v 第三 类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物体表面与 周围 介质的换热系数
δ =K τ
Chvorinov根据大量实验结果的分析，创造性地引入铸件模数的概念， 得出了著名的平方根定律：
M = K τc
τc----凝固时间，K—经验常数， M---铸件摸数，定义为铸件体积与有效散热面积之比。 用该式可以估算铸件或局部的凝固时间。
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第一章 凝固过程的传热
辐射换热: 铸件,铸型和大气之间的换热出传导和对流外, 还有辐射换热,特别是在静止空气中冷却时,铸件或 铸型表面与大气之间换热主要以辐射方式进行,辐 射换热遵循 Stefan-Boltzmann 定律:
1.1 凝固过程的传热特点
一热、二迁、三传 “二迁” ——固相/液相、金属/铸型界面
（2）实来自百度文库法
通 过 在铸型中安放热电偶直接测出合金凝固过程的温度变化情况。
根据 定解条件求出：
TS = Ti + Tk − Ti δ erf 2 aτ s x erf 2 asτ TL = TL 0 − x TL 0 − Tk erf δ 2 aLτ erfc 2 a τ L
图中： S、 L、 M分别表示 固相、 液相 和铸 型的 参数 ， Tk为凝固界面温度
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法
∂T 根据界面上的热平衡： λS S ∂x x = δ dδ ∂T = λL L + ρ ∆h ∂x x = δ dτ
1.2. 凝固过程传热的研究方法
可 以 看 出铸件中不同位置上： 开始 凝固时间 凝固 结束时间、 凝固进行时间 在 凝固过程中不同时刻两相区的宽度。
x TM = Ti − (TM 0 − Ti )erf 2 aM τ
上式 分别 反映了 凝固过程不 同时 刻铸件及铸 型中的温度 分布 。
可 用 模 型实验并借助于相似原理推广到实际铸件。
式中:
a
∇
2
— 热扩散系数（导温系数）， α = λ — 拉普拉斯运算符号。
/ ρcp
该 方法几乎可以解决一切条件下的凝固温度场的计算问 题 。 但有一些特殊问题要考虑： 1） 边 界条件的处理， 2） 结晶 潜 热的处理。 数 值模拟是近几年来发展最快的方法，有很多成熟的软 件 进 入应用阶段。
v 二维传热：
只是坐标的函数）：
典型金属凝固过程的主要传热方式： K----导热； C---对流； R----辐射 N---牛顿换热。
等温线某法线方向的温度变化率。温度梯 度越大，图形上反映为等温面（或等温线） 越 密集 。
T = f (x , y , z )
传热方程
热传导：凝固是一个有热源的非稳态传热过程， 三维非稳态导热方程为：
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1.2. 凝固过程传热的研究方法
（3）数值计算法
数 值计算法是以传热基本方程和边界条件为基础，采用 差 分 法或有限元法进行温度场的数值计算。
热传导过程的偏微分方程 v 三维傅里叶热传导微分方程为：
∂T λ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T = a ∇ 2T = + + 2 ∂t cρ ∂y 2 ∂z 2 ∂x
∂ 2T ∂T ∂ 2T = a ∂x 2 + ∂y 2 ∂t
v 一维传热：
∂T ∂ 2T = a ∂t ∂x 2
v 常见 的边界条件有以下三类： 对具 体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题 给出导热体的初始条件与边界条件。 第一 类边界条件： 给 定 物 体表面温度随时间的变化关系
λ ∂T ＝α ∂n
(T
w
−Tf
)
v 上 述 三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（4）温度场与凝固过程的分析
铸件凝固时间的确定：
对温度场研究的目的是进行凝固过程分析。 以无限大平板铸件为例，由铸件放热与铸型吸热相等Q1=Q2，可得 铸件凝固层厚度： ， K为常数
微观 三传 宏观 三传 三 维 传输 涉及 质 量 守恒 能 量 守恒 物质守恒 动量 守恒 质 量 守恒方程 能 量 守恒方程 物质守恒方程 Novier-Stokes方程
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法
直接从传热微分方程出发，在给定的定解条件下，求出 温度场的解析解，实际条件下很少、只有引入许多假设 的 条件下。 大平 板铸件：
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第一章 凝固过程的传热
凝固原理
第一章 凝固过程的传热
1.1 凝固过程的传热特点
一热、二迁、三传 “一热” ——凝固过程中热量的
传输是第一主要的，决定凝固过 程的进行驱动力。 凝固过程是一个有热源的非稳态传热过程。
李元东
0931-2976795 liyd_sim@163.com
凝固过程中热量的传递方式
n
温度场基本概念
导热、对流、辐射、换热
v 等温面：空间具有相同温度点的组合面。 v 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交 线。 v 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或
v不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，
并且也随时间变化的温度场：
T = f (x , y , z , t )
稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度
ρc p
式中 : ρ－ 密 度 cp－ 定 压比热容 T － 温度 λ －导热系数
对流换热:
液 态金属与铸型内壁,铸型外壁 与 周围空气,以及 液 态金属内部都有对流换热过程.对流换热用Newton 冷却 定理描述.
∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T = (λ ) + (λ ) + (λ ) + Q ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
•
q = a (Tw − T f )
α－对流换热系数; Tw, Tf－界面两侧金属和铸型温度
Q
•
－ 源 项 （ 潜热）
t －时 间
Ø 均质、各向同性体的热传导微分方程，反映了热传导过程的热量守恒 原理 Ø 方程右端是单位体积上的热流目的的增量，左端是单位体积的物体在 单位时间内增加的内能 Ø 通过热传导增加的热量加上本身释放的能量等于内能的增加
两 个 界面随着凝固进行而发生动态迁移 金属 /铸型存在接触热阻或界面热阻：
q = εσ 0Ts4
－表面的绝对温度; －比辐射率; － Stefen-Boltzman 常数.
qwc = h i (Tis − Tim )
hi：换热系数，不表示物性，是一个 宏观 的平均参数,单位:J/(m2·s·c)
第一章 凝固过程的传热 1.1 凝固过程的传热特点
T w = f (t )
第二 类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随时间的变 化关系
λ ∂T = q (x , y , z , t ) ∂n
v初始条件：
初始 条件是指物体开始导热时（即 t = 0
时 ）的瞬时温度分布。
v边界条件：
热交换情况。
边 界条件是指导热体表面与周围介质间的
v 第三 类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物体表面与 周围 介质的换热系数
δ =K τ
Chvorinov根据大量实验结果的分析，创造性地引入铸件模数的概念， 得出了著名的平方根定律：
M = K τc
τc----凝固时间，K—经验常数， M---铸件摸数，定义为铸件体积与有效散热面积之比。 用该式可以估算铸件或局部的凝固时间。
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第一章 凝固过程的传热
辐射换热: 铸件,铸型和大气之间的换热出传导和对流外, 还有辐射换热,特别是在静止空气中冷却时,铸件或 铸型表面与大气之间换热主要以辐射方式进行,辐 射换热遵循 Stefan-Boltzmann 定律:
1.1 凝固过程的传热特点
一热、二迁、三传 “二迁” ——固相/液相、金属/铸型界面
（2）实来自百度文库法
通 过 在铸型中安放热电偶直接测出合金凝固过程的温度变化情况。
根据 定解条件求出：
TS = Ti + Tk − Ti δ erf 2 aτ s x erf 2 asτ TL = TL 0 − x TL 0 − Tk erf δ 2 aLτ erfc 2 a τ L
图中： S、 L、 M分别表示 固相、 液相 和铸 型的 参数 ， Tk为凝固界面温度
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法
∂T 根据界面上的热平衡： λS S ∂x x = δ dδ ∂T = λL L + ρ ∆h ∂x x = δ dτ
1.2. 凝固过程传热的研究方法
可 以 看 出铸件中不同位置上： 开始 凝固时间 凝固 结束时间、 凝固进行时间 在 凝固过程中不同时刻两相区的宽度。
x TM = Ti − (TM 0 − Ti )erf 2 aM τ
上式 分别 反映了 凝固过程不 同时 刻铸件及铸 型中的温度 分布 。
可 用 模 型实验并借助于相似原理推广到实际铸件。
式中:
a
∇
2
— 热扩散系数（导温系数）， α = λ — 拉普拉斯运算符号。
/ ρcp
该 方法几乎可以解决一切条件下的凝固温度场的计算问 题 。 但有一些特殊问题要考虑： 1） 边 界条件的处理， 2） 结晶 潜 热的处理。 数 值模拟是近几年来发展最快的方法，有很多成熟的软 件 进 入应用阶段。
v 二维传热：
只是坐标的函数）：
典型金属凝固过程的主要传热方式： K----导热； C---对流； R----辐射 N---牛顿换热。
等温线某法线方向的温度变化率。温度梯 度越大，图形上反映为等温面（或等温线） 越 密集 。
T = f (x , y , z )
传热方程
热传导：凝固是一个有热源的非稳态传热过程， 三维非稳态导热方程为：
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1.2. 凝固过程传热的研究方法
（3）数值计算法
数 值计算法是以传热基本方程和边界条件为基础，采用 差 分 法或有限元法进行温度场的数值计算。
热传导过程的偏微分方程 v 三维傅里叶热传导微分方程为：
∂T λ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T = a ∇ 2T = + + 2 ∂t cρ ∂y 2 ∂z 2 ∂x
∂ 2T ∂T ∂ 2T = a ∂x 2 + ∂y 2 ∂t
v 一维传热：
∂T ∂ 2T = a ∂t ∂x 2
v 常见 的边界条件有以下三类： 对具 体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题 给出导热体的初始条件与边界条件。 第一 类边界条件： 给 定 物 体表面温度随时间的变化关系
λ ∂T ＝α ∂n
(T
w
−Tf
)
v 上 述 三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。
1.2. 凝固过程传热的研究方法
（4）温度场与凝固过程的分析
铸件凝固时间的确定：
对温度场研究的目的是进行凝固过程分析。 以无限大平板铸件为例，由铸件放热与铸型吸热相等Q1=Q2，可得 铸件凝固层厚度： ， K为常数